1、 1给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定 3 个平面。其中正确的序号是( )A BC D【答案】A【解析】因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是 1 或 3，所以不正确，故选 A。2如图所示的是正方体或四面体，P，Q，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是( )A B C D【答案】D【解析】A 中 PSQR，故共面
2、；B 中 PS 与 QR 相交，故共面；C 中四边形 PQRS 是平行四边形，所以共面，故选 D。3已知空间中有三条线段 AB，BC 和 CD，且ABC BCD，那么直线 AB 与 CD 的位置关系是( )AABCDBAB 与 CD 异面CAB 与 CD 相交DABCD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交【答案】D4如图，l，A、B ，C，且 Cl，直线 ABlM，过 A，B，C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过 ( )A点 A B点 BC点 C 但不过点 M D点 C 和点 M【答案】D5已知 、 为平面，A、B、M、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是( )AAa，A
3、 ，Ba ，Ba BM，M ，N，N MNCA ，A ADA、B、M ，A、B 、M ，且 A、B、M 不共线 、 重合【答案】C【解析】A，A，A 。由公理可知 为经过 A 的一条直线而不是 A。故 A 的写法错误。 6如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(底面为正方形，侧棱与底面垂直)中，AA 12AB，则异面直线A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( )A. B.15 25C. D.35 45【答案】D【解析】连接 BC1，A 1C1，则 A1B 与 BC1 所成角即为所求。在A 1BC1 中，设 ABa，则 A1BBC 1 a，A 1C1 a，5 2cosA 1BC1 。A1B2
4、C1B2 A1C212A1BC1B 457下列命题中，真命题的个数为( )如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若 M ，M ， l，则 Ml.A1 B2C3 D4【答案】B 8已知 A，B ，C，D 是空间四点，命题甲：A，B，C ，D 四 点不共面，命题乙：直线 AC 和 BD 不相交，则甲是乙成立的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若 A，B，C，D 四点不共面，则直线 AC 和 BD 不共面，所以 AC 和 BD 不相交；若直线 AC
5、和 BD 不相交，若直线 AC 和 BD 平行时，A，B，C，D 四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件 9若直线 l1 和 l2 是异面直线，l 1 在平面 内，l 2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( ) Al 与 l1，l 2 都不相交Bl 与 l1，l 2 都相交Cl 至多与 l1， l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l 2 中的一条相交【答案】D 【解析】由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行，故 l1，l 2 中至少有一条与 l 相交10已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1AB ，AD1，则异面直线 B1C 和
6、 C1D 所成角的余弦值3为( )A B64 63C D26 36【答案】A 【解析】连接 AC，AB 1(图略)，由长方体性质可知 AB1 DC1，所以AB 1C 就是异面直线 B1C 和 C1D所成的角由题知 AC 2，AB 1 ，C B1 2，所以由余1 32 32 32 6 1 32弦定理得 cosAB 1C ，故选 A AB21 CB21 AC22AB1CB1 6411平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A，平面 CB1D1， 平面 ABCDm ， 平面ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为( )A B32 22C D 33 13【答案】A 12已知 P 是A B
7、C 所在平面外的一点，M，N 分别是 AB，PC 的中点若 MNBC4，PA4 ，3则异面直线 PA 与 MN 所成角的大小是( )A30 B45C60 D90【答案】A 【解析】取 AC 中点为 O，连接 OM，ON，则易证 OM BC，ON PA，所以ONM 就是异面 12 12直线 PA 与 MN 所成的角由 MNBC4，PA4 ，得 OM BC2，ON AP2 ，则312 12 3cosONM ，ON2 MN2 OM22ONMN 32所以ONM30，即异面直线 PA 与 MN 所成角的大小是 30，故选 A13(已知正六棱锥 SABCDEF 的底面边长和高均为 1，则异面直线 SC 与
8、 DE 所成角的大小为_【答案】414若平面 ， 相交，在 ， 内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定 _个平面【答案】1 或 4 【解析】如果这四 点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面15在图 737 中，G，H，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号 ). 图 737【答案】 【解析】图中，直线 GHMN；图中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线 GH 与MN 异面；图中，连接 MG(图略)，GMHN ，因此 GH 与 MN 共面；图
