1、2018-2019 学年度第一学期高二月考 2数学试题一. 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请将答案填写在答题卡指定位置处.1.命题 的否定是_【答案】【解析】【分析】由命题的否定形式，即可得到答案。【详解】由命题的否定形式可得命题 的否定是即答案为 .【点睛】本题考查命题的否定，属基础题.2.给出命题“若 xy=0，则 x=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是_.【答案】2【解析】【分析】先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假【详解】命题“若 xy=0，则 x
2、=0”为假命题，其逆命题为：“若 x=0，则 xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是真命题，故真命题的个数为 2即答案为 2.【点睛】本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题3.在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于 yoz 面对称的点的坐标为_.【答案】(-1，2，3)【解析】【分析】在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于平面 yoz 对称的点坐标是（-x，y，z） 【详解】在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于平面 xoy 对称的点坐标是（-1，2，3） 故答案为：（-1，2，3） 【点睛】本题考查点的坐标的求
3、法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用4.过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_.【答案】2x+y=0，或 x-y=6=0【解析】【分析】可分当在坐标轴上截距为 0 时与在坐标轴上截距不为 0 时讨论解决【详解】：当在坐标轴上截距为 0 时，所求直线方程为：y=-2x，即 2x+y=0；当在坐标轴上截距不为 0 时，在坐标轴上截距互为相反数，x-y=a，将 A（-2，4）代入得，a=-6，此时所求的直线方程为 x-y+6=0；即答案为 2x+y=0，或 x-y=6=0.【点睛】本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为 0 时容易忽略，考查分类讨
4、论思想与缜密思考的习惯5.过点 且垂直于直线 的直线方程为_【答案】【解析】【分析】由题意可先设所求的直线方程为 x2y+c=0 再由直线过点（1，3） ，代入可求 c 的值，进而可求直线的方程【详解】由题意可设所求的直线方程为 x2y+c=0过点（1，3）代入可得16+c=0 则 c=7x2y+7=0故答案为：x2y+7=0【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程 x2y+c=06. 是直线 和直线 平行的_条件（从 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）【答案】充分不必要【解析】若
5、l1/l2,则 = ,则 a=0 或 ,经检验都符合题意，所以 l1/l2充要条件是 a=0或 ，故 是 a=0 或 的充分不必要条件故答案为充分不必要条件.7.已知 顶点的坐标为 A(4，3)，B(5, 2)，C(1，0 )，则其外接圆的一般方程为 _ .【答案】x 2+y2-6x-2y+5=0【解析】【分析】设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，把ABC 的顶点坐标代入，解方程组求得 D、E、F 的值，即可求得圆的方程【详解】设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，把ABC 的顶点坐标 A（4，3） ，B（5，2） ，C（1，0）代入可得 解得 ，故所求的ABC 的外接圆的方
6、程为 x 2+y2-6x-2y+5=0即答案为 x2+y2-6x-2y+5=0.【点睛】本题主要考查用待定系数法求圆的方程，属于中档题8.已知正方体 分别是正方形 和 的中心,则 和 所成的角的大小是_.【答案】【解析】连接 DC1, 分别是正方形 和 的中心,所以 分别为 的中点，故DC1/EF,则 DC1与 所成的角即为 和 所成的角，大小为故答案为9.设棱长为 的正方体的体积和表面积分别为 ，底面半径和高均为 的圆锥的体积和侧面积分别为 ，若 ，则 的值为_.【答案】【解析】试题分析：因为 ，所以 ，因此考点：圆锥体积及侧面积10.空间四个点 P、A、B、C 在同一个球面上，PA、PB、
