1、首发湖北省随州市第二高级中学 2018-2019 学年高二 9 月起点考试数学试题（B+C 班）命题人： 时间：2018.9一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900，900，1200 人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（ ）A. 15 B. 20 C. 25 D. 30【答案】B【解析】试题分析：根据分层抽样的定义即可得到结论解：三个年级的学生人数比例为 3：3：4，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为 人，故选：B点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件确定抽取
2、比例是解决本题的关键，比较基础2.某单位为了解用电量 （单位：度）与气温 （单位：）之间的关系，随机统计了某 4天的用电量与当天的气温，并制作了如下对照表：气温 （） 18 13 10用电量 （度） 24 34 38 64由表中数据得到回归直线方程 ，预测当气温为 时，用电量为（ ）A. 68.2 度 B. 68 度 C. 69 度 D. 67 度【答案】B【解析】【分析】由表格中数据求出样本中心点的坐标，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法得出 的值.【详解】 ，中心点的坐标为 ，代入回归直线方程 ，解得 ，当 时， ，故选 B.【点睛】求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图
3、，确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.3.将 化为六进制数为 ，则 =（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】D【解析】【分析】先将 转化为“十进制”数，再转化为 6 进制数是 ，从而可求 的值.【详解】 “五进制”数为 转化为“十进制”数为 ，将十进制数 转化为 6 进制数：，将十进制数 化为 6 进制数是 ，从而可求 ，故选 D.【点睛】由二进制转化为十进制的方法,我们只要依次累加各位数字上的数乘以该数位的权重,即可得到十进制数；二进
4、制、八进制、十进制与十六进制，它们之间区别在于数运算时是逢几进一位，比如二进制是逢 进一位，十进制也就是我们常用的是逢 进一位.4.已知两条直线 和 互相平行，则 等于（ ）A. 1 或 B. 或 3 C. 1 或 3 D. 或【答案】A【解析】两条直线 y=ax2 和 3x（a+2）y+1=0 互相平行，所以解得 a=3，或 a=1故选 A5.已知圆( x2) 2( y1) 216 的一条直径通过直线 x2 y30 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A. 3x y50 B. x2 y0C. x2 y40 D. 2 x y30【答案】D【解析】试题分析：由题意知，直线 x2y+3
5、=0 的斜率为 已知圆的圆心坐标 ，被圆所截弦的中点与圆心的连线与弦的直线垂直斜率乘积等于-1 得，则该直径所在的直线方程斜率为-2，所以该直线方程为 ，所以所求的直线方程 2x+y3=0，所以选 D.考点：直线垂直和直线的斜率的关系.6.设 是空间的三条直线，给出以下三个命题：若 ，则 ；若 和 共面， 和 共面，则 和 也共面；若 ，则 .其中正确命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 6【答案】B【解析】【分析】由线线的垂直的性质判断；由线线的位置关系判断；若 ，则 ，由平行的传递性判断.【详解】若 ，则 ，垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确.
6、若 和 共面 和 共面，则 和 也共面，线线间共面关系不具有传递性， 与 相交，则 ，可以是异面关系，故命题不正确.若 ，则 ，此时空间两直线平行公理，是正确命题，故选 B.【点睛】空间直线、平面等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体） 、现实实物判断法（如墙角、桌面等） 、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：三棱锥的高为 1，底面为等腰直角三角形，底边长为 2，四个表面皆为直角三角
7、形，面积分别为，因此最大的面积为 ，选 A.考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽” ，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据8.若圆 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设圆心坐标为 ，由题意知 ，且 又圆和直线 相切，所以，解得 ，所以圆的方程为 ，故选 B考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离9.如图，已知点 P 是正四面体 的
8、棱 AC 的中点，则直线 DP 与平面 BCD 所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过 做 的垂线，垂足为 ，连接 ，过 做 ，故 在平面 的投影也在 上，设为 ，连接 ，令正四面体的棱长为 ，通过解三角形求出即可.【详解】过 做 的垂线，垂足为 ，连接 ，易知 ，故平面 ，过 做 ， 应为 的中心，在 上，因此 投影在 上，故 在平面 的投影也在 上，设为 ，连接 ，知 ，如图所示：因 ，故 ，令正四面体的棱长为 ，故选 A.【点睛】求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出
