1、1,义务教育数学课程标准（2011年版）介绍,吉林省教育学院 孟祥静,2,汇报提纲,回眸义务教育数学课程标准（实验稿） 审视义务教育数学课程标准（2011年版）一、修改标准的基本原则二、体例与结构的调整三、“基本理念与设计思路”的修改（一）“基本理念”的修改（二）“内容标准”的修改 （三）“实施建议”的修改 （四） “案例”的修改 例说如何研读课程标准,3,實驗故事:,把五只猴子关在一个笼子里，笼子上头有一串香蕉。实验人员装了一个自动装置，若是到有猴子要去拿香蕉，马上就会有水喷向笼子，这五只猴子马上会被淋湿。首先有只猴子想去拿香蕉，马上水喷出来。每只猴子都淋湿了，每只猴子都去尝试了，发现都是如
2、此。于是猴子们达到一个共识：不要去拿香蕉！因为有水会喷出来！,4,后来实验人员把其中的一只猴子换掉，换一只新猴子（称为A猴子）关到笼子里。这只A猴子看到香蕉，马上想要去拿，结果被其他四只旧猴子海K了一顿。 其他四只猴子认为新猴子会害他们被水淋到，所以制止这新猴子去拿香蕉。这新猴子尝试了几次，被打的满头包，还是没有拿到香蕉，当然这五只猴子就没有被水喷到。后来实验人员再把一只旧猴子换掉，换另外一只新猴子（称为B猴子）关到笼子里，这只B猴子看到香蕉，当然也是马上要去拿，结果也是被其他四只猴子打了一顿。那只A猴子打的特别用力。B猴子试了几次总是被打的很惨，只好作罢。后来慢慢的所有的旧猴子都换成新猴子了
3、。大家都不敢去动香蕉，但是他们都不知道为什么，只知道去动香蕉会被人打。这就是“传统”的由来。当你接受某种环境的制约而失去反省及思考能力时将永远不会有新的解决方法，个人的能力就成为负成长。长此以往将成为窠臼，也就会变成“不长进”。也许我们就是其中一只猴子。我们处在思想控制一切的世界中、这些先入为主的概念、徧见及所收集的数据, 控制了一切,使我们忘记了本性、使我们忘记了我们不是那个先入为主的概念。我们不应忘记我们的判断力、我们必须找出自己本有的智慧。,5,回眸义务教育数学课程标准（实验稿） ,基础教育数学课程改革从1999年开始设计， 义务教育数学课程标准（实验稿） 文本的研究与制定 从1999年
4、下半年开始，2001年七月教育部印发了义务教育数学课程标准（实验稿） 。2001年开始实验，到2005年全国所有地区全部使用。,6,义务教育数学课程标准（实验稿） 分课程理念、课程目标、内容标准和课程实施建议四大部分，与教学大纲的形式、结构以及内容等诸多方面的不同， 义务教育数学课程标准（实验稿） 在各个部分分别阐述了对义务教育教学课程的认识、理解、要求和期望，构成了新一轮课程改革的指导性文件。,7,一、修改标准的基本原则,标准修改的基本原则和思路是：修改的基础是课程改革实施以来的实践和调查研究的结果；修改应稳步进行，使得标准更加准确、规范、明了、全面；增强可操作性，更适合于教材编写、教师教学
5、、学习评价。,8,进一步处理好以下几个关系：一是关注过程和结果的关系；二是学生自主学习和教师讲授的关系；三是合情推理和演绎推理的关系；四是生活情境和知识系统性的关系。,9,二、体例与结构的调整,1重新撰写“前言”部分“前言”明确了阐述了数学的价值，数学教育的意义，数学课程的性质，课程基本理念，以及数学课程设计思路。 2整合三个学段的“实施建议”为了避免行文的重复、进一步突出义务教育阶段教育的完整性，标准（2011年版）将原来分三个学段撰写的实施建议进行了整合，三个学段统一撰写了教学建议、评价建议和教材编写建议。,10,3将案例等统一放入附录 将标准课程目标中的“术语解释”和内容标准中的“案例”
6、统一放在附录中，分别成为附录1和附录2。对案例进行统一编号，便于查找和使用。这样大大减少了标准（修改稿）正文的篇幅。,11,三、“基本理念与设计思路”的修改,（一）“基本理念”的修改 基本理念反映出我们对数学、数学课程、数学教学以及评价等方面应具有的基本认识和观念、态度，它是制定和实施数学课程的指导思想。标准中的每一部份内容都要贯穿基本理念的思想和要求。同时，教师作为课程的实施者，更应自觉树立起正确的数学观、数学课程观、数学教学观、评价观等数学教育观念，并用以指导自己的教学实践活动。,12,原课标： 数学课程 数学数学学习 数学教学评价 信息技术新课标： 数学课程 课程内容教学活动 学习评价信
7、息技术,13,1. 修改了对数学的意义、数学教育的作用等的表述,原课标： 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程 新课标： 数学是研究数量关系和空间形式的科学,关于数学观（如何认识数学）,14,新课标：揭示了作为一门科学的数学所表现出的文化特征及应有价值,数学是研究数量关系和空间形式的科学。 数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养 要发挥数学在培养人的（理性）思维能力和创新能力方面的不可替代的作用,15,一种观点：两种表述结合起来更好,通过静态表述，
8、揭示数学的学科内涵是一种传统规范，也与高中课标协调 将数学视为一种活动、一种过程，今天来看也是很主流的数学哲学观，动态表述能很好支撑注重活动过程的数学新课堂 静态与动态结合，有利于辩证看待数学的本质，树立正确的数学观和数学教学观,16,2“数学课程”的修改,前言增加了对数学课程性质的表述 数学课程的性质表述为，“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。 义务教育阶段的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面得