7、PC 两两垂直，PA=3，PB=4，PC=12，则球的表面积为_。【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱锥 P-ABC 是长方体的一个角，该长方体的对角线的长就是经过 P、A、B、C四点的球的直径，利用长方体对角线长公式算出球的直径，从而得到球的半径，再由球的表面积公式加以计算，可得答案【详解】 根据题意，可知三棱锥 P-ABC 是长方体的一个角，该长方体的外接球就是经过 P，A，B，C 四点的球PA=3，PB=4，PC=5，长方体的对角线的长为，即外接球的直径 2R=13，可得 因此，外接球的表面积为 故答案为：169【点睛】本题给出三条侧棱两两垂直的三棱锥，求它的外接球的表面积着重考查了长
8、方体对角线公式、球内接多面体和球的表面积公式等知识，属于基础题11.已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线， .给出下列命题： ； ； ； .其中正确的命题是_.【答案】【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得正确;由 可得 或 ,又 ,则 m,l 的位置关系是平行相交或异面,故错误;由 ,又 ,由线面垂直的判定定理可知, 的位置关系可能不垂直,故错误;由 ,又 ,所以 ,故正确.故答案为12.已知实数 满足方程 ，则 的取值范围是_.【答案】 【解析】方程 = 化为 ,表示的图形是一个半圆,令 ,即 y=kx,如图所示,当直线与半圆相切时, k= ,所以 的取值范围是故答案为13.已知
9、圆 与圆 相外切，则 的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到 a+b=3利用基本不等式即可求出 ab 的最大值【详解】由已知，圆 C1：（x-a） 2+（y+2） 2=4 的圆心为 C1（a，-2） ，半径 r1=2圆 C2：（x+b） 2+（y+2） 2=1 的圆心为 C2（-b，-2） ，半径 r2=1圆 C1：（x-a） 2+（y+2） 2=4 与圆 C2：（x+b） 2+（y+2） 2=1 相外切，|C 1C2|= =r1+r2=3要使 ab 取得最大值，则 a，b 同号，不妨取 a0，b0，则 a+b=3，由基本不等式，得
10、故答案为 【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题14.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x-2y+4=0 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 M 在圆x2+（y-a） 2=5（a0）上运动若AMB 恒为锐角，则实数 a 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】令 M 点恒在以 AB 为直径的圆的外部可得两圆外离，从而列出不等式得出 a 的范围【详解】A（-4，0） ，B（0，2） ，以 AB 为直径的圆的方程为（x+2） 2+（y-1） 2=5，AMB 恒为锐角，M 在圆（x+2） 2+（y-1） 2=5 外部，又两圆半径相等，故两圆外离， ，又 a0，解
11、得：a5故答案为：（5，+） 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系；寻找MPN 恒为锐角的等价条件是解得本题的关键二. 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）求过点 ，斜率是直线 的斜率的 的直线方程；（2）求经过点 ，且在 轴上的截距等于在 轴上截距的 2 倍的直线方程.【答案】 （1） （2） 或【解析】【分析】（1）斜率是直线 y=-4x 的斜率的 的直线斜率 利用点斜式可得（2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为： 直线不经过原点时，设直线方程为： ，把点 A（-5，2）代入解得 a 即可得出
12、【详解】解：（1）所设求直线的斜率为 ，依题意 直线经过点所求直线方程为 ，即 . （2） 当直线不过原点时，设所求直线方程为将（-5,2）代入所设方程，解得 ，所求直线方程为 ； 当直线过原点时，设所求直线方程为 ，将（-5,2）代入所设方程，解得 ，所求直线方程为 ，即 ； 综上：所求直线方程为 或 .【点睛】本题考查了直直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16.如图，过底面是矩形的四棱锥 FABCD 的顶点 F 作 EF AB，使 AB 2EF，且平面 ABFE平面 ABCD，若点 G 在 CD 上且满足 DG GC.求证：（1） FG平面 AED；（2）平面 D
