1、 1 第 一 章 行 列 式 Arthur Cayley （1821-1895 ， 英 国 ） 矩 阵 论 的 创 立 者 。 在 剑 桥 ， 获 数 学 荣 誉 会 考 一 等 第 一 名 ， 并 获 得Smith 奖， 从事n 维 解析 几 何 ， 行 列 式 理 论 ， 线 性 变 换 和 矩 阵 等 方 面 的 研究。 James, Joseph Sylvester （18141897 ， 犹 太 人 ） ， 矩 阵 论 的 创 立 者 。 在 剑 桥 ， 获 数 学 荣 誉 会 考 一 等 第 二 名 。 他 开 创 了 美 国 纯 数 学 研 究 ， 创 办 了 美 国 数 学 杂
2、 志 。 从 事 行 列 式 ， 矩 阵 论 ， 组 合 数 学 等 方 面 研 究 。 1 行 列 式 的 概 念 学习要求 1 ） 会 用 对 角 线 法 计 算 二 、 三 阶 行 列 式 2 ） 会 求 排 列 的 逆 序 及 奇 偶 性 3）理解n 阶 行 列 式 定 义 一 、 二 ， 三 阶 行 列 式 的 计 算 1 ） 求 平 面 两 直 线 交 点 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a消去 2 x ，解出 1 x 得 2 12 2 22 1 1 21 12 22 11 ) ( a b a b x a a a a 记 21 1
3、2 22 11 22 21 12 11 a a a a a a a a D 副 对 角 线 主 对 角 线 二 阶 行 列 式 等 于 主 对 角 线 上 两 元 素 之 积 减 去 副 对 角 线 上 两 元 素之积。 则有 12 2 22 1 22 2 12 1 1 a b a b a b a b D 21 1 11 2 2 21 1 11 2 a b a b b a b a D 交点： D D x D D x 2 2 1 1 , ，其中 0 D 2 ） 求 三 平 面 的 交 点 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x
4、 a x a x a b x a x a x a b x a x a x a消 3 2 ,x x ，解出 1 x 得 1 1 D Dx （设 0 D ） 其中 3 31 23 12 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a D 32 23 11 33 21 12 31 22 13 32 21 13 a a a a a a a a a a a a 对 角 线 计 算 法 三 阶 行 列 式D 由6 项组 成 ， 每 项 是 位 于D 中 不 同 行 不 同 列 的 三 元 素 之 积 ， 并 按 一 定 规
5、 则 带 有 正 号 或 负 号 。 主 对 角 线 上 三 元 素 之 积 及 平 行 于 主 对 角 线 上 三 元 素 之 积 的 项 带 正 号 ， 副 对 角 线 上 三 元 素 之 积 及 平 行 于 副 对 角 线 上 三 元 素 之 积 的项 带负号。 则记 33 32 3 23 22 2 13 12 1 1 a a b a a b a a b D 32 2 13 3 23 12 33 22 1 a b a b a a a a b 32 23 1 33 2 12 3 22 13 a a b a b a b a a 得 D D x 1 1 。 同理有 . , 3 3 2 2 D
6、D x D D x + 4 例1 ： 0 5 2 5 2 3 2 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x解： 27 1 5 2 1 2 3 2 2 1 D27 , 27 , 54 3 2 1 D D D得： , 2 1 1 D D x , 1 2 2 D D x . 1 3 3 D D x注意 对 角 线 法 不 适 于3 阶以上 的 行 列 式 。 3 ） 分 析 三 阶 行 列 式 的 规 律 ： 每 项 ： 每 项 为 三 元 素 之 积 ， 三 元 素 取 之 不 同 行 不 同 列 。 项数： 项 6 3 ！ 符 号 ： 与 每 项 三 元 素
7、 的 所在的 列 下 标 三 个 数 字 的 排 列 有 关 。 即 与 自 然 排 列123 对 换 为 此 排 列 的 次 数 有 关 。 排列 123 231 312 321 132 213 对换次 数 0 2 2 1 1 1 奇偶性 偶 奇 带符号 正 负 5 将 对 换 次 数 转 化 为 下 面 求 排 列 的 逆 序 问 题 。 二 、 排 列 的 逆 序 与 奇 偶 性 n 个自然数 ，n ， ， 2 1 的 一 个 排 列 ， 称 为 一 个n 元排 列。记为 n i i i 2 1 。共有 ! n 个 排 列 。 定义1 一个排列 n q p i i i i i 2 1 中