9、到发展。”,17,义务教育阶段数学课程本质属性,事实上，义务教育阶段数学课程这些本应被“突出体现”的属性有被弱化（或“异化”）的倾向。在相当大范围，义务教育阶段的数学课程从一开始就被导入应试升学的轨道，“突出体现”的就是竞争性、区分性和筛选性，这给学生发展带来诸多不利影响。因此，标准对义务教育阶段数学课程本质属性的强调颇有“正本清源”之意。,18,数学课程核心理念:,人人学有价值的数学 人人都能获得必需的数学 不同的人在数学上得到不同的发展,人人都能获得良好的数学教育 不同的人在数学上得到不同的发展,树立正确的课程观,19,关于“人人都能获得良好的数学教育”,与过去的提法相比：出发点不变（人人
10、、不同的人）；有更深的意义和更广的内涵；落脚点是数学教育而不是数学内容；体现了更强的时代精神和要求（公 平的、优质的、均衡的、和谐的、可持续发展的教育）。,20,教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。,树立正确的数学教学观,21,什么是数学课堂教 学中最需要做的事？,数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。改变人才培养模式要从这些方面入手！,22,原课标：“有效的数学
11、学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”,学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。,23,原课标：教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。,教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础
12、，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。,24,原课标：“对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平。更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”,应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。,树立正确的评价观,
13、25,如何看待信息技术的运用？,数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式,26,3.“课程目标”的修改,1明确提出“四基” 在我国传统优势“双基”和标准的基础上，提出了“四基”：即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 2提出了发现和提出问题的能力 对于问题解决能力方面，在原来标准分析和解决问题能力的基础上，进一步提出培养学生发现和提出问题的能力（双能变四能）。,27,一个观点：
14、,“创新能力的基础依赖于三方面:知识的掌握、思维的训练、经验的积累,三方面同等重要.关于“知识的掌握”,我国的中小学数学教育是没有问题的;关于“经验的积累”,大概还差得很多;关于“思维的训练”,我们做得也不够,只能打五十分.那么为了创新型国家的建立我们现在的教育只做了一半的工作.我们没有更多地在基础教育阶段教孩子如何去创新,帮他们从小的事情、小的发现开始积累经验,没有这样的意识。”（史宁中 2007年 第46卷 第5期数学通报) ）,28,案例：双头扫把,英国男孩森姆霍顿在3岁时， 看爸爸在后园扫地，扫树叶树枝时 用一把扫把，扫沙尘时要用另一把， 觉得很麻烦。于是，3岁的森姆小脑 子一转，想出
15、用橡皮筋把两把扫把绑 在一起，扫大件垃圾的粗毛扫把头在 前面，另一把绑在后面。 当他5岁时，这项发明“双头扫把” 申请发明专利成功，森姆也随之成为 全英最年轻的发明家。 这个“发明”简单得似乎有些可 笑。不过，专家认为森姆小小年纪就 有此创意实属难得，并称之为21世纪 最激动人心的发明之一。,29,何为数学基本思想？,德国诺贝尔奖获得者、物理学家冯.劳厄：“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西”,数学课堂教学应该是有思想的教学！有了思想才有了课堂的生命,30,什么是数学学习中最本质的东西？,波利亚（美）一贯强调把“有益的思考方式，应有的思维习惯”放在教学的首位。 闵山国藏（日本）指出
16、，学生在毕业之后不久，数学知识就很快忘掉了，“然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、推理方法和着眼点（如果培养了这种素质的话），在随时发生作用，使他们受益终身。”,31,可以讨论的观点：,“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”（史宁中，数学思想概论第一辑，东北师范大学出版社，2008.6，第一页）。 从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。,32,何为数学基本思想？,数学基本思想是
17、指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性认识 数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中；它制约着学科发展的主线和逻辑架构；是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、结构、数形结合、随机等。,33,如何培养归纳推理？,34,原来的处理：利用数轴通过蜗牛运动的例子得出,35,36,为了突出体现在具体实例的基础上，归纳给出相关概念、法则的编写思路，从引入负数后的乘法算式分类开始，由两个正数的乘法逐步过渡到“负负得正”。注意在此过程中体现数域扩充过程中，运算法则的一致性。,现在的处理,37,38,39,40,规定 归纳 利用数轴 满足运算律
