1、第2课时 指数函数及其性质的应用,1.复习回顾指数函数的概念、图象和性质. 2.通过典型例题初步掌握指数函数在解决实际问题中的应用. (重点） 3.通过典型例题初步掌握指数函数的图象和性质在解题中的应用.（难点）,推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象通过变换方法作出. 我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图象等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，常遇到的有以下几种形式：,1.设a=40.9，b=80.48，c= ，则（ ） A.cab B.bac C.abc D.acb,D,解析：a=40.9=21.8，b=80.48=21.44，c= =21.5，因为函数y=2x在R上
2、是增函数，且1.81.51.44，所以21.821.521.44，即acb.,2.函数y= 的单调递增区间为（ ） A.(-，+) B.(0，+) C.(1，+) D.(0,1) 解析：y= =2x-1，因为g(x)=x-1在R上是递增的，所以 函数y= 的单调递增区间为(-，+).,A,3.已知y=21+ax在R上是减函数，则a的取值范围是_. 解析：y=21+ax在R上是减函数，g(x)=ax+1在R上是减函 数， a0，即a的取值范围是(-，0).,(-，0),【例1】比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6-1.2和0.6-1.5； (3)1.70.2和
3、0.92.1.,解：(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y=1.5x的两个函数值，由于底数1.51，所以函数y=1.5x在R上是增函数，因为2.53.2，所以1.52.51.53.2. (2)0.6-1.2，0.6-1.5可看作函数y=0.6x的两个函数值，因为00.61，所以函数y=0.6x在R上是减函数.因为-1.2-1.5，所以0.6-1.20.6-1.5. (3)由指数函数性质,得1.70.21.70=1，0.92.10.90=1，所以1.70.20.92.1.,变式训练：(1)若 ，则实数a的取值范围是（ ） A.(4，+) B. C.(-，4) D.,B,(2)用“”或“”填
4、空. _ ； 33.1_ .,解析：(1)因为y= 在(-，+)上是减函数， 所以由已知得2a+13-2a，即a ,故a的取值范围是. (2)因为函数y= 在R上是减函数，且-3.5-1.2，所以. 因为函数y=3x在R上是增函数， 又 =32，且3.12， 所以33.1 .,【例2】已知函数f(x)= (xR). (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(-，+)上总为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间1，5上的最小值.,解：（1）证明：因为f(x)的定义域为R，任取x10， 所以f(x1)-f(x2)0， 即f(x1)f(x2).所以不论a为何实数，f(x)在（-，+
5、）上总为增函数.,(2)因为f(x)在xR上为奇函数， 所以f(0)=0， 即 =0，解得a= . 所以f(x)= ， 由(1)知，f(x)为增函数， 所以f(x)在区间1，5上的最小值为f(1). 因为f(1)= ， 所以最小值为 .,变式训练：判断f(x)= 的单调性，并求其值域.,解：令u=x2-2x，则原函数变为y= . 因为u=x2-2x=(x-1)2-1在(-，1上递减，在1，+)上递增，y= 在(-，+)上递减， 所以y= 在(-，1上递增，在1，+)上递减. 所以y= 的最大值为3，其值域为(0，3.,【例3】某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林，严禁
6、采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y=f(x)的表达式，并求此函数的定义域.,解：原有木材蓄积量为200万立方米.经过1年后木材蓄积量为200+2005%=200(1+5%)，经过2年后木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)5%=200(1+5%)2 所以经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x. 所以y=f(x)=200(1+5%)x(xN*).,变式训练：某市2015年国民生产总值为20亿元，计划在今后的10年内，平均每年增长8%，问2025年该市国民生产总值可达多少亿元？(精确到0.01亿元),解：设该市国民生产
7、总值在2015年后的第x年为y亿元，则第1年：y=20+208%=20(1+8%)=201.08， 第2年：y=201.08+201.088%=201.082， 第x年：y=201.08x(xN*，1x10)， 第10年：y=201.081043.18(亿元). 所以2025年该市国民生产总值可达43.18亿元.,1.比较两个指数式值的大小的主要方法. (1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y=ax的单调性. (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.,2.解简单指数不等式问题的注意事项. (1)形如aman的不
8、等式，可借助y=ax的单调性求解.如果a的值不确定，需分0a1和a1两种情况进行讨论. (2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y=ax的单调性求解.,3.在用描述法表示集合时的注意事项. （1）注意区别：实数集，实数集； （2）在不致混淆的情况下，所有直角三角形的集合可以表示为x|x是直角三角形，也可以写成直角三角形.,【典例】已知f(x)=x2+1，g(x)= ，求f(g(x)的单调区间.,解：由已知，得f(g(x)= +1， 则f(g(x)可以看作u= 与f(u)=u2+1的复合函数.因为 u0，所以f(u)是增函数.所以f(g(x)的单调递增区间就是 u= 的单调递增区间，,f(g(x)的单调递减区间就是u= 的单调递减区间. 作出函数u= 的图象，如图所示，可知u= 的单调递减区间为(-，0，单调递增区间为 0，+)， 所以f(g(x)的单调递增区间为0，+)，单调递减区间为 (-，0.,类题尝试：已知函数y= .(1)作出函数图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出，当x取什么值时，函数有最大值或最小值.,解：（1）作出函数图象如图所示.（2）由图象可知函数在(-，-2上是增函数，在-2， +)上是减函数. （3）由图象可知x=-2时，函数y= 有最大值，最大值 为1，没有最小值.,课后巩固作业,请点击进入,
