1、秘密启用前2019 级高三上学期期中考试数 学 试 题 卷（理科） 数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第卷（选择题，共 60 分）一、选择题.（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
2、）1已知集合 则 （ ）,10,21BZxxABAA. B. C. D.,0 ,22等比数列 中，若 ，则 （ ）na32,1a5aA.6 B. C.12 D.1863. 计算 的结果是（ ）75si1iA. B. C. D.2414264264下列函数为奇函数的是（ ）A. B. C. D.23)(xfxf2)( xfsin)(xln5已知非零向量 的夹角为 ，且 则 （ ）ba,30,3,1baba2A. B. C. D.32 26圆 半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆 相切，则圆 的Cx04yxC方程为（ ）A B C D0322xy 042xy042xyx7过抛物线 的焦点 作
3、斜率为 的直线，与抛物线在第一象限内交于)(2pxyF3点 ，若 ，则 （ ）A4FA.4 B.2 C.1 D. 38已知双曲线 过点 且其渐近线方程为 ， 的顶点 恰为)4,3(Mxy32ABC,的两焦点，顶点 在 上且 ，则 （ ）CBCAsinsiA B. C. D. 7272229若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）xaxfln)(aA B C D1,e(,)e1(0,)e(0,)e10已知 ， 的导函数 的部分,0,cos)( Axxf xfxf图象如图所示，则下列对 的说法正确的是（ ）)(fA.最大值为 且关于点 中心对称2,2B.最小值为 且在 上单调递减3,C
4、.最大值为 且关于直线 对称 42xD.最小值为 且在 上的值域为3,04,011已知双曲线 的右顶点为 , 以 为圆心的圆与双曲线2:1,xyCabA的某一条渐近线交于两点 .若 ,且 （其中 为原点） ，则双,PQ603OQP曲线 的离心率为（ ） A B C D723772712已知 的内角 满足 ，C,A 1sin()sin()sin()ABAC且 的面积等于 ，则 外接圆面积等于（ ）BA B C D2486第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题.（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上）13直线 的倾斜角为 ；0218:yxl14已知 是椭
5、圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点且满足21,F2(3)9yaP，则 的值为 ；021P21P15数列 满足 前 项和为 ，且 ，则 的通项公na,nnS),2(*Nnanna式 ；16已知函数 满足 ，且对任意 恒有)(xf21)(f Ryx,，则 2(2yfyf )2019()8(ff三、解答题.（共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且ABC, ,abc.cos1ABabc（）证明： 成等比数列；,（）若 ，且 ，求 的周长.34sin()cos16CABC18 （本小题满分 12 分）已知数列 满足 ，数列 满
6、足na)(212Nnan nb，且 .)(*1Nnabn ,5,731b（）求 及 ；nab（）令 ，求数列 的前 项和 *,NcnncnS19.（本小题满分 12 分）如图 1，在直角 中，ABC， 分别为 的中点，连结 并延长交32,4,90ACB ED,AE于点 ，将 沿F折起，使平面D平面 ，如图2 所示（）求证：；CAE（）求平面 与平面F所成锐二面角的余D弦值20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，21:(0)xyCab12,F且 为抛物线 的焦点， 的准线被椭圆 和圆 截得的2F2:(0)Cypx21C2xya弦长分别为 和 .4（）求 和 的方程；12（
7、）已知动直线 与抛物线 相切（切点异于原点） ，且 与椭圆 相交于 两点，l2Cl1CNM,若椭圆 上存在点 ，使得 ，求实数 的取值范围.1CQ)0(OQNM21 （本小题满分 12 分）已知函数 .()ln1xf=-（）求 的单调区间；()fx（）若 ，证明： （其中 是自然对数的底数， ） 1axeaf)()e7182.e注意：请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点，l321xtytO轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标
8、为 ，曲线 的极坐标方程为x A(23,)6C，设直线 与曲线 相交于 两点24cos10lC,PQ（）写出直线 和曲线 的直角坐标方程；l（）求 的值APQO23.（本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲已知函数 12)(xxf（）解不等式 ；（）记函数 的最大值为 ，若 ，证明：)(fm)0,(3cbamba1cab命题人：黄正卫审题人：谢 凯 李 兵数学答案（理科）1、选择题：D A B D B C B A C D A C二、填空题：13 题： ； 14 题：36； 15 题： ; 16 题：432,1nan23三、解答题17.（1）证明：由正弦定理得：2 分cosABabco
