1、单元质检卷三 导数及其应用(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.若函数 y=ex+mx 有极值,则实数 m 的取值范围是 ( )A.m0 B.m1 D.mex+3 的解集是( )A.(- ,1) B.(1,+ )C.(0,+ ) D.(- ,0)6.(2018 辽宁丹东一模)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是( )A.y=-2x+3 B.y=xC.y=3x-2 D.y=2x-17.(2018 河南六市联考一,10)若正项递增等比数列
2、a n满足 1+(a2-a4)+(a3-a5)=0(R ),则 a6+a7 的最小值为( )A.-2 B.-4C.2 D.48.(2018 河北衡水中学仿真,10)已知函数 f(x)为 R 内的奇函数 ,且当 x0 时,f(x)=-e x+1-mcos x,记 a=-2f(-2),b=-f(-1),c=3f(3),则 a,b,c 之间的大小关系是( )A.b1 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . (+1)-(+1)-16.已知 f(x)=x+xln x,若 k(x-2)2 恒成立,则整数 k 的最大值为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分)17.(14 分)(2018 贵州贵阳
3、一模 ,21)设 f(x)=xex,g(x)= x2+x.(1)令 F(x)=f(x)+g(x),求 F(x)的最小值;(2)若对任意 x1,x2-1,+ ),且 x1x2,有 mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,求实数 m 的取值范围.18.(14 分)(2018 新疆乌鲁木齐二诊 )已知函数 f(x)=ln x-ax,其中 a 为非零常数.(1)求 a=1 时 f(x)的单调区间;(2)设 bR,若 f(x)b-a 对 x0 恒成立,求的最小值.19.(14 分) 已知函数 f(x)=2ln x-x2+ax(aR).(1)当 a=2 时,求 f(x)的图象在 x=1 处的
4、切线方程;(2)若函数 g(x)=f(x)-ax+m 在 上有两个零点,求实数 m 的取值范围.1,20.(14 分) 设函数 f(x)=ln x-x+1.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明当 x(1,+ )时,11,证明当 x(0,1) 时,1+(c-1)xc x.21.(14 分)(2018 湖南长郡中学一模 ,21)已知定义域为(0,+ )的函数 f(x)=(x-m)ex(常数 mR ).(1)若 m=2,求函数 f(x)的单调区间 ;(2)若 f(x)+m+10 恒成立,求实数 m 的最大整数值.单元质检卷三 导数及其应用1.B 求导得 y=ex+m,由于 ex0,若 y=ex+
5、mx 有极值,则必须使 y的值有正有负,故 m 时,f(x)0,f(x)单调递增.则 f(x)的最小值为 f +ln 20,所以 f(x)无零点.12 (12)=343.A 函数 f(x)= 不是偶函数,可以排除 C,D,又令 f(x)= =0,得极值点为 x1=1-2-1 -2+2+1,x2=1+ ,所以排除 B,选 A.2 24.A 函数 f(x)=ax+x2-xln a,x0,1,则 f(x)=axln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x,当 02 时,x0,1时,a x1, ln a0,2x0,此时,f(x)0;f(x)在0,1上单调递增,f(x)min=f(0)=1,f(
6、x)max=f(1)=a+1-ln a,|f(x1)-f(x2)|f(x) max-f(x)min=a-ln aa-2,解得 ae 2,故选 A.5.D 不等式 f(x)ex+3,即 1,()3令 g(x)= -1,()3则 g(x)= ex+3 的解集是(- ,0),故选 D.6.D f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,将 f(2-x)代入 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得 f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8, f(x)=x2,f(x)=2x, y=f(x)在(1,f(1)处的切线斜率为 y=2