18、例如，为什么规定 (3)(5)=15？希望保持分配律a（b+ c）= ab + ac的结果。（3）（5）（3）（05）（3）0（3）50（15）15 让(1)(1)1行不行？会出现矛盾：令a1，b1，c1，就会有1(11)112而另一方面又有1(11)100,有理数的乘法法则,41,42,如何培养抽象？,案例教学数轴,43,如何培养建模？,44,45,46,三道题目都关注从实际问题中抽象建立一次函数模型解决问题的考查，但却体现了三个阶段的不同考法题目1背景来源于生活，对应变化规律明显，并直接给出一次函数模型，题目较为基础；题目2以函数图象为基本载体，考生需通过读图、释图、补图，并进行相应的计算
19、才能完成问题的解答，题目具有一定的综合性，是目前比较流行的一种命题方式；题目3摆脱了通过图形与图象呈现实际问题的传统模式，通过简洁的语言直接叙述实际问题，考生需要从文字叙述中抽象出数学问题，再通过画图、计算，然后才能发现解决问题的基本模型，最后建立一次函数模型解决问题回顾吉林省这三年中考试题，从直接给出模型，重点关注函数解析式的建立，到通过函数图象反映函数类型，关注函数与方程的综合应用，再到从实际问题抽象出数学问题，用函数刻画事物的变化规律的三种不同考法，反映出不同阶段对建模思想的不同认识与理解,47,48,如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点
20、A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得CAD=30；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得CBD=60请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度 （2012六盘水）,49,（二）“内容标准”的修改,对“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”四个方面的课程内容做了明确的阐述。,原课标：数与代数 空间与图形统计与概率 实践与综合应用新课标：数与代数 图形与几何统计与概率 综合与实践,50,数学内容,基本思想与基本活动经验,10个核心概念,51,关于10个核心概念的分析 原课标也称为“关键词”,原课标：数感 符号感 空间观念（6个） 统计观念 应用意识 推理能力修改后
21、：数感 符号意识 运算能力（10个） 模型思想 空间观念 几何直观推理能力 数据分析观念 应用意识 创新意识,52,核心概念有何意义？,首先，标准将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中的。从这一意义上看，核心概念往往是一类课程内容的核心或主线，它有利于我们体会内容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学中的关键。,53,第二，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，仅以“数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来看，标准就提出了：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和
22、运算能力”；“发展数据分析观念，感受随机现象”；“发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。这些目标表述几乎涵盖了所有的核心概念。,54,第三，深入一步讲，很多核心概念都体现着数学的基本思想 。数学基本思想集中反映为数学抽象、数学推理和数学模型思想。 比如，与“数与代数”部分内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质。,55,第四，从这10个名词的指称来看，它们体现的都是学习主体学生的特征，涉及的是学生在
23、数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。所以，把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的。,56,核心词之一：数感,课程标准实验稿 数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。,课程标准2011年版 数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具
24、体情境中的数量关系 。,57,如何培养学生的数感,一、结合适当的情境，积累数感经验1.强化数的大小感悟2.提高对近似计算的认识3.引导学生用数字的眼光看世界 二、经历数的扩充，强化数感思维 三、注重合理的估算，发展数感品质,58,一、结合适当的情境，积累数感经验,1.强化数的大小感悟数的本质在于数的多少与大小，如何在日常教学中强化学生对数的大小的感悟呢？让我们从两个有理数的大小比较谈起吧。例如在“比较两个负数的大小”的教学中，我们可以这样设计： （1）生活实例感知数的大小 零下5与零下10哪个温度低？ “蛟龙号”下潜7062米与“蛟龙号”下潜7000米，那么海拔- 7062米与海拔- 7000
25、米那个更低一些？通过以上两个实例让学生真正感受 -5-10, -7062-7000的合理性。,59,（2）数形结合感知数的大小,利用数轴直观来体会数的大小是体会数的大小最为行之有效的方法之一。例如比较 的大小，可以借助图1，学生通过精确画图，即可得出结论。图1,60,为进一步提升对数的感知，在图1的基础可以继续提问：请你在图2所示的数轴上直接描出的大致位置。通过改变准确刻画为估计数的位置，可以进一步强化学生对 的大小关系的感知经验。 图2,61,在此基础上还可以进一步提问：在图3中 之间有多少数？若存在，请你能写出一个；若不存在，请说明理由。图3 通过这种尝试与思考，进一步丰富学生对数的大小的