13、AF平面 BAF.【答案】见解析【解析】试题分析： (1)根据题意证明四边形 DEFG 为平行四边形,则 FG ED,由线面平行判定定理，结论易证得;(2)由面面垂直的性质定理证明 AD平面 BAF,由面面垂直的判定定理易证出结论.试题解析：(1)证明:(1) DG GC,AB CD 2EF,AB EF CD,EF DG,EF DG.四边形 DEFG 为平行四边形,FG ED.又 FG平面 AED,ED平面 AED,FG平面 AED.(2) 平面 ABFE平面 ABCD,平面 ABFE平面 ABCD AB,AD AB,AD平面 ABCD,AD平面 BAF,又 AD平面 DAF,平面 DAF平面
14、 BAF.17.已知命题 ：实数 满足 ， ：实数 满足 （1）若 为真命题，求实数 的取值范围.（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.【答案】 （1） 或 （2）【解析】试题分析：（1）根据题意可知，命题 p,q 分别表示一元二次不等式的解集，然后利用且命题为真，得到实数 x 的取值范围。（2）根据p 是q 的充分不必要条件，表明 q 是 p 的充分不必要条件，利用集合的思想来求解得到。(1) 当 a0 时， x|x 2-4ax+3a20=x|(x-3a)(x-a)0=x|ax3a，如果 a=1 时，则x 的取值范围是x|1x3，而x|x 2-x-60,且 x2+2x-80=x
15、|2x3，因为 pq 为真，所以有x|1x3x|2x3=x|2x3.故实数 x 的取值范围是x|2x3.(2) 若p 是q 的充分不必要条件，表明 q 是 p 的充分不必要条件.由(1)知，x|2x3是x|ax3a(a0)的真子集，易知 a2 且 33a,解得a|1a2.故实数 a 的取值范围是a|1a2.考点：本试题主要考查了命题的真值的判定，以及充分条件的判定的运用。点评：解决该试题的关键是对于命题 p,q 的正确表示，尤其是含有参数的一元二次不等式不等式的求解，注意根的大小的确定解集，并利用数轴法来得到集合的包含关系进而求解。18.如图，在三棱锥 中，侧棱垂直于底面， 分别是 的中点（1
16、）求证: 平面 平面 ；（2）求证: 平面 ；（3）求三棱锥 体积【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.（1）在三棱柱 中， 底面 ABC，所以 AB，又因为 ABBC，所以 AB平面 ，因为 AB 平面 ，所以平面 平面 .（2）取 AB 中点 G，连结 EG，FG，因为 E，F 分别是 、 的中点，所以 FGAC，且 FG= AC，因为 AC ，且 AC= ，所以 FG ，且 FG= ，所以四边形 为平行四边形，所以 EG，又因为 EG 平面 ABE，
17、平面 ABE，所以 平面 .（3）因为 =AC=2，BC=1，ABBC，所以 AB= ，所以三棱锥 的体积为： = = .考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想视频19.如图：已知 是圆 与 轴的交点， 为直线 上的动点， 与圆的另一个交点分别为（1）若 点坐标为 ，求直线 的方程；（2）求证：直线 过定点.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）直线 PA 方程为 y=x+2，由 解得 M（0，2） ，直线 PB 的方程
18、 y=3x-6，由解得 ，用两点式求得 MN 的方程（2）设 P（4，t） ，则直线直线 PA 的方程为 ,直线 PB 的方程为 ，解方程组求得 M、N 的坐标，从而得到 MN 的方程为 ，显然过定点（1，0） 【详解】(1)直线 PA 方程为 , 由 解得 , 直线 PB 的方程 ,由 解得 , 所以 的方程 (2)设 ,则直线 PA 的方程为 ,直线 PB 的方程为 得 ,同理 直线 MN 的斜率 直线 MN 的方程为 , 化简得: 所以直线 过定点【点睛】本题主要考查直线过定点问题，求直线的方程，求两条直线的交点坐标，属于中档题20.已知圆 点 直线 （1）求与圆 相切，且与直线 垂直的
19、直线方程；（2）若在直线 ( 为坐标原点)上存在定点 （不同于点 ）满足：对于圆 上任意一点 P，都使 为定值，试求出所有满足条件的点 的坐标【答案】 （1） (2)【解析】(1)设所求直线方程为 y2xb，即 2xyb0，直线与圆相切， 3，得 b3 ，所求直线方程为 y2x3 .(2)(解法 1)假设存在这样的点 B(t，0)，当 P 为圆 C 与 x 轴左交点(3，0)时， ；当 P 为圆 C 与 x 轴右交点(3，0)时， ，依题意， ，解得，t5(舍去)，或 t .下面证明点 B 对于圆 C 上任一点 P，都有 为一常数设 P(x，y)，则 y29x 2， ，从而 为常数(解法 2)假设存在这样的点 B(t，0)，使得 为常数 ，则 PB2 2PA2，(xt)2y 2 2(x5) 2y 2，将 y29x 2代入得，x22xtt 29x 2 2(x210x259x 2)，即2(5 2t)x34 2t 290 对 x3，3恒成立， 解得 (舍去)，所以存在点 B 对于圆 C 上任一点 P，都有 为常数
