1、化州市 2019年高考第一次模拟考试理科数学一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的概念得到结果即可.【详解】集合 = ,集合 ,则 。故答案为：B.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以
2、及集合中含有哪些元素二是考查抽象集合的关系判断以及运算2.已知 ，则复数 的共轭复数 在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算得到 z，再由共轭复数的概念得到结果.【详解】已知 , ,共轭复数为： ，对应的点为（2，-1）在第四象限.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了复数的几何意义，zabi(a，bR)与复平面上的点 Z(a，b)、平面向量 都可建立一一对应的关系(其中 O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，
3、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 z的共轭复数记作 3.设 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）A. -4 B. -2 C. 0 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，将目标函数化为斜截式，通过平移得到过点 C（2，0）时取得最小值.【详解】目标函数 可化简为：y=2x-4+z,根据图像得到当目标函数过点 C（2，0）时取得最小值，代入得到 .故答案为：C.【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型） 、斜率型（ 型）和距离型（ 型） (3)确定
4、最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.4.已知数列 为正数项的等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 ，则（ ）A. 34 B. 32 C. 30 D. 28【答案】C【解析】【分析】则根据等比数列的性质得到 ，且 ，可得到 ，再根据等比数列的公式得到首项和公比，再由前 n项和的公式得到结果.【详解】数列 为正数项的等比数列, 若 ,则根据等比数列的性质得到，且 ，可得到 ，根据等比数列的公式得到， 故答案为：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小
5、题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.5.欧阳修的卖油翁中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿” ，可见“行行出状元” ，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为 的圆面，中间有边长为 的正方形孔，现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计） ，则油滴落入孔中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别计算圆和正方形的面积，由几何概型概率公式可得【详解】由题意可得直径为 d的圆的面积为 = ，而边长为 的正方形面积为 ，故所求概率 P= ，故答案为：A 【点睛
6、】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的6.如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥 ABCDE，底面 BCDE为矩形，BE= ，DE=2，高为 1，代入棱锥体积公式得答案【详解】由三视图还原
7、原几何体如图：该几何体为四棱锥 ABCDE，底面 BCDE为矩形，BE= ，DE=2，高为 1，该几何体的体积为 ，故选：B【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.设 ，函数 的图像向左平移 个单位后与原图重合，则 的最
8、小值是（ ）A. B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】根据图象向左平移 个单位后与原图象重合，得到 是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到 的最小值【详解】图象向左平移 个单位后与原图象重合 是一个周期 3 所以最小是 3故选：D【点睛】本题考查函数图象的变换，本题解题的关键是看出函数平移以后与原来的函数图象重合，得到平移的大小是函数的整个周期，这里只是整个周期，因此得到不等式8.执行如图的程序框图，若输出的 ，则输入 的值可以为（ ）A. 6 B. 10 C. 4 D. 8【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 S=48时，由题
9、意，此时应该满足条件 n=10k，退出循环，输出 S的值为 48，故应有：7k10【详解】模拟执行程序框图，可得n=1，S=1不满足条件 nk，n=4，S=6不满足条件 nk，n=7，S=19不满足条件 nk，n=10，S=48由题意，此时应该满足条件 n=10k，退出循环，输出 S的值为 48，故应有：7k10,故 K可以取值 8.故选：D【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析 k的取值范围是解题的关键，属于基础题9.函数 的部分图象大致是（ ）【答案】C【解析】试题分析：由 为偶函数，所以排除 ，又 ，故选 。考点：（1）函数奇偶性；（2）指数函数的图像。10.若正数
10、 满足 ，当 取得最小值时， 的值为（ ）A. B. 2 C. D. 5【答案】B【解析】【分析】将方程变形 代入可得 3x+4y=（3x+4y） （ ）= 3，然后利用基本不等式即可求解【详解】x+3y=5xy，x0，y03x+4y=（3x+4y） （ ）= 3 当且仅当 即 x=2y=1时取等号, 的值为 2.故答案为：B.【点睛】本题考查了“乘 1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.11.已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 ，若 ，则 的面积为（ ）A. 2 B. 3
11、C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的性质计算 P点坐标，再得出三角形的面积【详解】F（1，0） ，K（1，0） ，准线方程为 x=1，设 P（x 0，y 0） ，则|PF|=x 0+1=5，即 x0=4，不妨设 P在第一象限，则 P（4，4） ，S PKF= |FO|y0|= 14=2故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.12.已知函数 （ 为自然对数的底数） ， ，若 在
