1、知识内容1基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第n1m二类办法中有 种方法，在第 类办法中有 种不同的方法那么完成这件事共有2mn种不同的方法又称加法原理1nN乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 个子步骤，做第一个步骤有 种不同的方法，n1m做第二个步骤有 种不同方法，做第 个步骤有 种不同的方法那么完成这件事2mn共有 种不同的方法又称乘法原理1nN加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这
2、件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用2 排列与组合排列：一般地，从 个不同的元素中任取 个元素，按照一定的顺序排成一n()mn列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素）排列数：从 个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不() n同元素中取出 个元素的排列数，用符号 表示mAmn基本计数原理的综合应用排列数公式： ， ，并且 A(1)2(1)mnnm nNmn全排列：一般地，
3、 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列的阶乘：正整数由 到 的连乘积，叫作 的阶乘，用 表示规定： n1n!n0!1组合：一般地，从 个不同元素中，任意取出 个元素并成一组，叫做从nm()个元素中任取 个元素的一个组合nm组合数：从 个不同元素中，任意取出 个元素的所有组合的个数，叫做从()n个不同元素中，任意取出 个元素的组合数，用符号 表示Cmn组合数公式： ， ，并且 (1)21!C!()mnnm ,Nmn组合数的两个性质：性质 1： ；性质 2： （规定 ）Cn 11mmnn 0C1排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清
4、是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个” 元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空6插板法： 个相同元素，
5、分成 组，每组至少一个的分组问题把 个元n()mn n素排成一排，从 个空中选 个空，各插一个隔板，有 111mnC7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一般地平均分成 堆（组），必须除以 ！，如果有 堆（组）元素个数相等，必nn须除以 ！m8错位法：编号为 1 至 的 个小球放入编号为 1 到 的 个盒子里，每个盒子放一n个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 ，2n3，4，5 时的错位数各为 1，2，9，44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题1排列与组合应用题，主
6、要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取” 时重复和遗漏；最后列出式子计算作答2具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；对于元素
7、相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型典例分析基本计数原理的综合应用【例 1】 用 ， ， ， ， 排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，03456则这样的五位数的个数是_ （用数字作答）【例 2】 若自然数 使得作竖式加法 均不产生进位现象则称 为“可连n(1)2)n n数”例如： 是“可连数” ，因 不产生进位现象； 不是“可连数” ，323423因 产生进位现象那么，小于 的“可连数” 的个数为（ ）45
8、0A B C D27363948【例 3】 由正方体的 8 个顶点可确定多少个不同的平面？【例 4】 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种 （以数字作答）【例 5】 如图，一环形花坛分成 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块ABCD， ， ，里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A96 B84 C60 D48【例 6】 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图） 现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种
9、方法有 种 （以数字作答）【例 7】 分母是 385 的最简真分数一共有多少个？并求它们的和【例 8】 某人有 4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多） ，要在如图所示的 6 个点A、B、C、A 1、 B1、C 1 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）【例 9】 用 ， ， ， ， ， 这 个数字，可以组成_个大于 ，小于012345630的数字不重复的四位数54【例 10】 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“ ”共 个号码公司规定：凡卡号的后四0910位带有数字“ ”或“ ”的一律作为 “优惠
10、卡”，则这组号码中“ 优惠卡”的个数为（ 47）A B C D206548320【例 11】 同室 人各写 张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿 张别人送出的贺41 1年卡，则 张贺年卡不同的分配方式有（ ）A 种 B 种 C 种 69D 种23【例 12】 某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个新节目，如果将这 3 个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）A B C D50421036120【例 13】 某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙 3 种不同的树苗，从中取出5 棵分别种植在排成一排的 5 个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5
11、个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ）A15 种 B12 种 C9 种 D6 种【例 14】 如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为 （用数字作答）. 【例 15】 用 到 这 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）091A B C D324328360648【例 16】 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 的 个小正方形（如129， ， ，图） ，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“ 、 、 ”357号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种987654321A B C D21014192【例 17】 足球比赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，那么一个队打 14 场共得 19 分的情况有（ ）A 种 B 种 C 种 D 种3456