9、直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.10.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边长为 的正三角形， 为球的直径，且 ，则此棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为 O，过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1平面 ABC，延长 CO1交球于点 D，则 SD平面 ABCCO 1= ， ，高 SD=2OO1= ，ABC 是边长为 1 的正三角形，S ABC = ， 考点：棱锥与外接球，体积【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方
10、体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等视频11.如图，正方体 的棱长为 2，动点 E， F 在棱上 .点 G 是 AB 的中点，动点P 在 棱上，若 ，则三棱锥 的体积（ ）A. 与 都有关 B. 与 都无关C. 与 有关，与 无关 D. 与 有关，与 无关【答案】D【解析】【分析】求出 的面积和 到平面 的距离，代入棱锥的体积公式求出三棱锥 的体积
11、，从而可得结果.【详解】连接 ，则 平面 ，与平面 所成的角为 ，到平面 的距离 ，三棱锥 的体积 ，故选 D.【点睛】本题主要考查正方体的性质与三棱锥的体积公式，意在考查空间想象能力、计算能力以及对基本知识掌握的熟练程度，属于中档题.12. 是圆 上任意一点，欲使不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出圆的参数方程为 ，代入 中解出 大于等于一个式子，利用辅助角公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域求出这个式子的最大值，令 大于等于这个最大值，即可求出 的范围.【详解】设圆上一点 的坐标为 ，即 ，则，即 ，又 ， 得到 ，则 ，
12、故选 B.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数.二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.直线 与圆 相切，则 =_.【答案】0【解析】【分析】根据题意可得圆心到 的距离等于半径 ，列出方程可解得 的值.【详解】 化为 ，圆 的圆心 ，半径为 2，因为直线 与圆 相切，圆心到 的距离等于半径 2，即 ，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及待定系数法求直线的方程，属于难题.
13、解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系） ；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.14.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为 ，则判断框中的条件 中的整数 的值是_.【答案】6【解析】【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数的关系，最终得出结论.【详解】第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ；第四次循环： ；第五次循环： ，输出 ，不满足判断框中的条件，判断框中的条
14、件 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.15.已知样本数据 的均值 ，则样本数据 的均值为_.【答案】11【解析】【分析】直接利用样本数据平均数公式以及平均值的性质求解即可.【详解】 样本数据 的均值 ，样本数据
15、的均值为，故答案为 .【点睛】样本数据的算术平均数，即 解答此类问题关键为概念清晰，类似概念有样本方差 ，标准差，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数16.已知四棱锥 的底面为矩形，平面 平面 于点，则四棱锥 外接球的半径为_.【答案】2【解析】由已知，设三角形 外接圆圆心为 ，由正弦定理可求出三角形 PBC 外接圆半径为 ,F为 BC 边中点,求出 , 设四棱锥的外接球球心为 O,外接球半径的平方为 ,所以四棱锥外接球半径为 2. 三、解答题17.已知圆 ，在直线 上找一点 ，使得过该点所作圆 C 的切线段最短.【答案】 【解析
16、】【分析】可判断直线与圆相离，当过圆心向直线 作垂线，过垂足向圆作切线时，切线最短，解方程组可得所求点.【详解】圆 的圆心为 ，到直线 的距离 .直线与圆相离，由直线和圆的知识可得，只有当过圆心向直线 作垂线，过垂足向圆作切线时，切线最短，设过圆心的垂线为 ，代入圆心坐标可得 ，联立 和 可解得交点为 ，故答案为 【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.18.某地统计局就居民的月收
17、入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图，如图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 内.（1）求居民月收入在 的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从 10000 人中用分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析，则月收入在 的这段应抽多少人？【答案】 （1） .(2)2400.(3)25.【解析】试题分析：（1）根据频率=小矩形的高组距来求；（2）根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于 0.5 的底边横坐标的值即可，运用取中间数乘频率，再
