1、考点一 几何体的表面积 1.柱体、锥体、台体的侧面面积就是各侧面面积之和,表面积是各 个面的面积之和,即侧面面积与底面面积之和. 2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的 表面积就是展开图的面积. 3.圆柱的侧面积公式是S柱侧=2rl,表面积公式是S柱= 2r(r+l) ;圆锥 的侧面积公式是S锥侧=rl,表面积公式是S锥=r(r+l);圆台的侧面积公式是 S台侧=(r+r)l,表面积公式是S台=(r2+r2+rl+rl). 4.半径为R的球的表面积公式为S球= 4R2 .,知识清单,考点二 几何体的体积 1.长方体的体积公式是V=abc,正方体的体积公式是V=a3,
2、圆柱的体 积公式是V=r2h.所有棱柱和圆柱的体积公式可以统一为V柱=Sh,其中S 为底面面积,h为高. 2.圆锥的体积公式是V= r2h,棱锥的体积公式是V= Sh.圆锥和棱锥的 体积公式可以统一为 V锥= Sh ,其中S为底面面积,h为高. 3.圆台的体积公式为V= (r2+rr+r2)h,棱台的体积公式为V= (S+ + S)h,圆台和棱台的体积公式可以统一为V台= (S+ +S)h,其中S、S分 别为上、下底面的面积,h为高.,4.半径为R的球的体积公式为V球= R3 .,1.求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面面积之和,对于 圆柱、圆锥、圆台,已知上、下底面半径和母线长可以
3、用表面积公式直 接求出,对于棱柱、棱锥、棱台可以直接根据条件求各个面的面积,然 后求面积之和. 2.球的表面积公式是用无限分割的极限思想推导出来的,主要是记忆、 掌握公式. 3.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割或补形成基本的 柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和 或作差,求几何体的表面积.,几何体表面积的求解方法,方法技巧,例1 (2016课标全国,9,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实 线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( B )A.18+36 B.54+18 C.90 D.81,解析 由三视图可知,该几何体的底面是边长为3的
4、正方形,高为6,侧棱长为3 ,则该几何体的表面积S=232+233 +236=54+18 .故选B.,评析 本题考查了几何体的三视图和柱体的表面积,考查了空间想象能 力.掌握侧面的形状是求解的关键.,1.割补法 求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体等(或 补形成柱体、锥体等),分别求出柱体、锥体等的体积,从而得出几何体 的体积. 2.等体积变换法 (1)利用三棱锥的“等积性”可以把任意一个面作为三棱锥的底面. (i)求体积时,可选择容易计算的方式来计算; (ii)利用“等积性”可求点到面的距离,关键是在面中选取三个点,与已 知点构成三棱锥. (2)此种方法充分体现了转化的数学
5、思想,在运用过程中要充分注意距 离之间的等价转化.,几何体体积的求解方法,例2 (2017山西五校3月联考,10)九章算术是我国古代内容极为丰 富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二 丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊柱的 楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈,问它的体积是多少?”已知 1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出,其中网格纸上小正方形的边长为 1丈,则该楔体的体积为 ( A ),A.5 000立方尺 B.5 500立方尺 C.6 000立方尺 D.6 500立方尺,解题导引,解析 该楔体的直观图如图中的几何体ABCD
6、EF.取AB的中点G,CD的 中点H,连接FG,GH,HF,则该几何体的体积为四棱锥F-GBCH与三棱柱 ADE-GHF的体积之和.又可以将三棱柱ADE-GHF割补成高为EF,底面 积为S= 31= 平方丈的一个直棱柱,故该楔体的体积V= 2+ 23 1=5立方丈=5 000立方尺.,与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图 形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的 截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长 等于球的直径.球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体 对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们
7、的轴截面解题, 球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接 点”)作出截面图.,与球有关的表面积、体积的求解方法,例3 (2017广东广州一模,10)九章算术中,将底面为长方形且有一 条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱 锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三 棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 ( C ) A.8 B.12 C.20 D.24,解题导引,解析 如图,因为四个面都是直角三角形,所以PC的中点到每一个顶点 的距离都相等,即PC的中点为球心O,易得2R=PC= ,所以R=
8、 ,球O 的表面积为4R2=20,选C.,一题多解 将三棱锥P-ABC放在长方体中,如图,三棱锥P-ABC的外接球 就是长方体的外接球.因为PA=AB=2,AC=4,ABC为直角三角形,所以 BC= =2 .设外接球的半径为R,依题意可得(2R)2=22+22+(2 )2= 20,故R2=5,则球O的表面积为4R2=20,选C.,方法点拨 几何体的外接球问题是立体几何中的难点,也是近年来高考 的热点,此类问题的解题关键是确定球心的位置,求出球的半径.构造长 方体或正方体确定球心是常见的方法.同一个顶点处三条棱两两垂直的 四面体、四个面都是直角三角形的三棱锥、相对的棱相等的三棱锥可 构造成长方体或正方体.,
