1、文科数学试题一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的）1.抛物线 的准线方程是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线标准方程得准线方程，即得结果.【详解】因为抛物线 的准线方程是 ，所以抛物线 的准线方程是 ，选 B.【点睛】本题考查根据抛物线标准方程求准线方程，考查基本分析求解能力. 属基础题.2.已知椭圆 上的一点 到椭圆一个焦点的距离为 ，则 到另一焦点距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：椭圆上的点到两个焦点距离之和等于 ，所以到另一个焦点的距离为.考点：椭
2、圆定义3.双曲线 的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程得渐近线方程为 ，化简得结果.【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 ，化简得 ，选 C.【点睛】本题考查根据双曲线标准方程求渐近线方程，考查基本分析求解能力.属基础题.4.若动点 P 到定点 F(4,0)的距离与到直线 x4 的距离相等，则 P 点的轨迹是( )A. 抛物线 B. 线段 C. 直线 D. 射线【答案】A【解析】【分析】根据抛物线定义判断点的轨迹为抛物线，即得结果.【详解】因为到定点距离等于定直线（不过该定点）距离的点的轨迹为抛物线，因此 P 点的轨迹是抛物线，选 A.【点睛】本题
3、考查根据抛物线定义判断轨迹，考查基本分析识别能力.属基础题.5.过点 与抛物线 只有一个公共点的直线共有几条 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据点在抛物线上，再根据公共点个数确定直线为切线或平行坐标轴，即可确定结果.【详解】因为 ，所以点 在抛物线上，因此过点 M 的切线只有一条，又平行坐标轴的直线与抛物线也只有一个公共点，因此满足条件的直线有两条，选 B.【点睛】本题考查直线与抛物线交点个数，考查基本分析求解能力.属基础题.6.点 在椭圆 的内部，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据点在椭圆内部得不等式，解不等式
4、得结果.【详解】因为点 在椭圆 的内部，所以 ,解得 ,选 A.【点睛】本题考查点与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基础题.7.双曲线 mx2+ y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于 （ ）A. - B. -4 C. 4 D. 【答案】A【解析】解：8.已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上的两点， ，则线段 的中点到轴的距离为( )A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据抛物线定义得线段 的中点横坐标，再确定线段 的中点到 轴的距离.【详解】设 则由抛物线定义得 ,因为 ，所以 ，即线段 的中点横坐标为 ，从而线段 的中点到 轴的距离为 ，选 C.【点
5、睛】本题考查根据抛物线定义化简与求解焦点弦问题，考查基本分析求解能力.属中档题.9.若双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的虚轴长是（ ）A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据双曲线的焦点到渐近线的距离等于 ，再列方程解得结果.【详解】因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于 ，所以 ，因此双曲线的虚轴长是 =2，选 A.【点睛】本题考查双曲线有关性质，考查基本分析求解能力.属中档题.10.若椭圆 的离心率为 ，则双曲线 的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据椭圆离心率得 a,b 关系，再求双曲线离心率，得结果.【详
6、解】因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，因此双曲线离心率为 ，选 B.【点睛】本题考查椭圆与双曲线离心率，考查基本分析求解能力.属基础题.11.椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，点 是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是（ ）A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆与双曲线定义解得 再根据解三角形得面积.【详解】由题意得 ， ，所以 ，因此 为直角三角形， 的面积是 ，选 C.【点睛】本题考查椭圆与双曲线定义以及解焦点三角形，考查基本分析求解能力.属中档题.12.双曲线 的左右焦点分别为 ,过 作圆 的切线分别交双曲线的左右两支于点 、 ，且 ,则 （ ）A. B. C.