8、 ， 两 个 数 字 p i ， q i 的 大小与 位置 相 反 ， 称 这 两 个 数 字 构 成 一 个 逆 序 ， 排 列 中 所 有 数 字 的 逆 序 个 数 的 总 和 就 称 为 该 排 列 的 逆 序 数 。 记 为 2 1 n i i i 。 计算法 从 排 列 的 右 边 起 ， 每 一 个 数 字 与 其 左 边 的 数 字 逐 个 比 较 ， 即 先 将 第n 个 数 字 与 前 面 1 n 个 数 字 比 较 求 得 第n 个 数 字 的 逆 序 ， 再 将 第 1 n 个 数 字 与 前 面 的 2 n 个数 字 比 较 ， 求 得 第 1 n 个 数 字 逆 序
9、 ， 继 续 之 ， 得 所 有 数 字 逆 序 总 和 就 是 该 排 列 的 逆 序 数 。 例2 ： 求 下 列 各 排 列 的 逆 序 数 。 1 ） 9 264351 （奇） 2 ） 2 214356 （偶） 3 ） 0 12 n （偶） 6 4 ） ) ( 3 4 ) ( 2 4 ) ( 1 4 ) ( 4 , 2 ) 1 ( 1 2 1 奇 奇 偶 偶 k k k k n n n n n 定义2 一 个 排 列 的 逆 序 数 为 奇 （ 偶 ） 数 ， 称 为 该 排 列 为 奇 （ 偶 ） 排 列 。 定义3 一 个 排 列 中 两 数 字 位 置 互 换 ， 其 余 数 字
10、 不 动 ， 称 为 一 次 对 换 ， 相 邻 两 数 字 的 对 换 ， 称 为 邻 换 。 定理 一 次 对 换 改 变 排 列 的 奇 偶 性 （ 即 偶 次 对 换 不 变 奇 偶 性 ， 奇 次 对 换 改 变 奇 偶 性 ） 将一个n 元排列对 换 成为自然 排列 n 3 2 1 有多 种方 法 ， 得 到 的 逆 序 数 可 以 不 同 ， 但 其 奇 偶 性 却 不 变 。 推论1 ： 一个 n 元 排 列 对 换 为 自 然 排 列 n 2 1 ， 对 换 次 数 的 奇 偶 性 与 该 排 列 的 奇 偶 性 相 同 。 推论2：所有n 元 排 列 的 奇 偶 性 个 数
11、 各 半 。 三、n 阶 行 列 式 定 义 定义4 nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 2 22 21 1 12 11 7 . ) 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 in i i n n n i i i i i i a a a 是 一 个 数 ， 称 为 n 阶 行 列 式 ， 简 记 为 n n ij a D （1 ） 每 项n 个 元 素 之 积 n i n i i a a a 2 1 2 1 中的n 元取之不 同 行 不 同 列 。 （2）共有 ! n 项。 （3 ） 符 号 由 2 1 ) 1 ( n i i i 决定的。 （4 ） 2 1 n
12、 i i i 表 示 把 对 应 的 ! n 个 项 加 起 来 。 显然若D 的 一 行 （ 列 ） 元 素 都 为0 ，则 0 D 。 例3 ： 上 ， 下 三 角 行 列 式 及 对 角 行 列 式 的 值 。 （1 ） nn a a a * * 22 11 下 三 角 行 列 式 nn nn a a a a a a 22 11 22 11 * * 上 三 角 行 列 式 对 角 行 列 式 8 ii n i nn a a a a 1 22 11 （ 表 示 连 乘 号 ） 例4 （1 ）决定4 阶 行 列 式 中 项 14 32 41 23 a a a a 的符号。 （2）求 j i
13、, 的 值 ， 使 得4 阶行列式 j i a a a a 3 41 1 23 带负 号。 解 ： （1 ） 41 32 23 14 14 32 41 23 a a a a a a a a ， 计 算 列 下 标 逆序。 6 1 2 3 4321 该 项 带 正 号 。 （2 ） 41 3 23 1 3 41 1 23 a a a a a a a a j i j i ， 列 下 标 排 列 为 1 3j i ，得 4 , 2 j i ，或 2 , 4 j i ，因为 3 0 0 0 3 2341 故得 . 4 , 2 j i 说 明 ： 行 列 式 的 另 一 定 义 为 n i i i i
14、i i i i i n n n i a a a D 2 1 2 1 2 1 2 ) 1 ( （列下 标 按 自 然 顺 序 ） 9 1.2 行 列 式 的 性 质 学习要求 ： 掌 握 行 列 式 的 性 质 ， 运 用 行 列 式 性 质 化 简 行 列 式。 本 节 是 对 行 列 式 进 行 变 换 化 简 ， 以 便 简 化 计 算 。 行 列 式 的 五 个 性 质 ： 1 ） 转 置 不 变 值 ，即 D D T 2）拆开 3 ） 数 乘 （ 提 取 因 子 ） 4 ） 对 换 变 号 行 列 式 的 初 等 变 换 5 ） 消 元 （ 倍 加 ） 不 变 值 。 两 个 零 推