18、求之和，计算可得平均数；（3）求出月收入在2000，3000）的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案试题解析：()月收入在3000，3500)的频率为0.0005(30002000)0.5 ()0.0002(15001000)0.1，0.0004(20001500)0.2，0.0005(25002000)0.250.10.20.250.550.5 所以，样本数据的中位数为2000 20004002400(元)()居民月收入在2500，3000)的频数为 0.25100002500(人)，再从 10000 人中用分层抽样方法抽出 100 人，则月收入在2500，3000)的这段应抽取 1
19、0025(人)考点：分层抽样方法；频率分布直方图19.如图所示的圆锥的体积为 ，圆 的直径 ，点 C 是 的中点，点 D 是母线 PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小.【答案】(1) ； (2) .【解析】【分析】（1）由圆锥的体积为 ，底面直径为 ，求出 ，从而 ，利用圆锥侧面积公式能求出该圆锥的侧面积；（2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，求出直线 与 的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与 所成角.【详解】 （1）因为圆锥的体积为 ，底面直径为 ，所以 ，解得 ，所以 ，该圆锥的侧面积为 .（2）
20、因为圆锥的体积为 ，底面直径为 ，点 C 是 的中点，点 D 是母线 PA 的中点，所以 平面 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，所以 ，设异面直线 与 所成的角为 ，则 ,所以 ，异面直线 与 所成的角为 .【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、圆锥的侧面积公式，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.20.如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， 是 的
21、中点， 是 上的点， 为 中 边上的高.（1）证明： 平面 ；（2）若 ， ， ，求三棱锥 的体积；【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析: 证明线面垂直，第一可利用线面垂直的判定定理，证明直线与平面内的两条相交直线垂直，进而说明线面垂直. 计算棱锥的体积是文科常见高考题，求棱锥的体积要注意体积转化，包括顶点转化、底面积转化，特别要利用学会平行转化、对称转化、比例转化，把不易求的体积转化为简单的体积去求.试题解析：（1）证明：因为 平面 ，所以 。因为 为 中 边上的高，所以 。因为 ，所以 平面 。（2）连结 ，取 中点 ，连结 。因为 是 的中点，所以 。因为 平面 ，所以 平面 。
22、则 ，。【点睛】证明线面垂直，第一可利用线面垂直的判定定理，证明直线与平面内的两条相交直线垂直，进而说明线面垂直.第二可建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，借助空间向量解题，利用两个向量数量积为零，说明线线垂直，也是很简单的做法.计算棱锥的体积是文科常见高考题，求棱锥的体积要注意体积转化，包括顶点转化、底面积转化，特别要利用学会平行转化、对称转化、比例转化，把不易求的体积转化为简单的体积去求.21.如图，在 中， ，斜边 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面角 是直二面角，动点 在斜边 上.（1）当 D 为 AB 的中点时，求异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值；（2）求 CD 与平面
23、AOB 所成角的正切值的最大值.【答案】(1) ； (2) .【解析】【分析】（1）求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由 为 的中点，故平移时很容易应联想中位线，作 ，垂足为 连接 ，则 ， 是异面直线与 所成的角，利用解三角形的有关知识夹角问题即可；（2）本题的设问是递进式的，求直线与平面所成的角， 是 与平面 所成角，当 最小时， 最大.【详解】 （1）作 DEOB，垂足为 E，连接 CE，所以 DEAO，CDE（或其补角）是异面直线 AO 与 CD 所成的角在 中， ， ，又 ，所以 ，在 中， ，所以异面直线 AO 与 CD 所成角的余弦值大小为 .（2）由（1）知，
24、 平面 ， 是 与平面 所成的角，并且 ， 当 最小时， 最大，这时， ，垂足为 ，所以 ， ，所以 与平面 所成的角的最大时的正切值为 .【点睛】求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.22.已知过点 ，且斜率为 的直线 与圆 相交于 两点.（1）求实数 的取值范围；（2）求证： 为定值；【答案】(1) ； (2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意可得，直线 的斜率存在，用点斜式求得直线 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得 的值，可得满足条件的 的范围；(2)由题意可得,经过点 的直线方程为，代入圆 的方程化简,再利用一元二次方程根与系数的关系求得 和 的值，可得 的值，利用 ，即可得出结论.【详解】 （1）由题意过点 且斜率为 的直线的方程为 ，代入圆 的方程得 ，直线与圆 相交于 两点，所以 ，解得 ，实数 的取值范围是 .（2）证明：设 ,，所以， 为定值.【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