26、感悟。,62,（3）归纳方法感知数的大小,例如：比较 的大小。 教师可以引导学生通过如下的归纳方法进行： 观察下列各数与0的大小之差： 3 2 1 0 -1 -2 通过观察3,2,1,0，学生很容易可以得出：3是比0大3的数，2是比0大2的数，1比0大1的数，由此可以看出-1是比0小1的数，-2是比0小2的数，进而可以归纳得出一般性的结论：-a（a是一个正数）就是比0小a的数。通过这种规律可以看出是 比0小 ， 是比0小 的数，因此 。这种归纳的方法是课程标准2011年版所提倡的引导学生发现问题和培养学生创新意识的重要手段。,63,通过生活实例感知数的大小、数形结合感知数的大小、归纳方法感知数
27、的大小这三个环节对数的大小比较的探索，学生不仅能深刻理解两个负数绝对值大的反而小的法则，同时更能引导学生进一步感悟数的大小比较法则的合理性，同时将数的大小感觉内化。,64,2.提高对近似计算的认识,对近似计算的认识绝大多数学生仅仅停留在四舍五入规定的层面，为改变这种局面，在“近似数”教学设计中，可以组织学生测量数学书的长与宽（结果精确到0.1cm），课桌的长与宽（结果精确到1cm），教室的长与宽（结果精确到0.1m），操场的长与宽（结果精确到1m），通过不同的测量精度要求体会不同的实际数量会产生不同的精确度，感受近似计算的合理性。,65,在“解直角三角形”教学设计中，我们可以进一步体会精确度的
28、实际意义。例如人教版九年级下册例3是测量航天飞船与看到的最远点的距离，要求测量精度为结果精确到1km，这意味着即使测量误差达到900米左右也可忽略不计。而人教版九年级下册例4是测量高楼的高度，精确度为结果精确到0.1m。这说明测量结果相差1m都太大了。对比这两个例子，我们可以使学生进一步体会精确度的合理性，体会近似计算的实际意义。,66,3.引导学生用数字的眼光看世界,数的感知是一个逐步丰富发展的过程，因此教师应当在日常教学中注意培养引导学生观察生活中数字的良好习惯。例如学生的身份证号码、学籍号码、汽车号牌等等都含有大量的数字信息。 例如：一张身份证的号码是220104195911140034
29、，各位数字的含义是： 其中16位数为地区代码，714位为出生日期，第1517位为顺序号，其中单数为男性分配码，双数为女性分配码，18位为效验位（识别码）,67,再如：同一品牌同一种饮料，有两种包装产品：500ml装2.5元/瓶，1.5l装6元/瓶，你认为购买哪种包装饮料更合算呢？ 现实生活中蕴含着大量与数有关的信息，在日常教学中不断引导学生发现理解这些信息，用数学的眼光观察世界是提高数感的有效途径。,68,二、经历数的扩充，强化数感思维,在“负整数指数”教学设计中可以采用归纳的方式，引导学生感受负整数指数规定的合理性。 观察下列计算规律，填空：,69,通过观察可以发现，指数每减少1，幂就变为原
30、数的 ，由此可以得出 ，进一步引导学生观察 ，最终引导学生得出一般性的结论。通过这种归纳可以使学生体会到负整数指数规定的合理性。在规定的基础上，再次验证这个规定与“幂的运算性质”无矛盾，原有幂的运算性质可以扩充到负整数指数幂。例如： 运用幂的运算性质可得 根据除法意义可得 从而进一步验证了。 让学生经历指数概念是如何扩充的，使学生亲身经历数学自身发展的轨迹，有利于学生提升理性思维，进一步发展数感经验。,70,三、注重合理的估算，发展数感品质,在日常教学中，教师应善于引导提问，例如：珠穆朗玛峰有多高？上海东方明珠塔有多高？它们的高度相当于几层楼的高度或者相当于多少个学生手拉手的长度？你还可以用哪
31、些熟悉的事例来描述这些高度？这些问题引导学生用自己熟悉的数量估测实际问题的较大数量，有助于学生感知和认识大数，进一步发展数感。,71,估算是发展数感，提升数感品质的重要方法。例如估计 与0.5哪个大？与1.0呢？再如：估计 方程的解。 观察这个方程，当x的绝对值较大时，方程左边的值必为正数，如x=-3；当x的绝对值较小时，方程左边的值必为负数，如x=1。因此方程在-3和1之间一定有一个解。进一步可以将解的范围缩小，使我们估计的解尽可能精确。如选-3和1的中间值-1代入方程左边进行计算，结果为负数，则在-1和1之间必有一个解。以此类推，可以不断的接近真实值。通过这种观察、探索，使学生初步感悟代入
32、数值进行计算也是解方程的有效途径，进一步积累对数的感悟经验。,72,核心词之二：符号意识,课程标准实验稿（符号感） 符号感主要表现在：能从具体情境中数量关系和变化规律，并用符号表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题,课程标准2011年版（符号意识） 符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。,73,符号意识的要求就具体体现于符号理解、符号操作、符号表达、符号思考四个维度。,74,例
33、：在下列横线上填上合适的数字，字母或图形，并说明理由。1,1,2；1,1,2； ， ， ；A,A,B；A,A,B； ， ， ；， ， ；， ； ， ， ；通过观察规律，使一学段学生能够感悟到：对于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。,符号表达的多样性,75,发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考”,例：“房间里有4条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？”如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼”解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到