15、论 D 的 两 行 （ 列 ） 相 同 ， 则 0 D 。 D 的 两 行 （ 列 ） 元 素 成 比 例 ， 则 0 D 。 例1 ： （1 ） 9 1 0 3 5 4 6 4 2 1 D （2 ） 605 402 201 4 5 2 3 2 1 2 D 解： （1 ） 36 3 1 0 1 5 4 1 2 1 3 2 9 1 0 3 5 4 3 2 1 2 1 D10 （2 ） 2 5 2 1 4 5 2 3 2 1 605 402 201 4 5 2 3 2 1 2 D例2：计算 5 4 1 0 3 1 0 2 1 4 1 2 3 3 1 1 解： 5 4 1 0 3 7 2 0 5 1
16、0 3 0 3 3 1 1 5 4 1 0 3 1 0 2 1 4 1 2 3 3 1 1 5 10 3 0 3 7 2 0 5 4 1 0 3 3 1 1 ) 1 ( 20 2 0 0 13 1 0 0 5 4 1 0 3 3 1 1 ) 1 ( 6 6 0 0 0 13 1 0 0 5 4 1 0 3 3 1 1 ) 1 ( -200 2 3 2 2 2 11 例3 计算 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 2 3 2 3 2 y x y x y x y x y x y x y x y x y x D 解 ： 将 第 一 列 拆 开为 3 3 2 3
17、 1 3 2 2 2 1 3 1 2 1 1 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 1 2 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 y x y x y y x y x y y x y x y y x y x x y x y x x y x y x x D = 3 3 2 3 3 2 2 2 3 1 2 1 1 3 2 3 3 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 3 2 y x y x y x y x y x y x y y y x y y x y y x 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 3 2 2 1 1 1
18、 3 2 1 3 2 x x x x x x y x x x y y例4：计算 y y y y x x 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1解：第1 行的（ 1 ） 倍 加 于 第2 行 上 ， 3 3y 2 2y ) 1 ( ) 1 ( 12 y y y x y y y y x D 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 ） （= 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 y y x 。 例5：求 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( x x x x x f 的
19、根 。 解：注意到 ) (x f 中 每 一 行 元 素 之 和 都 为x ， 把 第2 ，3 ， 4 列加到第1 列 上 ， 得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( x x x x x x x x x x x x f 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 4 x x x x x x x x x) 1 ( ) 1 ( 13 。 x x x 4 4 ) 1 ( 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 ) ( 4 x
20、x f ，得 0 4 3 2 1 x x x x 练 习 ： （1 ）计算 n D n 2 1 。 （2）计算 794 400 402 598 300 301 401 200 199（3）计算D= 3 2 1 4 2 1 4 3 1 4 3 2 4 3 2 1 = 1.3 行 列 式 的 展 开 计 算 要求学习 1 ） 准 确 计 算 元 素 ij a 的 余 子 式 与 代 数 余 子 式 。 2 ） 掌 握 展 开 定 理 。 3 ） 会 一 些 计 算 方 法 技 巧 。 把 三 阶 行 列 式 的 项 重 组 ， 以 引 入 代 数 余 子 式 概 念 14 33 32 31 23
