1、4 反证法,小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!,上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?,小芳没有全家外出旅游.,妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游.,小华是如何推断该命题的正确性的?,假设小芳全家外出旅游, 那么今天不可能碰到小芳, 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾, 所以假设不成立, 所以小芳没有全家外出旅游. 这种思维方法就是我们今天要学习的反证法！,1.了解反证法是间接证明的一种重要的方法. 2.理解反证法的思考过程与特点，掌握反证法的步骤.（重点） 3.能正确应用反证法解决一些简单问题.（难点）,探究点1 反证法,在数学证明中，有直接证明和间接证明.在上一节
2、，我们学习的综合法和分析法都是直接证明的方法.这一节，我们将学习一种间接证明的方法反证法.,先看几个实例！,例1 已知:a是整数，2能整除,，求证：,2能整除a.,在本例中，我们要讨论的是2和整数a的整除关系.2能整除a,2不能整除a，二者必居其一. 由于不易直接证明“2能整除a”，不妨先假设“2不能整除a ”.在这个前提下，我们得到了与已知条件矛盾的结论.由此可以说明开始的假设是错误的，从而证明“2能整除a”.,例2 在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直. 求证：a与b平行.,在本例中，两条直线a与b要么相交，要么不相交，二者必居其一.由于不易直接证明“两条直线a，b平 行”，不妨先假
3、设“两条直线a，b相交”.在这个前 提下，我们得到了与已知定理矛盾的结论.这说明假 设“两条直线a ，b相交”不正确，那么假设的反面 就是正确的，即“两条直线a，b平行”.,思考：在上述的证明过程中，它们的证明有什么共同特点？ 提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一.我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义，公理，定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法.,反证法的证题步骤是： (1)作出否定结论的假设. (2)进行推理，导出矛盾. (3)否定
4、假设，肯定结论.,提升总结：一些常见的结论的否定形式.,不是,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某x， 不成立,存在某x, 成立,不等于,某个,13,例3 求证： 是无理数.,证明 假设 不是无理数，即 是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设 且p,q互素，则,所以， 2p2=q2 故q2是偶数，q也必然为偶数. 不妨设q=2k，代入式，则有2p2=4k2, 即 p2=2k2,所以，p也为偶数. p和q都是偶数，它们有公约数2,这与p,q互素矛盾.,这样， 不是有理数，而是无理数.,例4 已知a1+a2+a3+a4100,求证
5、：a1，a2，a3，a4中，至少有一个数大于25. 证明 假设结论不对，即a1，a2，a3，a4 均不大于25，那么，a1+a2+a3+a425+25+25+25=100，这与已知条件矛盾. 所以， a1，a2，a3，a4中，至少有一个数大于25.,例5 求证：1,2， 不可能是一个等差数列中的三项.,证明 假设 1,2， 是公差为d的等差数列的第p,q,r项，则2-1=（q-p）d, -1=(r-p)d,于是,因为p，q，r均为整数，所以等式右边是有理数，而等式左边是无理数，二者不可能相等，推出矛盾，所以1，2， 不可能是一个等差数列中的三项.,证明：,例6 已知直线a平行于平面,1.写出用
6、“反证法”证明下列命题的 “假设”. (1)互补的两个角不能都大于90. (2)ABC中,最多有一个钝角.,假设互补的两个角都大于90,假设ABC中,至少有两个钝角,（3） “若a2 b2,则a b”. .,假设a=b,.,.,2. 用反证法证明命题：“a,bN,ab可被5整 除，那么a,b中至少有一个能被5整除”时，假设 的内容应为( ) A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除 C.a,b不都能被5整除 D.a不能被5整除,B,3.用反证法证明“形如4k+3(kN*)的数不能化成两 整数的平方和”时，开始假设结论的反面成立应写 成_. 4.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四
7、 边形或五边形”的结论的否定是_ _.,假设4k+3=m2+n2(m，n为整数,kN*),没有一个是三角形或四边形或五边形,有一个多面体的面,5.求证：定义在实数集上的单调减函数y=f（x）的 图像与x轴至多只有一个公共点 证明：假设函数y=f（x）的图像与x轴有两个交点, 设交点的横坐标分别为x1，x2，且x1x2 因为函数y=f（x）在实数集上单调递减, 所以f（x1）f（x2）， 这与f（x1）=f（x2）=0矛盾 所以假设不成立 故原命题成立,反证法的一般步骤:,假设命题不成立,引出矛盾,假设不成立,求证的命题正确,假设,归谬,结论,从假设出发,得出结论,与假设、已知、定义、定理、公理或者事实矛盾等,回顾本节课你有什么收获？,一个人如同时具有孔子提倡的爱心、孟子的正义、墨子的实践、韩非子的直面人生、老子的智、庄子的慧、荀子的自强，就一定能成为领袖.,