34、解题思路。如可以用表格分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或二元一次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。,76,核心概念之三：空间观念 （1）空间观念的含义,空间观念是指对物体及其几何图形的形状、大小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和认识，空间想象是建立空间观念的重要途径空间观念也是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造,77,（2） 标准中空间 观念所提出的要求,标准从四个方面提出了要求： 根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体； 想象出物体的方位和相互之间的位置关系； 描述图形的运动
35、和变化； 依据语言的描述画出图形等。,78,核心概念之四：几何直观 此次新增的核心概念,（1）对几何直观的认识 顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。,79,希尔伯特（Hilbert）在其名著直观几何一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由
36、此可见一般。,80,（2）标准中几何直观的含义,标准指出：“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”,81,它表明：今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数学对象的“图形表示”和“图形分析”。,前者指教学中要培养学生通过画图来表达数学问题的习惯，能画图时尽量画；后者指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展示出来，通过对图形的分析思考进而寻求解决问题的思路。,82,（3）几何直观的培养,使学生养成画图习惯,鼓励
37、用图形表达问题 可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观。 例如：你能用哪些方法画出（做出）平行四边形？,83,重视变换让图形动起来,几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面，在认识、学习、研究非对称图形时，又往往是运用这些对称图形为工具的。变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图
38、形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。,84,学会从“数”与“形” 两个角度认识数,数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。,85,例如，若每两人握一次手，则3个人共握几次手，4个人共握几次手， n个人共握几次手？ 用归纳的方法探索规律，如下表:,人数 握手次数 规律2 1 13 3 1+24 6 1
39、+2+3 n 1+2+3+(n-1),A1,A2,A3,AN,86,对于七、八年级的学生来说，要发现“1+2+3+(n-1)”这个规律并不容易，计算1+2+3+(n-1)得到 1/2 n（n -1） 也有困难。 但是，如果把“人”抽象成“点”，“两人握1次手”抽象成“两点之间连接一条线段”，那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于n点中的任何一个点，它与其它的（n-1）个点共可连接（n -1）条线段，因而n个点共可连接n（n -1）条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段AB与线段BA是同一条线段），所以共可连接1/2 n（n -1）条线段。,87,用“图形法” 解决问题,掌握、运用
40、一些基本图形解决问题把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸， 直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。,88,核心概念之五：数据分析观念 由统计观念改为数据分析观念,原课标中的“统计观念”，强调的是从统计的角度思考问题，认识统计对决策的作用，能对数据处理的结果进行合理的质疑等要求。此次将其改为“数据分析观念”，就是希望改变过去这一概念含义较“泛”，体现统计与概率的本质意义不够鲜明的弱点，而将该部分内容聚焦于“数据
41、分析”。,89,（1）数据分析观念的含义数据分析观念是学生在有关数据的活动过程中建立起来的对数据的某种“领悟”、由数据去作出推测的意识、以及对于其独特的思维方法和应用价值的体会和认识。,90,一是过程性（或活动性）要求：让学生经历调查研究，收集、处理数据的过程，通过数据分析作出判断，并体会数据中蕴涵着信息 二是方法性要求：了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的数据分析方法 三是体验性要求：通过数据分析体验随机性,（2）数据分析观念的要求：,91,统计学并没有固定的研究对象，统计学的研究依赖于数据以及数据产生的背景，那么什么是“数据”呢？这是一个最为基本也是最难回答的问