21、22 21 13 12 11 3 a a a a a a a a a D ) ( ) ( ) ( 31 22 32 21 13 33 21 31 23 12 32 23 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a 32 31 22 21 3 1 13 33 31 23 21 2 1 12 33 32 23 22 1 1 11 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( a a a a a a a a a a a a a a a 定义 n n ij a D 中的元素 ij a ，划去 ij a 所在的第 i 行第 j 列 剩余的 1 n 阶 行 列 式 称 为 ij a
22、 的 余 子 式 ， 记为 ij M 。 并记 ij j i ij M A ) 1 ( ，则称 ij A 为元素 ij a 的代数余子 式 ， 则 三 阶 行 列 式 展 开 式 为 ： 13 13 12 12 11 11 3 A a A a A a D 。 定理 行 列 式 D 等 于 它 的 任 意 一 行 （ 列 ） 的 所 有 元 素 与 其 对 应 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 。 i 行元素为 in i i a a a , , , 2 1 ， 对 应 代 数 余 子 式 为 in i i A A A , , , 2 1 ， 15 则： n t it it in in i
23、i i i A a A a A a A a D 1 2 2 1 1 。 定 理 推 论 ： 行 列 式 的 一 行 （ 列 ） 所 有 元 素 与 另 一 行 （ 列 ） 对 应 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 为0 。 即 0 2 2 1 1 jn in j i j i A a A a A a 故有 n t jt it j i j i D A a 1 ) ( 0 行 n t tj ti j i j i D A a 1 ) ( 0 列 计 算 要 点 ： （1 ） 找 零 最 多 的 一 行 （ 列 ） 展 开 。 （2 ） 把 某 一 行 （ 列 ） 元 素 用 性 质5 （ 消 元
24、 ） 尽 可 能 多 地 化为零。 例1： 24 1 0 4 3 0 0 0 2 1 1 0 0 4 0 3 0 0 0 0 2 1 2 0 0 0 1 5 1 1 2 1 3 3 0 2 ) 1 ( 9 3 5 0 1 1 2 0 1 3 3 0 0 2 8 9 7 4 3 1 列 展 开 第108 12 9 16 例2：计算 2 1 1 5 2 0 1 6 5 1 0 3 0 1 5 2 D 。 解：第1 列与第3 列 对 换 。 （ 因 第3 列 元 素 较 简 单 ） 。 2 3 4 0 2 6 1 0 5 1 5 0 0 2 5 1 ) 1 ( 2 5 1 1 2 6 1 0 5 3
25、 0 1 0 2 5 1 ) 1 ( D95 2 3 4 2 6 1 5 1 5 ) 1 ( 例3 ： , ) )( ) 1 ( ( 1 n n b a b n a a b b b a b b b a D （书p18 例1.3.4 ） 本 题 可 做 为 公 式 用 ， 例 如 ： （1 ） 17 . 13 ) 3 4 )( 3 3 4 ( 4 3 3 3 3 4 3 3 3 3 4 3 3 3 3 4 3 4 D例4 ： . 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 2 2 1 1 n n n a t a t a t t a D 形状为 解 ： 第 一 行 展 开 ： 得 ， n n A t
26、A a D 1 1 11 1 。 n n n n n n t a a t a t t a t a t a a D 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 1 0 0 ) 1 ( 0 n n n t t t a a a 2 1 1 2 1 ) 1 ( 。 例5 ： 0 , 0 0 0 0 0 1 2 2 1 1 2 1 1 i n n n n z z y z y z y x x x D 。形状 18 解： 用 主 线 角 线 元 素 去 消 第 一 列 元 素 n n n n z y z y z y x x x D 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 1 2 1 1 n n n i i i
27、i z z x x x z y x 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 ) 1 )( ( 1 2 1 n i i i i n z y x z z z 。 例6 ： n n n n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a a b D 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 11 1 z y n n z y 2 2 z y 19 解：将D 的第1 行 去 减 各 行 得 b b b b b b a a a a b D n n 0 0 0 0 0 0 3 2 1 ，形状为 与 例5 方法相 同 ， 用 主 对 角 线 上 的 元 消 第 一 列 元