7、 D. 【答案】D【解析】【分析】根据双曲线定义得 ,再根据余弦定理列式解得 .【详解】根据双曲线定义得 , ,在三角形 ，又 与圆 相切，所以 ，因此 ， （舍负） ，选 D.【点睛】本题考查根据双曲线定义以及利余弦定理解焦点三角形，考查基本分析求解能力.属中档题.二、填空题（本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率 e=_。【答案】e=【解析】试题分析：根据题意，椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则可知 cos60 = = ,故可知椭圆的离心率为 。考点：椭圆的方程点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，
8、得到 cos60= ，是解题的关键14.已知抛物线 的准线方程为 ，则实数 【答案】【解析】试题分析：由题意可知，抛物线 的标准方程是 ，则其准线方程为 ，所以 考点：抛物线的性质15.已知过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点， ，则 _【答案】2【解析】【分析】先根据抛物线定义得 A 点坐标，再 A,B,F 三点共线解得 B 横坐标，最后根据抛物线定义得结果.【详解】因为 ，所以 ，因此 .【点睛】本题考查抛物线定义求解点坐标，考查基本分析求解能力.属基础题.16.已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆于 两点若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范
9、围是_【答案】【解析】【分析】设左焦点为 ，连接 ， 则四边形 是平行四边形，可得 设 ，由点 M到直线 l 的距离不小于 ，即有 ，解得 再利用离心率计算公式即可得出范围【详解】设左焦点为 ，连接 ， 则四边形 是平行四边形，故 ，所以，所以 ，设 ，则 ，故 ，从而 ， ，所以 ，即椭圆 的离心率的取值范围是 【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共有 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 变为曲线 ，求曲线 的标
10、准方程及参数方程.【答案】 x2 y24， （ 为参数）【解析】【分析】先根据变换，结合转移法确定曲线 的标准方程，再根据三角函数平方关系得参数方程.【详解】设 M(x， y)是曲线 C 上任意一点，变换后的点为 M( x， y)由 且 M( x， y)在曲线 4 y 21 上， 得 1， x2 y24. 因此曲线 C 的方程为 x2 y24， （ 为参数）【点睛】本题考查根据转移法求动点轨迹，考查基本分析求解能力.属基础题.18.若圆 与 轴相切于点 ,与 轴的正半轴交于 两点,且 ,求圆 的标准方程【答案】【解析】【分析】先根据条件得圆心纵坐标，再根据垂径定理得圆半径，最后确定圆心横坐标，
11、即得结果.【详解】由题意得圆 再根据 ,圆心到 x 轴距离为 1，由垂径定理得圆半径，因此 ，从而圆 的标准方程为【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本分析求解能力.属基础题.19.在极坐标系中，极点为 ，已知曲线 ： 与曲线 ： 交于不同的两点 ，（1）求 的值；（2）求过点 且与直线 平行的直线 的极坐标方程【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）把曲线 C1和曲线 C2的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为 d 的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值（2）用待定系数法求得直线 l 的方程为直线 l 的方程，再根据极坐标
12、方程与直角坐标方程的互化公式求得 l 的极坐标方程试题解析：（1） ， ，又 ，可得 , ，圆心(0,0)到直线 的距离为 （2）曲线 的斜率为 1，过点 且与曲线 平行的直线 的直角坐标方程为 ，直线 的极坐标为 ，即 20.已知点 是椭圆 与直线 的交点，点 是 的中点，且点 的横坐标为 .若椭圆 的焦距为 8，求椭圆 的方程【答案】【解析】【分析】先求 M 坐标，利用点差法得 a,b 关系，再根据焦距联立方程组解得 a,b，即得结果.【详解】因为点 M 在直线 上，点 的横坐标为 .所以 M ，由题意知:点 A,B 满足椭圆 C 的方程为【点睛】本题考查根据点差法求椭圆方程，考查基本分析
13、求解能力.属中档题.21.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数, ） 在以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线(1)说明 是哪一种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；(2)直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点都在 上，求 .【答案】(1) 22 sin 1 a20.(2) a1.【解析】【分析】(1)根据三角函数平方关系消参数得 C1的普通方程，再根据 x cos ， y sin 化为极坐标方程， （2）联立极坐标方程解得 16cos2 8sin cos 1 a20，再根据 tan 2 化简得 1 a20，解得 a1.【详解】(1)消去参数 t 得到
14、 C1的普通方程为 x2( y1) 2 a2，则 C1是以(0，1)为圆心， a为半径的圆将 x cos ， y sin 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 22 sin 1 a20.(2)曲线 C1， C2的公共点的极坐标满足方程组 ，若 0，由方程组得16cos2 8sin cos 1 a20，由已知 tan 2，得 16cos2 8sin cos 0，从而 1 a20，解得 a1(舍去)或 a1.当 a1 时，极点也为 C1， C2的公共点，且在 C3上所以 a1.【点睛】本题考查参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程以及极坐标方程应用，考查基本分析求解能力.属中档题
15、.22.已知抛物线 C 的一个焦点为 ，对应于这个焦点的准线方程为（1）写出抛物线 的方程；（2）过 点的直线与曲线 交于 两点， 点为坐标原点，求 重心 的轨迹方程；（3）点 是抛物线 上的动点，过点 作圆 的切线，切点分别是 .当 点在何处时， 的值最小？求出 的最小值.【答案】(1) (2) (3) 【解析】【分析】（1）根据抛物线定义以及标准方程可得结果， （2）根据重心坐标公式得 与 A,B 坐标关系，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理得重心坐标参数方程，消去参数得轨迹方程，（2）根据射影定理得 ，再利用两点间距离公式求 ，结合二次函数性质求最值，即得结果.【详解】解：（1）抛物线方程为： . （2）当直线不垂直于 x 轴时，设方程为 ，代入 ，得：设 ，则 ， 设AOB 的重心为 则，消去 k 得 为所求， 当直线垂直于 x 轴时， AOB 的重心 也满足上述方程.综合得，所求的轨迹方程为 （3）设已知圆的圆心为 Q（3，0） ，半径 ，根据圆的性质有：当 最小时，|MN|取最小值，设 P 点坐标为 ，则当 ， 时， 取最小值 5，故当 P 点坐标为（2，2）时，|MN|取最小值 .【点睛】本题考查抛物线定义、利用消参法得轨迹方程以及利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力.属中档题.