12、 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】问题转化为 m 在（0，+）恒成立，令 h（x）= ， （x0） ，求导研究函数的单调性得到函数 h（x） min=h（2）= ，m 即可.【详解】问题转化为 m 在（0，+）恒成立，令 h（x）= ， （x0） ，h（x）= ，令 h（x）0，解得：x2，令 h（x）0，解得：0x2，故 h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，故 h（x） min=h（2）= ，故 m ，故选：C【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上
13、具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.设向量 不共线，向量 与 平行，则实数 _【答案】【解析】【分析】向量 与 平行则存在实数 k使得 =k（ ）=k +4k ，对应系数相等即可.【详解】 与 平行， 向量不共线，存在实数 k使得 =k（ ）=k +4k ， 故答案为： 【点睛】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14.已知 ，则 展开式中，常
14、数项为_【答案】20【解析】【分析】利用二项式系数展开项为展开式中项为： 得到常数项.【详解】a= =sinx =1， 展开式中，展开式中项为： 常数项为 6-2r=0解得 r=3,代入得到常数项为 20.故答案为：20.【点睛】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.15.下列说法中错误的是_ （填序号）命题“ ，有 ”的否定是“ ，都有 ”；若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；已知 为假命题，则实数 的取值范围是 ；我
15、市某校高一有学生 600人，高二有学生 500人，高三有学生 550人，现采用分层抽样的方法从该校抽取 33个学生作为样本进行某项调查，则高三被抽取的学生个数为 12人.【答案】 【解析】【分析】由书写规则知此命题是错误的命题；命题的逆命题和否命题互为逆否命题，真假性相同，故正确；已知 为假命题，则 ；采用分层抽样的方法从该校抽取 33个学生作为样本进行某项调查，则三个年级的比例为：12：10：11.【详解】命题“ ，有 ”的否定是“ ，都有 ”,特称命题的否定是全称命题，由书写规则知此命题是错误的命题；若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；命题的逆命题和否命题互为逆否命题，
16、真假性相同，故正确；已知 为假命题，则 则实数 的取值范围是 ；我市某校高一有学生 600人，高二有学生 500人，高三有学生 550人，现采用分层抽样的方法从该校抽取 33个学生作为样本进行某项调查，则三个年级的比例为：12：10：11，高三被抽取的学生个数为 11人，故命题不正确.故答案为： .【点睛】本题考查命题的否定，解题的关键是熟练掌握命题的否定的书写格式以及特殊命题-全称命题与特称命题的书写格式，命题的学习中，区别命题的否定与否命题是一个疑点，应紧扣定义认真理解，正确区分16.已知函数 ，数列 为等比数列， ， ，则 _【答案】【解析】【分析】根据等比数列的性质得和 f（x）+f（
17、x）=1，再由倒序相加得到和，即可求出答案【详解】 ，数列a n是等比数列， 设 S2019=f（lna 1）+f（lna 2）+f（lna 2019），S 2019=f（lna 2019）+f（lna 2018）+f（lna 1），+得 2S2019=2019，S 2019故答案为： .【点睛】考查学生利用等比数列性质的能力，以及指数对数函数的综合运用能力对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中，角 ， ，
18、 的对边分别为 ， ， ，已知 （ ）求 ；（ ）若 ，点 在 边上且 ， ，求 【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由 及正弦定理，可得，利用两角和的正弦公式以及诱导公式可求出 的值；（2）由 ，根据余弦定理可得 ，由 ，根据三角形面积公式可得，得 ，所以 ，从而可得结果.试题解析：（ ）由 及正弦定理，可得 ，即 ，由 ，可得 ，所以 ，因为 ， ，所以 ， （ ）由 得，又因为 ，所以 的面积，把 ， ， ，代入得 ，所以 ，解得 18.已知长方形 中， ， ，现将长方形沿对角线 折起，使 ，得到一个四面体 ，如图所示. （1）试问：在折叠的过程中，异面直线 与 能否垂
19、直？若能垂直，求出相应的 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体 体积最大时，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）1；（2） .【解析】【分析】（1）若 ABCD，得 AB面 ACD，由于 AB AC.,所以 AB2 a2 BC,解得 a2=1，成立;（2）四面体 ABCD 体积最大时面 ABD面 BCD，以 A为原点，在平面 ACD中过 O作 BD的垂线为 x轴，OD 为 y轴，OA 为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 ACDB 的余弦值【详解】(1)若 AB CD，因为 AB AD， AD CD D，所以 AB面 ACDAB AC. 由于 AB=1, AD=BC= ,
20、AC= ,由于 AB AC.,所以 AB2 a2 BC,所以 12 a2( )2a1, 所以在折叠的过程中，异面直线 AB与 CD可以垂直,此时 的值为 1 (2)要使四面体 A BCD体积最大，因为 BCD面积为定值 ，所以只需三棱锥 A BCD的高最大即可，此时面 ABD面 BCD. 过 A作 AO BD于 O，则 AO面 BCD，以 O为原点建立空间直角坐标系 (如图)，则易知 ,显然，面 BCD的法向量为 , 设面 ACD的法向量为 n( x， y， z),因为所以 ，令 y ，得 n(1， ，2)， 故二面角 A CD B的余弦值即为.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作
21、，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.19.已知椭圆 右焦点坐标为 ，短轴长为 . （1）求椭圆的方程；（2）过左焦点 的直线与椭圆分别交于 两点，若 （ 为直角坐标原点）的面积为 ，求直线 的方程.【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】【分析】（1）根据题意得到 进而求出椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，根据 ，代入韦达定理得到结果 ，原点 到直线的 距离 ，三角形的面积 进而求得直线方程.【详解】 （1）由题意
