1、高三数学 201712青浦区 2017 学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学试题 2017.12.19（满分 150 分，答题时间 120 分钟）学生注意：1 本试卷包括试题纸和答题纸两部分2 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3 可使用符合规定的计算器答题一.填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1设全集 ，集合 ，则 = _ UZ2,10,21PMPMU2已知复数 （ 为虚数单位） ，则 = i2zz3不等式 的解集为 23(
2、1)4xx4函数 的最大值为 2sincosf5在平面直角坐标系 中，以直线 为渐近线，且经过椭圆 右顶点的双xOyyx2+14yx曲线的方程是 . 6将圆锥的侧面展开后得到一个半径为 的半圆，则此圆锥的体积为 . 2高三数学 2017127设等差数列 的公差 不为 0， 若 是 与 的等比中项，则 nad19adk1a2kk 8已知 展开式的二项式系数的最大值为 ，系数的最大值为 ，则 6(12)x ba 9同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于 的概率为 . 410已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是 2log(),0()3xaf a 11已知 为数列 的前 项和， ，
3、平面内三个不共线的向量 ，nSna12a,OABC满足 ，若 在同一直线上，则1()(),.nOCAOB*N,BC. 201812已知函数 和 同时满足以下两个条件：()(2)fxmx(3xg对任意实数 都有 或 ；0f总存在 ，使 成立0(,2)x0()xg则 m 的取值范围是_ 二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.13. “ ” 是“ ”成立的（ ） ab2ab（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件高三数学 201712（C）充要条件 （D ）既不充分又不
4、必要条件14.已知函数 ，若对任意实数 ，都有 ，则2sin5fxxx12()()ffx的最小值是（ 21） （A） （B） （C） （D）22415. 已知向量 和 是互相垂直的单位向量，向量 满足 ，ij nani， ，21nja*N设 为 和 的夹角，则（ ） nin（A） 随着 的增大而增大 （B） 随着 的增大而减小n n（C）随着 的增大， 先增大后减小 （D ）随着 的增大， 先减小后增大n n16在平面直角坐标系 中，已知两圆 和 .又点 坐标为xOy21:Cxy2:14CxyA， 是 上的动点， 为 上的动点，则四边形 能构成矩形的个数(3,1)MN、 1CQAMQN为（ ）
5、 （A） 个 （B） 个 （C） 个 （D）无数个024三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.高三数学 201712如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，PABCDABPABCD， 是 的中点.2PADE（1）求三棱锥 的体积；（2）求异面直线 和 所成的角(结果用反三角函数值表示).18 （本题满分 14 分）第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分.已知抛物线 过点 过点2:Cypx(1,)P作直线 与抛物线 交
6、于不同两点 ，过1(0,)2Dl MN、作 轴的垂线分别与直线 、 交于点 ，其MxOAB、中 为坐标原点O（1）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；C（2）求证： 为线段 的中点ABM19.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.高三数学 201712如图，某大型厂区有三个值班室 、 、 值班室 在值班室 的正北方向 千米处，ABCAB2值班室 在值班室 的正东方向 千米处CB23（1）保安甲沿 从值班室 出发行至点 处，此时 ，求 的距离；P1P（2）保安甲沿 从值班室 出发前往值班室 ，保安乙沿 从值班室 出发前往值ACABA班室 ，甲
7、乙同时出发，甲的速度为 千米/小时，乙的速度为 千米/ 小时，若甲乙两人通过对B12讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为 千米（含 千米） ，试问有多长时间两人不能通3话？20.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 6 分. 设集合 均为实数集 的子集，记 .AB、 R,ABabAB(1)已知 ， ，试用列举法表示 ；0,121,3(2)设 ，当 时，曲线 的焦距为 ，如果13an*N且2219xynnna， ，设 中的所有元素之和为 ，求 的值；12,nA 12,93BABnS（3）在（2）的条件下，对于满足 ，且 的任意正整数
8、 ，不等式mnknmk、 、恒成立， 求实数 的最大值.0mnkS高三数学 20171221.(本题满分 18 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分.对于定义在 上的函数 ，若函数 满足：0,()fx()yfxab在区间 上单调递减，存在常数 ，使其值域为 ，则称函数 是, p0,p()gxab函数 的“逼进函数” ()fx（1）判断函数 是不是函数 ， 的“逼进函数” ；()25gx291()xf0+x，（2）求证：函数 不是函数 ， 的“逼进函数” ；1()2()2xf，（3）若 是函数 ， 的“逼进函数” ，求 的值 ()gxa()1fx
