1、1第 1 课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标：1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理(重点)2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”(易混点)3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题(难点)自 主 预 习探 新 知1分类加法计数原理思考：若完成一件事情有几类不同的方案，在第 1 类方案中有 m1种不同方法，在第 2类方案中有 m2种不同的方法，在第 n 类方案中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？提示 共有 m1 m2 mn种不同方法2分步乘法计数原理思考：完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步
2、有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？提示 共有 m1m2mn种不同的方法基础自测1判断(正确的打“”错误的打“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 ( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事 ( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 ( )(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事 ( )解析 (1) 在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的(2) 在分类
3、加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事2(3) 在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同(4) 因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成答案 (1) (2) (3) (4)2从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有 3 班，轮船有 4班若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有( ) 【导学号：95032000】A3 种 B4 种C7 种 D12 种C 由分类加法计数原理，从甲地去乙地共 347(种)不同的交通方式3已知 x2,3,7，
4、 y3，4,8，则 xy 可表示不同的值的个数为( )A10 个 B6 个C8 个 D9 个D 因为 x 从集合2,3,7中任取一个值共有 3 个不同的值， y 从集合3，4,8中任取一个值共有 3 个不同的值，故 xy 可表示 339 个不同的值4某商场共有 4 个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是_. 【导学号：95032001】16 不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有 4 种；第二步是出门，共有 4 种由分步乘法计数原理知共有 4416(种)合 作 探 究攻 重 难利用分类加法计数原理解题在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？
5、【导学号：95032002】思路探究 根据情况安排个位、十位上的数字先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论解 法一：分析个位数，可分以下几类：个位是 9，则十位可以是 1,2,3，8 中的一个，故有 8 个；个位是 8，则十位可以是 1,2,3，7 中的一个，故有 7 个；同理，个位是 7 的有 6 个；个位是 6 的有 5 个；个位是 2 的只有 1 个由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1234567836(个)法二：按十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类，在每一类中满足3题目条件的两位数分别有 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个
6、，2 个，1 个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136(个)法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出：12,13,14,15,16,17,18,19，23,24,25,26,27,28,29，34,35,36,37,38,39，45,46,47,48,49，56,57,58,59，67,68,69，78,79，89.共有 36 个符合题意的两位数规律方法 应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事(2)完成这件事的 n 类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事(3
7、)确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类；不同两类中的两种方法不能相同，即不重复，无遗漏跟踪训练1本例中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数解 当个位数字是 8 时，十位数字取 9，只有 1 个当个位数字是 6 时，十位数字可取 7,8,9，共 3 个当个位数字是 4 时，十位数字可取 5,6,7,8,9，共 5 个同理可知，当个位数字是 2 时，共 7 个当个位数字是 0 时，共 9 个由分类加法计数原理知，符合条件的数共有 1357925(个)利用分步乘法计数原理解题已知 a1,2,3， b4,5,6,7， r8,9，则方程
8、( x a)2( y b)2 r2可表示多少个不同的圆？【导学号：95032003】思路探究 确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径，可以用分步乘法计数原理解决4解 完成表示不同的圆这件事，可以分为三步：第一步：确定 a 有 3 种不同的选取方法；第二步：确定 b 有 4 种不同的选取方法；第三步：确定 r 有 2 种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，方程( x a)2( y b)2 r2可表示不同的圆共有34224(个)规律方法 1应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可2利用分步乘法计数原理解题的一般思路
9、(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果跟踪训练2张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种问：张涛共有多少种不同的理财方式？解 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成第 1 步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式，有2 种方式；第 2 步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式，有 3 种方式由分步
10、乘法计数原理得张涛共有 236 种不同的理财方式两个原理的综合应用探究问题如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？提示 如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步一个袋子里装有 10 张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有 12 张不同的中国联通手机卡(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法5(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？ 【导学号：95032004】思路探究解
11、(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有 10 种取法；第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有 12 种取法根据分类加法计数原理，共有 101222 种取法(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有 10 种取法第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有 12 种取法根据分步乘法计数原理，共有 1012120 种取法规律方法 对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各
12、步互不干扰，也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题跟踪训练3某公园休息处东面有 8 个空闲的凳子，西面有 6 个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解 (1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类，选东面的空闲凳子，有 8 种坐法；第二类，选西面的空闲凳子，有 6 种坐法根据分类加法计数原理，小明爸爸共有 8614 种坐法(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共 8614 个凳子中选一个坐下，共有 14 种坐法；(小明坐
13、下后，空闲凳子数变成 13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共 13 个空闲凳子中选一个坐下，共 13 种坐法由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有 1413182 种坐法当 堂 达 标固 双 基61某学生去书店，发现 2 本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A1 种 B2 种C3 种 D4 种C 分两类：买 1 本或买 2 本书，各类购买方式依次有 2 种、1 种，故购买方式共有213 种故选 C.2现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( ) 【导学号：95032005】A7 B12C64 D81B 先从 4
14、件上衣中任取一件共 4 种选法，再从 3 条长裤中任选一条共 3 种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共 4312(种)不同配法故选 B.3从 A 地到 B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发 3 次，火车发 4 次，轮船发 2 次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )A1113 B3429C34224 D以上都不对B 分三类：第一类，乘汽车，从 3 次中选 1 次有 3 种走法；第二类，乘火车，从 4次中选 1 次有 4 种走法；第三类，乘轮船，从 2 次中选 1 次有 2 种走法所以，共有3429 种不同的走法4十字路口来往的车辆，如果不允许回头，
15、不同的行车路线有_条. 【导学号：95032006】12 经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有 4 种选法；第二步，确定出口，从剩余 3 个路口任选一个共 3 种，由分步乘法计数原理知不同的路线有 4312 条5现有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解 (1)分为三步：国画、油画、水彩画各有 5 种、2 种、7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有 52770 种不同的选法(2)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有 5210 种不同的选法第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5735 种不同的选法第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2714 种不同的选法所以有 10351459 种不同的选法