22、得: ， 解得 ， 所以所求椭圆方程为 . （2）当直线 与 轴垂直时， ，此时 不符合题意故舍掉； 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，由 消去 得： ， 设 ，则 ， ， 原点 到直线的 距离 ， 三角形的面积 ,由 得 ，故 ,直线 的方程为 ，或 ,即 或 .【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立 的方程，求出 即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数
23、关系写出 ，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用20.2018年 9月 16日下午 5时左右，今年第 22号台风“山竹”在广东江门川岛镇附近正面登录，给当地人民造成了巨大的财产损失，某记着调查了当地某小区的 100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 ， ， ， ，五组，并作出如下频率分布直方图（图 1）.（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，记者调查的 100户居民捐款情况如下表格，在图 2表格空白处填写正确数字，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500元和自身经济损失是否到 4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在
24、从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取 1户居民，抽取 3次，记被抽取的 3户居民中自身经济损失超过 4000元的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列，期望 和方差 .图 1 图 2参考公式： ，其中【答案】 （1）有；（2） .【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的 100人中，经济损失不超过 4000元的有 70人，经济损失超过 4000元的有 30人，求出 K2，得到有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500元和自身经济损失是否到 4000元有关；（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000元居民的频率为 0.3，将频率视为
25、概率由题意知 的取值可能有0，1，2，3，且 由此能求出 的分布列，期望 E（）和方差 D（） 【详解】 （1）由频率分布直方图可知，在抽取的 100人中，经济损失不超过 4000元的有人，经济损失超过 4000元的有 100-70=30人， 则表格数据如下经济损失不超过 4000元 经济损失超过 4000元 合计捐款超过 500元 60 20 80捐款不超过 500元 10 10 20合计 70 30 100， 由于 ， ， 所以有 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500元和自身经济损失是否到 4000元有关（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000元居民的频率为 0.3
26、，将频率视为概率. 由题意知 的取值可能有 ， ，； ， 从而 的分布列为， .【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.
27、21.设函数 ，其中 ， 是自然对数的底数.（1）若 ，求函数 的单调增区间；（2）若 是 上的增函数，求 的取值范围；（3）若 ，证明： .【答案】 （1） ；（2） ；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)将 a=0代入函数表达式，之后对函数求导得到导函数的正负，进而得到单调区间；（2）f（x）=ae x（1+lnx） ，f（x）是（0，+）上的增函数等价于 f（x）0 恒成立令f（x）0，得 ，令 （x0） ，求导，之后令 ，由此能求出 a的取值范围；（3） ，令F（x）= （x0） ，当 时，F（x）的最小值大于 0由此利用导数性质能证明当时，总有 f（x）0【详解】 （1）当 时，
28、函数 其定义域为 ， 令 ,所以 ，故函数的单调增区间为 . （2） ， 是 上的增函数等价于 恒成立. 由 得 ，令 （ ）.所以只需 ， 求导得 ，令 ， ， 是 上的减函数，又 ，故 1是 的唯一零点，当 ， ， ， 递增；当 ， ， ， 递减；故当 时， 取得极大值且为最大值 ，所以 ，即 的取值范围是 . （3） . 令 （ ） ，以下证明当 时， 的最小值大于 0.求导得 . 当 时， ， ；当 时， ，令 ，则 ，又 ，取 且使 ，即 ，则 ，因为 ，故 存在唯一零点 ，即 有唯一的极值点且为极小值点 ，又 ，且 ，即 ，故 ，因为 ，故 是 上的减函数.所以 ，所以 .综上，当
29、 时，总有 .【点睛】本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
30、曲线 的极坐标方程为 ， .（1）求曲线 的参数方程；（2）在曲线 上求一点 ，使它到直线 （ 为参数）的距离最长，求出点 的直角坐标.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）先求出曲线 C的普通方程为 ，再化为参数方程；（2）求圆上一点到定值线的距离的最大值，则转化为圆心到直线的距离再加半径即可.【详解】 （1）由 ， ，可得 所以曲线 C的普通方程为 从而曲线 C的参数方程为 为参数) .（2）法一：因为直线 的参数方程为 （ 为参数） ，消去 得直线 的普通方程为 过圆心 C作 ，则直线 ， 代入圆 C： 得 ，所以点 D的直角坐标为 .法二：利用圆 C的参数方程求点 D直角
31、坐标。如图，直线 的倾斜角为 120，过圆心 C作 x轴的平行线，易知点 D在参数方程中对应的角 ，所以， ，从而点 D的直角坐标为 . 法三：利用圆 C的极坐标求点 D直角坐标。如图，连接 ，则易求得点 D对应的极角 ,所以， ,从而点 D的直角坐标为 .【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，以及参数方程和普通方程的互化，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.选修 4-5：不等式选讲23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）求函数 的最小值 ；（2）若正实数 满足 ，求证： .【答案】 （1）2（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值三角不等式得到最值；（2）由柯西不等式得到。解析：（1） 当且仅当 时，等式成立.（2） 则当且仅当 时取，等号成立.