7、. 函数 y=f(x)在 (1,f(1)处的切线方程 y=2x-1.故选 D.7.D 设正项递增等比数列a n的公比为 q,则 q1, 1+(a2-a4)+(a3-a5)=0, 1=(a4-a2)+q(a4-a2)=(1+q)(a4-a2). 1+q= ,a6+a7=a6(1+q)= .14-2 64-2= 42-1令 g(q)= (q1),42-1g(q)= .23(2-2)(2-1)2 当 1 时,g(q)0,2 2故 g(q)在( ,+ )为增函数,当 q= 时,g(q)的最小值为 g( )=4,即 a6+a7 的最小值为 4.2 2 28.D f(x)是奇函数, f(0)=-e0+1-
8、mcos 0=0, m=0,即当 x0 时,f(x)=-e x+1,构造函数 g(x)=xf(x), f(x)为 R 内的奇函数, g(x)是偶函数,则 g(x)=1-ex(x+1),当 x0 时,e x1,x+11,据此可得 g(x)0,即偶函数 g(x)在区间0,+ )上单调递减 ,且 a=g(-2)=g(2),b=g(-1)=g(1),c=g(3), c0 时,x+ 2,当且仅当 x=1 时取“=”,当 x=1 时,2xcos x1 恒成立, 函数图象上在区间 (1,2)内任意两点连线的斜率大(+1)-(+1)-于 1. f(x)= -2x1 在(1,2)内恒成立,即 a2x2+3x+1
9、 在(1,2)内恒成立,由于函数 y=2x2+3x+1 在+11,2上单调递增 ,故 x=2 时,y 有最大值 15, a15.16.4 x2, k(x-2)0,故 g(x)在(2,+ )上是增函数,2且 g(8)=8-2ln 8-4=2(2-ln 8)0;故存在 x0(8,9),使 g(x0)=0,即 2ln x0=x0-4.故 F(x)在(2,x 0)上是减函数,在(x 0,+ )上是增函数;故 F(x)min=F(x0)= ,故 k0,解得 x-1;令 F(x)x2 有 mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,则对任意 x1,x2-1,+ ),且 x1x2 有 mf(x1)
10、-g(x1)mf(x2)-g(x2)0 恒成立.令 h(x)=mf(x)-g(x)=mxex- x2-x,x-1,+ ),12即只需 h(x)在-1,+ )递增即可,故 h(x)=(x+1)(mex-1)0 在-1,+ )恒成立,故 m ,而 e, 故 me.1 118.解 (1)当 a=1 时,f(x)=ln x-x,则 f(x)= -1,当 00;当 x1 时,f(x)ln x-ax+a,设 h(x)=ln x-ax+a,则 h(x)= -a,1当 a0,h(x)在(0,+ )递增,bh(x)不可能恒成立 ;当 a0 时,h(x)00 ,1 1 h(x)max=h =ln -1+a=a-l
11、n a-1,(1) (1)ba-ln a-1 1- . 1设 g(a)=1- (a0),g(a)= ,1 2 g(a)0a1,g(a)0;当 10,(1)=-2-120, 12所以实数 m 的取值范围是 .(1,2+1220.(1)解 由题设,f(x) 的定义域为(0,+ ),f(x)= -1,当 00,f(x)单调递增;当 x1 时,f(x)1,设 g(x)=1+(c-1)x-cx,则 g(x)=c-1-cxln c,令 g(x)=0,解得 x0= .-1当 x0,g(x)单调递增;当 xx0 时,g(x)0.所以当 x(0,1)时,1+(c-1)xc x.21.解 (1)当 m=2 时,f
12、(x)=(x-2)e x(x(0,+ ), f(x)=(x-1)ex,令 f(x)0,有 x1, f(x)在(1,+ )上为增函数.令 f(x)0 对于 x(0,+ )恒成立,即 f(x)-m-1 对于 x(0,+ )恒成立,由函数的解析式可得:f(x)=e xx-(m-1),分类讨论: 当 m1 时,f(x)在(0,+ )上为增函数 , f(x)f(0)=-m, -m-m-1 恒成立, m1. 当 m1 时,在 (0,m-1)上为减函数,f(x) 在(m-1,+ )上为增函数. f(x)min=f(m-1)=-em-1, -em-1-m-1, em-1-m-11), g(m)=em-1-10(m1), g(m)在(1,+ )上递增,而 mZ ,g(2)=e-30, 在(1,+ )上存在唯一 m0,使得 g(m0)=0,且 20 对于 x(0,+ )恒成立.
