1、课时规范练 53 几何概型基础巩固组1.(2018 江西南昌模拟,10)如图,边长为 2 的正方形中有一阴影区域 ,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为( )A. B.C. D.无法计算2.(2018 广东汕头潮南模拟,10)九章算术中有如下问题 :“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边分别为 5 步和 12 步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( )A. B.215 320C.1- D.1-215 3203.(2018 山东、湖北部分重点中学模拟 ,9)已知圆
2、 C:x2+y2=4,直线 l:y=x+b.当实数 b0,6时,圆 C 上恰有 2 个点到直线 l 的距离为 1 的概率为( )A. B.23 22C. D.4.(2018 河北衡水模拟,12)中央电视台一套节目午间新闻 的播出时间是每天中午 12:00 到 12:30,在某星期天中午的午间新闻中将随机安排播出时长 5 分钟的有关电信诈骗的新闻报道.若小张于当天 12:20 打开电视,则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是( )A. B.C. D.5.(2018 河南郑州模拟,10)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一 ,被誉为“东方模板”,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共
3、七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率为( )A. B. C. D.932 516 7166.(2018 四川德阳一诊,9)在如图所示的边长为 1 的正方形 ABCD 中,C 1,C2,C3,C4 是分别以 A,B,C,D 为圆心,1 为半径的圆位于正方形内的部分,现从正方形内任取一点 P,那么点 P 取自阴影部分的概率等于( )A. B.8412来源:学_科_网C. D.423 8147.(2018 云南曲靖检测,10)如图,正方形 BCDE 和 ABFG 的边长分别为 2a,a,连接 CE 和 CG,在两个正方形区域内任取一点,则该点
4、位于阴影部分的概率是 ( )A. B.C. D.310 3208.(2018 辽宁大连模拟,13)在- 1,1上随机地取一个数 k,则事件 “直线 y=kx 与圆( x-5)2+y2=9 相交”发生的概率为 . 9.(2018 山东潍坊模拟,15)已知平面向量 a=(x-1,y),|a|1,则事件“yx”的概率为 . 10.(2018 山东潍坊三模,14)三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅 “勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,其中一个直角三角形中较小的锐角 满足 tan =,现向大正方形内
5、随机投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是 . 综合提升组11.(2018 安徽“皖南八校”联考,10)2018 年平昌冬季奥运会于 2 月 9 日2 月 25 日举行,为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例 P,某学生设计了如下的计算机模拟,通过计算机模拟在长为 8,宽为 5 的长方形内随机取了 N 个点,经统计落入五环及其内部的点数为 n 个,圆环半径为 1,则比值 P 的近似值为( )A. B.325 32C. D.8 53212.(2018 湖北荆州模拟,12)世界数学史简编的封面有一图案 (如图),该图案的正方形内有一内切圆,圆内有一内接正三角形,在此图案内随机取一点,
6、则此点取自阴影部分的概率为 ( )A. B.43316 23316C. D.4338 233813.(2018 江西南昌三模,14)中国数学家刘徽在九章算术注 中提出“割圆”之说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候,它的周长的极限是圆的周长,它的面积的极限是圆的面积”.如图,若在圆内任取一点,则此点取自其内接正六边形的概率 . 14.(2018 江西新余二模,13)如图,在菱形 ABCD 中,AB=2, ABC=60,以该菱形的 4 个顶点为圆心的扇形的半径都为 1.若在菱形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率
7、是 . 创新应用组15.(2018 陕西渭南模拟,18)已知向量 a=(2,1),b=(x,y).(1)若 x- 1,0,1,2,y-1,0,1, 求向量 ab 的概率.(2)若 x- 1,2,y- 1,1,求向量 a,b 的夹角是钝角的概率.16.(2018 河南中原名校联盟,19)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关 ,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如表:(单位:人)几何题 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30
8、20 50(1)能否有 95%的把握认为视觉和空间能力与性别有关 ?(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 57 分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在 68 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.附表及公式:P(2k0) 0.10 0.05 0.010k0 2.706 3.841 6.6352= .(-)2(+)(+)(+)(+)课时规范练 53 几何概型1.C 设阴影区域的面积为 S, ,所以 S=.4=232.C 如图,直角三角形的斜边长为 =13,52+122设内切圆的半径为 r,则 5-r+12-r=13,解得 r=2, 内切圆的面积为 r2=4,
9、豆子落在其内切圆外部的概率是 P=1- =1- ,故选 C.412512 2153.A 圆 C 的圆心坐标为 O(0,0),半径为 2,直线 l 为:x-y+b=0.当 =3,即 b=3 时,圆上恰有一个点到直线 l 距离为 1,2 2当 =1,即 b= 时,圆上恰有 3 个点到直线 l 距离为 1.2 2 当 b( ,3 )时,圆上恰有 2 个点到直线 l 的距离为 1,2 2故概率为 .32- 26 =23故选 A.4.D 新闻报道中午时间段可能播出的时间为 12:0012:30,时长 30 分钟,小张可能看到新闻报道的开始时间为 12:2012:25,共 5 分钟,所以概率为 .530=
10、165.C 设小正方形的边长为 1,可得黑色平行四边形的底为 ,高为 ;黑色等腰直角三角形的直角边222为 2,斜边为 2 ,大正方形的边长为 2 ,2 2所以 P= ,222+12222222 =38故选 C.6.D 如图,由对称性可知,阴影部分所占面积为弓形 BC1D 面积的一半, 正方形 ABCD 的边长为 1, 扇形 ABD 的面积为 ,直角三角形 ABD 的面积为 ,14 12 阴影部分的面积为 - = .1214 12 814 正方形 ABCD 的面积为 1, 从正方形内任取一点 P,那么点 P 取自阴影部分的概率等于 .故选 D.8-141 =8147.C 设 CGBF=H,由B
11、CH FGH,得 ,即 FH= a,=2=12 13则 S 阴影 =SCEH+SGFH= a2+ a2 = a2,1213 83 32又 S 正方形 ABFG+S 正方形 BCDE=5a2,由几何概型的概率公式,得 P= .故选 C.32252=3108. 若直线 y=kx 与圆(x-5) 2+y2=9 相交,则有圆心到直线的距离 d= 3.841,50(2212-88)230203020所以有 95%的把握认为视觉和空间能力与性别有关 .(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则基本事件满足的区域为 (如57,68,图所示),设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 xy, 由几何概型 P(A)= ,即乙比甲先解答完的概率为 .121122 =18 18