9、中，G，M，N 共面，但 H平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面，所以在图中，GH 与 MN 异面16设 a，b，c 是空间的三条直线，下面给出四个命题：设 ab，bc ，则 ac；若 a，b 是异面直线，b，c 是异面直线，则 a，c 也是异面直线；若 a 和 b 相交，b 和 c 相交，则 a 和 c 也相 交；若 a 和 b 共面，b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面。其中真命题的个数是_。【答案】0【解析】因为 ab，bc ，所以 a 与 c 可能相交、平行或异面，所以错；因为 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 可能异面、相交或平行，所以错；由 a，b 相交，b，c 相交
10、，则 a，c 可以异面、相交或平行，所以错；同理错，所以真命题的个数为 0。 17若两条异面直线所成的角为 60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中， “黄金异面直线对”共有_对。【答案】2418如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形，C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，C 1 是圆柱上底面弧A1B1 的中点，那么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 _。【答案】 2【解析】取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D， AD，则因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，所以 ADBC，所以直线 AC1 与 AD 所在角等于异面直线 AC1
11、与 BC 所成角，因为 C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点，所以 C1D圆柱下底面，所以 C1DAD，因为圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形，所以 C1D AD，2所以直线 AC1 与 AD 所成角的正切值为 ，2所以异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 。219在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60，对角线 AC 与 BD 交于点O，PO 平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成角为 60。(1)求四棱锥的体积。(2)若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值。(2)取 AB 的中点 F，连接 EF，DF， 因为 E 为 P
12、B 中点，所以 EFPA。所以DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角(或补角)。在 RtAOB 中，AOABcos 30 OP ，3所 以在 RtPOA 中，PA ，6所以 EF 。6220如图所示，已知二面角 MN 的大小为 60，菱形 ABCD 在平面 内，A，B 两点在棱 MN上，BAD60 ，E 是 AB 的中点，DO面 ，垂足为 O。(1)证明：AB 平面 ODE；(2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值。【解析】(1)如图，因为 DO，AB，所以 DOAB。连接 BD，由题设知，ABD 是正三角形，又 E 是 AB 的中点，所以 DEAB。又 DODED，故 AB平面
13、ODE。 (2)因为 BCAD，所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即ADO 是 BC 与 OD 所成的角(或其补角) 。由(1)知，AB 平面 ODE，所以 ABOE。又 DEAB，于是DEO 是二面角 MN 的平面角，从而DEO 60。不妨设 AB2，则 AD2，易知 DE 。3在 RtDOE 中， DODE sin60 。32连接 AO，在 RtAOD 中，cosADO 。DOAD 322 34故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 。3421如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA 平面 ABC， BAC 60 ，PA ABAC2，E 是 PC 的中点。(
14、1)求证：AE 与 PB 是异面直线；(2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值；(3)求三棱锥 AEBC 的体积。所以异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 。14(3)因为 E 是 PC 的中点，所以点 E 到平面 ABC 的距离为 PA1，12VAEBC V EABC 1 。13(1222 32) 3322.如图 738 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M ，N 分别是 A1B1，B 1C1 的中点问：图 738 (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由23如图 739 所示，在三棱锥 PABC 中，PA底面
15、 ABC，D 是 PC的中点已知BAC ，AB2，AC2 ，PA 2.求：2 3图 739(1)三棱锥 PABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值【解析】 (1)S ABC 22 2 ，12 3 3三棱锥 PABC 的体积为V SABCPA 2 2 .13 13 3 43324如图 7311，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，OA底面ABCD， OA2 ，M 为 OA 的中点图 7311(1)求四棱 锥 OABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值【解析】(1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S4，所以四棱锥 OABCD 的体积 V 42 .13 83