9、0,)xa青浦区 2017 学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2017.12说明1本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，高三数学 201712如果有较严重的概念性错误，就不给分3第 17 题至第 21 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数4给分或扣分均以
10、 1 分为单位一.填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1 ； 2 ；2,0153 ； 4 ；(,)(3,)U35 ； 6 ； 214yx37 ； 8 ； 129. ； 10. ；316a11 ； 12. .2 (3,2)二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.13. ；14. ； 15 ；16. .ACBD三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题
11、必须在答题纸相应编号的规定高三数学 201712区域内写出必要的步骤.17.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.解： (1) 依题意， 平面 ，底面 是矩形，高PABCDA， , 2 分2PABC 4 分12AS故 . 6 分3PBCV(2) ,所以 或其补角为异面直线 和 所成的角 ， 8 分/DEECAD又 平面 ， ，又 ， ， ,APABBPB面 C于是在 中， ， ，11 分RtC2215P，13 分5tan4BE异面直线 和 所成的角是 （或 ）.14 分AD5arctn421arcos（解法二：建立空间直角坐标系，用向量法解题相应给
12、分）18 （本题满分 14 分）第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分.解：（1）因为抛物线 过点 ，2:Cypx(1,)P所以 ，2 分2yx高三数学 201712， 4 分1(,0)4F； 6 分x（2）设直线 的方程为：l 1,02ykx设直线 与抛物线 的交点坐标为lC12(,)(,)MyNx、由 8 分224(4)01yxkxxk则 10 分1212,4xxkk直线 的方程为 ，故OPy1(,)Ax直线 的方程为 ，故 11 分N2x21(,)yBx121212212()()()kkkxxyxyx， 13 分12xk高三数学 201712所以， 为线段 的中点14 分AB
13、M19.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.解：（1）在 中， ， ，所以 ，2 分RtCA3BC30C在 中 ， ，BP123由余弦定理可得 4 分2 cos30BP， 6 分23(3)17（2）在 中， ， ，RtABC2,B24ACB设甲出发后的时间为 小时，则由题意可知 ，设甲在线段 上的位置为点 ，则t04tCAM4Mt当 时，设乙在线段 上的位置为点 ，则 ，如图所示，在 中，由01tABQ2tQ余弦定理得 ，解得22(4)(2(4)cos60Qtt719或 ，所以 10 分8157t8157t81507t当 时，乙在值班室 处，在
14、中，由余弦定理得4tBAM，解得 或 ，22()(4)cos60MBt219t36tt又 ，不合题意舍去 13 分1t高三数学 201712综上所述 时，甲乙间的距离大于 3 千米，81507t所以两人不能通话的时间为 小时14 分20.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 6 分. 解：(1)因为 ，所以当 ， 时，,ABabAB0,1A1,B4 分1,034,5(2) 当 时，曲线2n*N且22221199xyxynnn即曲线表示双曲线， ，6 分2(1)(93na显然当 ， 时， 中的所有元素无重复，故和12,nA 2,BAB1
15、0 分1213()()93nnSa又 ， ， 11 分n212na所以 12 分23()93nS高三数学 201712(3) 恒成立 13 分0mnkS2mnkS又 ，且3所以 15 分22229()9=13nnmnkm所以 16 分9221.(本题满分 18 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分.解：（1） 2 分291()(5)xyfxgx即 在区间 上单调递减，3 分()f0,值域为 ，所以 是 的“逼进函数” 4 分10,2()gxf（2） 在区间 上单调递减，1()2xyfx0,取 ，则 ，3()4fg不符合“存在常数 ，使其值域为
16、”， p0,p高三数学 201712所以 不是 的“逼进函数” 10 分()gx()f（3） 时， 是函数 ， 的“逼近函数” 2a()ax2()1fx0,)x12 分当 时， ，2a22()1()(1)(2)fxgxaxax取 ，此时 ，px()ppf所以 不是 的“逼进函数” 14 分()g()fx当 时， ，2a2()1()(1)(2)1fgaxax取 ，此时 ，x 2()pf所以 不是 的“逼进函数” 16 分()g()fx当 时， 在区间 上单调递减，2a221()fgxx0,值域为 ，所以 是 的“逼进函数” 18 分0,1()xf（3）解法二：令 ，2()1()yfgxax0,对任意 ，120x221112(1)x高三数学 2017121212()(1)0xxa及 ，又 ，所以12ax12x2a因为值域为 ，即 在 恒成立0,2()0yxax,当 时， ，当 时， ，即xaR021x2a综上： 2又 时，符合值域为a0,1