42、题。我想，我们是否可以这样来理解数据：数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括语言、信号、图象，凡是能承载事物信息的东西都构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术。-史宁中 数学思想概论第1辑,92,统计学研究的基础是样本，是构建统计量来进行研究的。 要引导学生逐渐体会“随机”的意义。 习惯于从统计规律看问题的人，在思想上不拘执一端，他既认识到一种事物从总的方面有一定的规律，也承认例外。陈希孺（院士） 机会的数学清华大学出版社,93,核心概念之六：运算能力 此次增加的核心概念,运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数
43、学的过程中，要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能，并发展运算能力。,94,（1）标准对运算能力的要求,标准指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。,95,（2）对运算能力的认识,运算的正确、有据、合理、简洁是运算能力的主要特征。 运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一
44、种数学的思维能力。,96,九九的扩充（1020的乘法）,1213 17 13 1418 1619,97,核心概念之七：推理能力,此次标准提出的推理能力与过去相比，有这样一些特点： 一是进一步指明了推理在数学学习中的重要意义。标准指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。它对教学的启示是，不仅要引导学生认识到推理是数学的重要基础之一，它与人们的生活息息相关，更重要的是要逐步培养学生运用推理进行思维的方式。,98,突出了合情推理与演绎推理,二是基于数学推理的特点，突出了合情推理与演绎推理这条主线。指出在数学思维和问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成合情推理
45、用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。,引导学生多经历“猜想证明”的问题探索过程,99,三是强调推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”。,其一，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容， 其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程 其三，它应贯穿于整个数学学习的环节 也应贯穿于三个学段，合理安排，循序渐进，协调发展,100,通过多样化的活动，培养学生的推理能力,反思传统教学，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然，这样的认识是带有局限性的。,101,标准强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。如标准提出：“在参与观
46、察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力， ”（总目标），“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（三学段）,102,使学生多经历 “猜想证明”的问题探索过程,在“猜想证明”的问题探索过程中，学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利。 教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。,103,核心概念之八：模型思想,在义务教育阶段提出模型思想主要有如下理由：第一，模型思想是一种基
47、本的数学思想；第二，模型思想及相应的建模活动与很多课程 目标点密切相关（如数感、符号意识、几何直观、发现、提出问题能力、数学的联系、数学应用意识、改善数学学习方式等等），提出模型思想能很好地支撑这些课程目标的实现；,104,第三，模型思想本身就渗透于各课程内容领域之中，突出模型思想有利于更好理解、掌握所学内容； 第四，培养学生的模型思想对义务教育阶段学生来说是可行的。此外还要看到，数学建模已是高中数学课程的学习内容，提出模型思想亦能更好与高中课程衔接。,105,对数学建模的认识,所谓数学模型，就是根据特定的研究目的和问题，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形
48、成的 一种数学结构。 在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。,106,数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。这一过程的步骤可用如下框图来体现：,这些步骤反映的是一个相对严格的数学建模过程，义务教育阶段特别是小学的数学建模视具体课程内容要求，不一定完全经历所有的环节，这里有一个逐步提高的过程。,107,标准中模型思想的含义及要求,模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。,使学生体会和理解数学与外部世界 的联系是这一核心概念的本质要求,108,标准从义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简化为这样三个环节：,