9、sc1inisinABC，in()1C24 分所以 成等比数2,cab,c列6 分（1）由 1)62sin(2cossin31os)6sin(4 CCC ,38 分由余弦定理得：，9 分22coscab又 ，所3以 1092分于是得：11229()3()7abab6ab分所以 的周长为 .ABC9c12 分18. 解：（1）由题可得 等差， 等比，设 的公差为 ，nanbnad则 2 分dbn由题有 121210256713 nadaa5 分于是 ，而 ，1nb11nb6 分，（2 ） 由题有： ，由错位相减法，得：12)(nnac1210 )()3(523 nnnS7 分n28 分nn2)1
10、(2)3(31 12 两式相减，得：nnnnnS )()4()()2( 112 10 分n)3(11 分于是：)(2)(*NnnS12 分19.（1）证明：由条件可知 ，而 为 的中点，ABDEB，2 分 AEBD又面 面 ，面 面 ，且 ，CCABD面平面 4 分又因为 平面 ， B AED6 分（2）由（1）可知， 两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，则：EAFB,7 分(0),3),(01EA， ， (30,)(2,30)DC易知面 的法向量为 ， ，8 分设平面 的法向量为 ，则： ，易AC(,)nxyz0nADC得 10 分 (3,1)n设平面 与平面 所成锐二面角为 ，EFD则
11、12 分5cos,20.（1）由题得 ，故24ba2,=24bpc4 分221:,:88xyCx（2）由题知 存在斜率且不为 0，设l ),0(:mnyl5 分),(),(),(21yxQNyxM联立 ，因为 与 相切，nm82 08nl2C故 6 分0021联立 ，82yxn082)(22 nmy两根为 ，所21,以 7 分28,2121 nymy，又 ，因),4(402 n 02nm此 8 分),(由 ，由韦达定理，代入计算OQNM021yx得 9 分)2(402mnyx而点 在椭圆上，即 ，代入得,0xQ820yx)0,4(,2)(8)2(1622 nmnnn10 分令 ，),4(t则
12、12 分)2,0(,08162t21. 解：（1）定义域 ，)1()x2 分2)(ln)xf令 ，则 ，所以 在 ，ul121)(xu )(xu),10故 时， ，也即 ，),()0x0f3 分因此， 在 上单调递减，在 上也单调递减；)(f1, ),1(4 分（2）因 故 ，因此只需证明 （记为axxe) ),1(0,1lnxex）5 分先证明 时的情况：),1(此时 ，0ln2xe令 6 分xxxegxg 232)(,1l)(令 ，)1(04)(,14,223 xexhhehx 故 在 ，故 在 ，)(xh),1 )(02)1(xhehx ),17 分于是 在 ，02)(e)()(g ),
13、因此， 时 ，,1x1)gx即 8 分0ln2xe下面证明 时的情况（相对更难一点点）：)1,(证法一：（切线放缩） 令 ，故 在 ，01)(,1)( xxegeg )(xg1,0于是 时 ，),0(x0xx10 分令 ，故 在1,ln)(hh)(h1,0故 时， 即 即 ，证毕；1,0x0)(xlnxxe1ln12 分证法二： 时， ，令),(01l2xexxxgexg232)(,1ln)(令 ，46)(,14,223 xehehh显然 在 而 ，故 使 在)(x1,00)(,03)()1,0(h，,0而 ，故必存在唯一的 使得 在2)(,)(eh ),(,01x)(x1,1x且 即 ，故0
14、)( 43121xe 13521311 xxh记 ，所以 在 ，)(),0(,5)(23 uxu， )(xu)1,3(,0注意到 ，因此 时 ，故 ，0)1(,)0(u)1,(x0xu)(xh故 11 分xg故 在 ，因此， 时，)(, ),(x12 分01ln012xegx法三：把两种情况一起证（但需要用洛必达法则） 所证，),1(),1l1ln2xexx令 ，l)(26 分 xxxeln)121)()2（令 ，则,0(,l)u xxuln)2(1)(2， xxxn231)(23 4332)xu7 分显然 在 恒正，故 在 单u),0(,0增8 分注意到 ，于是 在 为负，在 上为正，1xu
15、)1,),(也即 在 上单调递减，在 单调递)(x,(增9 分因此 时有 ，故 在 上单调递增，)00) )(xu),0又注意到 ，于是 在 为负，在 上为正，)1(u(xu1,而 与 正负一致，因此 在 上单调递减，在 单调递x(,1(增10 分因此 时， （洛必达法则）),1()02)lnlim)(li)(11 exex12 分22. （ 1） ，曲线 ，:l3xy:C240xy即 4 分2()（2）点 的直角坐标为 ，发现 在直线 上且 ，直线 的极坐标方程为A(,)AlAtl()6R联立 的参数方程与 的直角方程得： ，lC2310tt则 7 分1PQAt联立 及曲线 的极坐标方程得： ，则 ，故所l 21PQO求=110 分23.解：（1） ，易得 的解集2,31,)(xf 1)(xf为 5 分),0x（2）由（1）知 ，于mxf(a是 7 分1cba因为 ，移项即得acbcb22证10 分