28、 ， 得 ). ( 0 0 0 0 1 1 2 1 n i i n n n i i n a b b b b a a a b D 说 明 ： 例4，例 5，例 6 是 三 线 行 列 式 。 计 算 形 如 的三线 行 列 式 ， 可 用 主 对 角 线 上 元 素 去 消 第 一 列 元 素 ， 其 他 三 线 行 列 式 一 般 先 用 展 开 定 理 降 价 ， 然 后 递 推 化 简 。 例7 ，Vandermond 行列式（书 P18 例1.3.5 ） 1 1 3 1 2 1 1 2 2 3 2 2 2 1 3 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n a a a a a
29、 a a a a a a a D 20 ) , , , ( ) ( 2 1 1 互异 n n i j j i a a a a a ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( 1 2 1 2 2 3 2 1 2 1 2 1 3 1 1 1 n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 共有 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( ) 1 ( n n n n 个 乘 积 项 。 例如： 3 3 3 3 2 2 2 2 4 ) 3 ( 2 1 4 ) 3 ( 2 1 4 3 2 1 1 1 1 1 64
30、 27 8 1 16 9 4 1 4 3 2 1 1 1 1 1 840 ) 3 4 )( 2 3 )( 2 4 ( ) 1 2 )( 1 3 )( 1 4 ( 例8 ss s s sr s s s r s r rr r r r r b b b c c c b b b c c c b b b c c c a a a a a a a a a 2 1 2 1 2 22 21 2 22 21 1 12 11 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 021 ss s s s s rr r r r r b b b b b b b b b a a a a a
31、 a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 简记为 B A B C A O（不加证明） 显然 也 有 B A B A B D A O O O例： . 28 14 ) 2 ( 2 0 1 7 5 1 4 3 1 2 4 2 1 2 0 9 2 3 1 7 4 9 7 0 0 5 1 4 0 0 3 1 2 0 0 4 2 1 *练习题 （1 ） 证 明 ： 1 2 3 4 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a x a a a x x x D . 4 3 2 2 3 1 4 a x a x a x a x （2 ） 证 明 ： ). )(
32、 )( )( ( 2 2 2 b c a b a c c b a b a c a c b c b a c b a 22 （3 ） 计 算 ： , 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 4 a a a a a a a D 解： a aa a D a D 1 1 0 1 1 0 0 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 2 1 3 4而 2 2 3 ) 1 ( a a D a D ； 2 2 1 a a D 4 3 2 2 3 2 2 4 1 ) 1 ( ) 1 ( a a a a a a a a a D a a D 另 法 ： 第 一 列 拆 开 4 3 4 ) ( 1 1 0 0 1
33、 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 a D a aa aa aa a aa aa a D 则 3 2 3 ) ( a D D 故 4 3 2 4 3 2 4 1 ) ( ) ( a a a a a a D D （4 ） 计 算 ： w a z a y a x a a a 1 4 0 0 3 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 3 3 2 2 2 2 1 1 。 解：第2 列与第4 列 互 换 ， 再 把 第2 行与第5 行 互 换 ， 得 23 ) )( )( ( 2 1 1 1 2 2 1 4 3 1 1 1 2 1 0 0 0 4 3
