1、2018-2019 学年度第一学期江苏省淮海中学高三第二阶段测试数 学 试 题试卷满分：160 分 考试时长：120 分钟一填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，把答案填在答题卡的相应位置1.设集合 ，集合 ，若 ，则 【答案】1【解析】试题分析：由题意 ，所以 考点：集合间的关系2.已知 ，则 _.【答案】3【解析】【分析】利用诱导公式化简 ，再根据同角三角函数的关系可得结果.【详解】，故答案为 3.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及同角三角函数的关系，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以
2、便提高做题速度.3.在平面直角坐标系 中，点 在角 的终边上，且 ，则点 的坐标为_.【答案】【解析】由题意可知点 P 的极坐标为 ，转化为直角坐标，则： ，则点 的坐标为 .点睛：(1)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境(2)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一4.已知： _【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式先求出 的值，进而可得 的值【详解】 ， ，又 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题.对于分段函数解析式的考查是命题的动
3、向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.5.已知幂函数 的图象过点 ，则 【答案】2【解析】因为幂函数 的图象过点 ，则 , 26.函数 的定义域为_【答案】(1，3【解析】【分析】根据幂函数与对数函数的性质，列不等式组求解即可.【详解】要使函数 有意义，则 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 的
4、定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.7.已知 ， ， ，则 从小到大排列是 （用“ ”连接）【答案】【解析】试题分析：由对数函数图象知 ， ， ，所以 .考点：三角函数的单调性、对数函数的图象.8.与直线 垂直的直线的倾斜角为_【答案】【解析】直线 斜率为 ，所求直线与直线 垂直，故所求直线斜率为 ，故倾斜角为 .故答案为 .9.已知 ， ， ， ，则 的值为_【答案】【解析】试题分析： ，考点：同角间三角函数关系及两角和差的正切公式10.若曲线 在 处的切线与直线 垂直，则实数 等于_【答案】 【解析】【分析】求出 的导函数，可得曲线在 处切线的斜率为 ，根据两直线垂直斜率之间的关系
5、求解即可.【详解】 ， ，即曲线在 处切线的斜率为 ，又 该切线与 垂直，故答案为 .【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及两直线垂直斜率之间的关系，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2) 己知斜率 求切点 即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用求解.11.函数 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是_.【答案】 【解析】【分析】先判断 为奇函数，在 上单调递增，从而可由 得出 ，讨论和 两种情况，求出 的取值范围即可.【详解】 的定义域为 ，且 ，为奇函数，且 在
6、上单调递增，由 得， ， ， 时， ， 时， ，的最小值为 1， ，实数 的取值范围是 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值 或恒成立； 讨论参数.12.已知函数 和函数 的图象交于 三点，则 的面积为_.【答案】 【解析】【分析】由 ,结合 ，求出 的值 ,得出三个点 的坐标，即可计算 面积.【详解】根据题意,令 ,即 ，解得 或 ，即 或 ，又 或 或 ，点 ，面积为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性
7、质、特殊角的三角函数以及简单的三角方程，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力,属于中档题.13.已知三次函数 ，对于任意 ，均有 ，且存在唯一，满足 ，则 _.【答案】-3【解析】【分析】，且存在唯一 ，满足 等价于即，从而而可得 必为二次函数，且最小值为 ，进而可得结果.【详解】 ，即 ，又 存在唯一 满足 ，必为二次函数，且最大值为 ，即 ， ，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数的求导公式以及导数的运算法则，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，
8、大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.14.若方程 有且仅有 6 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是_【答案】 【解析】【分析】令 ，则方程有 6 解等价 有 6 解,判断 的单调性得出 的根的分布情况，得出方程 的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出的范围.【详解】，令 ，则 ，当 或 时， ，当 时， ，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， 取得极大值 ， 又 时， 时， ，作出 的函数图象如图所示，令 ，由图象可知
9、，当 时，方程 有 3 解，当 或 时，方程 有 1 解， 当 时，方程 有 2 解，当 时，方程 无解，方程 有 6 个解，即 有 6 个解，关于 的方程 在 有 2 个解，解得 ，故答案为 .【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为
10、 的交点个数的图象的交点个数问题 .二解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在 中，角 的对边分别为 a， b， c，已知 ， （1）求 的值；（2）若 ABC 的面积 ，求 a 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)利用余弦定理可求的 ,进而根据 求得 ,利用正弦定理即可求得 ；(2)根裾和 的关系，由正弦定理求得 和 的关系，把 代入面积公式求得三角形的面积，进而利用三角形面积公式求得 的值.【详解】 （1） = = ， ， ， ， = = （2） ， ， 又 S= ， ， 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中
11、的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角） ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.16.已知函数 f(x)4sin xcos(x ) .(1) f(x)在区间 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值；(2) 若方程 f(x)t0 在 x 上有唯一解，求实数 t 的取值范围【答案】 （1）见解析；（2）t 的范围是 t ，1)或 t2.【解析】【分析】(1)利用两角和与差公式化简函数 得 ,由 , 求得 ,即可求出函数 的值域，
12、并根据正弦函数的性质可判断在何处取得最大值或最小值；(2)根据（1)有 ,则其对称轴为 ，可得 时，函数 单调递增，且值域为 时，函数单调递减，且值域为 ,若方程 有唯一解，则需或 .【详解】(1) f(x)4sin x 2sin xcos x2 sin2xsin 2x cos 2x2sin . 因为 x ，所以 2x ，所以 sin 1，所以1f(x)2，当 2x ，即 x 时，f(x) min1；当 2x ，即 x 时，f(x) max2. (2) 因为 x 时， 2x ，所以12sin 2，且单调递增；x 时， 2x ，所以 2sin 2，且单调递减，所以 f(x)t 有唯一解时对应 t
13、 的范围是 t ，1)或 t2.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式与辅助角公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.17.已知函数 ，其中 （1）当 时，求函数 在 上的值域； （2）若函数 在 上的最小值为 3，求实数 k 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(l) 求出 ，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间，根据单调性即可求得函数的值
14、域；(2)求得导函数的解折式，然后结合导函数的符号判断函数的单调性，分类讨论即可求得实数 的取值范围.【详解】 （1）当 时， ，令 得 ，列表：由上表知，函数 的值域为 （2） ， 当 时， ，函数 在区间 单调递增，所以 ，即 （舍） 当 时， ，函数 在区间 单调递减，所以 ，符合题意 当 时,当 时， 区间在 单调递减；当 时， 区间在 单调递增所以 ，不符合题意综上所述：实数 取值范围为 【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查
15、 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.18.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地 米， 米，以 为直径的半圆 和半圆 （半圆在矩形 内部）为两个半圆形水上主题乐园， 都建有围墙，游客只能从线段 处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着 修建不锈钢护栏，沿着线段 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为 上的动点， ，且线段 与线段 在圆心 和 连线的同侧.已知
16、弧线部分的修建费用为 元/米，直线部门的平均修建费用为 元/米.（1）若 米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点 的位置，使得修建费用最低.【答案】 （1） ；（2）当 为 时，修建费用最低.【解析】试题分析：（1）设直线 矩形 交于 两点，则阴影部分的面积为矩形 的面积减去梯形和扇形 与扇形 的面积 （2）设 ，则 ，故，从而可得修建费用 ，利用导数求解，可得当 时，即 ， 有最小值，即修建费用最低试题解析：（1）如图,设直线 矩形 交于 两点，连 ，则 米， 米梯形 的面积为 平方米，矩形 的面积为 平方米，由 ，得扇形 和扇形 的面积均为 平方米，故阴影部分面
17、积为 平方米（2）设 ，则 ，所以 ，修建费用 ，所以 ，令 ，得 ，当 变化时， 的变化情况如下表：0极小值由上表可得当 时，即 ， 有极小值，也为最小值故当 为 时，修建费用最低19.已知函数 的图象过点 ，且在 处取得极值(1) 求实数 的值；(2) 求 在 上的最大值.【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】【分析】（1）因为函数 的图象过点 ，可把 点坐标代入，得到一个关于 的等式,再因为函数在 处取得极值.所以函数在 处的导数为 0 ,由此又得到一个关于 的等式,两个等式联立，就可解出 ；（2）利用导数求最大值，因为 为分段函数，所以可按 的范围，分段求导数,找到扱大值.再比较区
18、间 上的极大值与端点函数值的大小，找到最大值.【详解】 （1）当 时， ， 由题意得： ，即 ， 解得： 。 （2）由（1）知：当 时， ，解 得 ；解 得 或 在 和 上单减，在 上单增，由 得： 或 ， ， 在 上的最大值为 . 当 时， ，当 时， ；当 时， 在 单调递增； 在 上的最大值为 。 当 时， 在 上的最大值为 ； 当 时， 在 上的最大值为 .【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果
19、左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.20.已知函数 f（x） = (ax 2+x)ex,其中 e 是自然对数的底数， .(1)若 是函数 的导函数，当 a0 时，解关于 x 的不等式 ex；(2)若 在-1,1上是单调增函数，求 a 的取值范围；(3)当 a = 0 时，求整数 k 的所有值，使方程 在k,k+1上有解.【答案】 （1） 或 ；（2） ；（3）整数 t 的所有值为-3，1.【解析】【分析】(1)抓住 的
20、条件，将其约去以化简不等式，简化计算，注意 ，不等式的方向要改变；(2)分 三种情况讨论，结合二次函数的图象性质，即可得出 的取值范围，注意零点存在定理的运用；(3)利用导函数的工具可以得出函数 的单调性，然后根据零点存在定理可得 的所有值，根据 是整数的特点找到： ，是解决本题的关键.【详解】 （1）f（x）=ax 2+（2a+1）x+1e xex，又e x0,a0，所以不等式可化为 ax2+（2a+1）x+11，x0 或 x- （2）f（x）=ax2+（2a+1）x+1ex，当 a=0 时，f（x）=（x+1）ex，f（x）0 在-1，1上恒成立，当且仅当 x=-1 时取等号，故 a=0
21、符合要求； 当 a0 时，令 g（x）=ax2+（2a+1）x+1，因为=（2a+1）2-4a=4a2+10，所以 g（x）=0 有两个不相等的实数根 x1，x2，不妨设 x1x2，因此 f（x）有极大值又有极小值若 a0，因为 g（-1）g（0）=-a0，所以 f（x）在（-1，1）内有极值点，故 f（x）在-1，1上不单调 若 a0，可知 x10x2，因为 g（x）的图象开口向下，要使 f（x）在-1，1上单调，因为 g（0）=10，所以必须满足 g(1)0,g(1)0;即 3a+20， a0，所以 a0 综上可知，a 的取值范围是 ，0（3）当 a=0 时，方程即为 xex=x+2，由于
22、 ex0，所以 x=0 不是方程的解，所以原方程等价于 ex- -1=0， 令 h（x）=e x- -1，因为 h（x）=e x+ 0 对于 x0 恒成立，所以 h（x）在（-，0）和（0，+）内是单调增函数，又 h（1）=e-30，h（2）=e 2-20，h（-3）=e -3- 0，h（-2）=e -20，所以方程 f（x）=x+2 有且只有两个实数根，且分别在区间1，2和-3，-2上，所以整数t 的所有值为-3，1【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