34、0 0 0 1 1 0 0 1 2 3 1 2 1 3 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a xy a a zw a a a a D 1.4 Cramer 法则 学习要求 ： 1）掌握Cramer 法 则 解 线 性 方 程 组 。 2 ） 了 解 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 的 条 件 。 一 、 解 非 齐 次 线 性 方 程 组 n i b x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n
35、j i j ij n n nn n n n n n n , , 2 , 1 , 1 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 为消 n x x x , , 3 2 ， 可 利 用 行 列 式 展 开 定 理 。 用 1 21 11 , , , n A A A 分 别 依 次 乘 上 面 各 方 程 ： 24 1 1 2 1 2 1 1 1 21 2 21 2 2 21 22 1 21 21 11 1 11 1 2 11 12 1 11 11 n n n n nn n n n n n n n n A b x A a x A a x A a A b x A a x A
36、 a x A a A b x A a x A a x A a 1 21 2 11 1 2 1 0 0 n n n A b A b A b x x Dx 当 , 0 D D D a a a b a a a b a a a b D A b A b A b D x nn n n n n n n n 1 3 2 2 23 22 2 1 13 12 1 1 21 2 11 1 1 1 1 ) ( , 1 2 2 21 1 1 11 列 i a b a a b a a b a D nn n n n n i 同理得： D D x D D x n n , , 2 2 。 定理1 非 齐 次 线 性 方 程 组
37、 n j ij i j ij a D b x a 1 0 , ， 则 有 唯 一 解 . D D x i i 当 0 D 时 ， 方 程 组 可 能 有 解 ， 也 可 能 无 解 。 令 25 二 、 齐 次 线 性 方 程 组 n j j ij n nn n n n n n n i x a x a x a x a x a x a x a 1 1 1 2 1 21 1 1 11 . , , 2 , 1 0 0 0 0 1 ） 齐 次 方 程 组 总 有 一 组 零 解 ： 0 , , 0 , 0 2 1 n x x x 2）当有某 0 t x ，称解 n x x x , , 2 1 为 一
38、组 非 零 解 。 若 0 D ，又由于 n i D D x D i i i , , 2 , 1 , 0 , 0 故 有 结 论 ： 0 D ， 齐 次 方 程 组 仅 有 零 解 。 等 价 结 论 ： 齐 次 方 程 组 有 非 零 解 ， 则 0 D 。 定理2 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 0 D例1 ： 0 2 3 1 2 2 1 2 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x解： 5 7 4 0 2 3 2 0 1 2 1 1 3 5 3 0 ) 3 ( ) 1 ( ) 2 ( 2 1
39、 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 D26 1 5 7 4 2 3 2 3 5 3 ) 1 ( 1 2 1 1 3 5 0 2 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 4 3 2 1 D ， D ， D ， D 1 , 3 , 5 , 0 4 4 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x 。 例2 ： 0 3 0 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x kx x x x kx 有 非 零 解 ， 求k 。 解 ： 齐 次 方 程 组 ， 有 非 零 解 ， 则 0 D 0 ) 3 )( 1 ( 3 2 1 1 3 1 1 1 1 2 k k k k k k D得 1 k 或 3 k 例3 ： 证 三 个 点 3 , 2 , 1 ), , ( i y x i i 在 平 面 的 一 条 直 线 上 的 必 要 条 件 是 . 0 1 1 1 3 3 2 2 1 1 y x y x y x) 1 (
