1、第四节 数列的求和,1.公式法 （1）使用已知求和公式求和的方法. （2）数列求和常用公式：,na1,n2,2.裂项相消求和法 把数列的通项分解为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法. 3错位相减求和法 （1）适用的数列：anbn，其中数列an是公差为d的等差数列,bn是公比为q1的等比数列. （2）方法：设Sn=a1b1+a2b2+anbn, 则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1， -得：(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1，就转化为根据公式可求的和.,4其他求和方法,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）. （1）如果数
2、列an为等比数列，则其前n项和 ( ) （2）当n2时， ( ) （3）求Sn=a+2a2+3a3+nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.( ) （4）如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm=mSk.( ),（5）如果数列an是公差d0的等差数列，则 ( ) 【解析】（1）错误.当q=1时，Sn=na1. （2）正确.直接验证或倒推可知正确. （3）错误.需要分a=0,a=1，以及a0且a1三种情况求和. （4）正确.根据周期性可得. （5）正确.直接验证或倒推可得. 答案：（1） （2） （3） （4） （5）,1等比数列an的前n项和为
3、Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1=1，则S4=( ) (A)7 (B)8 (C)15 (D)16 【解析】选C.4a1，2a2，a3成等差数列， 4a1+a3=4a2，即4a1+a1q2=4a1q, q2-4q+4=0,q=2,S4=15.,2sin21+sin22+sin23+sin288+sin289=( ) (A)44.5 (B)45 (C) (D)89 【解析】选A.设S=sin21+sin22+sin23+sin288+sin289, 则S=sin289+sin288+sin287+sin22+sin21, 即S=cos21+cos22+cos23+cos288+cos
4、289,与第一个式子相加，得2S=89，所以S=44.5.,3数列an的通项公式an=2n-(-1)n，设此数列的前n项和为 Sn，则S10S21S100的值是( ) (A)9 746 (B)4 873 (C)9 736 (D)9 748 【解析】选A.当n为奇数时，an=2(n+1)；当n为偶数时， an=2(n-1)， 故有故S10S21S100=9 746.,4一个数列an，当n是奇数时，an=5n+1；当n为偶数时，则这个数列的前2m项的和是_ 【解析】所有奇数项的和 所有偶数项的和 两部分相加即得. 答案：2m+1+5m2+m-2,考向 1 公式求和法 【典例1】解答下列各题： （1
5、）已知数列an的前n项和Sn=32n-n2，求数列|an|的前n项和Tn. （2）已知数列an的通项公式是an=23n-1+ (-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3，求其前n项和Sn. 【思路点拨】（1）根据数列an的前n项和可得数列an的通项公式，根据求出的通项公式把数列|an|分段求解. （2）由于存在(-1)n，按照n为奇数和偶数分别求解.,【规范解答】（1）当n=1时，a1=S1=31，当n2时，an=Sn-Sn-1 =33-2n， an=33-2n（nN+），即数列an是公差为-2，首项为31的等差数列， 令an=33-2n0，则n16， 故当0n16时，Tn=Sn=
6、32n-n2； 而当n17时，,Tn=S16-(a17+a18+an)=-Sn+2S16， 即Tn=-32n+n2+2(3216-162) =n2-32n+512，,（2）Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+（-1）n(ln 2-ln 3) +-1+2-3+（-1）nnln 3, 所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，,【拓展提升】几类可以使用公式求和的数列 （1）等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解. （2）奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式
7、. （3）等差数列各项加上绝对值，等差数列乘以(-1)n.,【变式训练】解答下列各题： （1）在等差数列an中，a1=-60，a17=-12,求其前30项的绝对值之和. （2）已知数列an为等比数列，a2=6,a5=162设Sn是数列an的前n项和，求Sn,【解析】（1）设等差数列的前n项和为Sn，前n项的绝对值之和为Sn， 由-60+16d=-12得d=3， an=-60+3(n-1)=3n-63， 由此可知当n20时，an0；当n21时，an0， S30=-(a1+a2+a20)+a21+a30, =S30-2S20, 即,（2）设等比数列an的公比为q，则a2=a1q,a5=a1q4，
8、依题意得 解得a1=2,q=3，得,考向 2 裂项相消求和法 【典例2】解答下列各题. （1）已知数列an的前n项和Sn=3n2-2n，求数列 的前n 项和Tn. （2）已知数列4n-2n（nN+）的前n项和为 求数列bn的前n项和Tn. 【思路点拨】（1）求出数列an的通项公式，裂项求和. （2）求出Sn并对Sn进行分解，裂项bn即可.,【规范解答】（1）当n2时， an=Sn-Sn-1 =(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1) =6n-5. 当n=1时，a1=S1=1，所以an=6n-5(nN+). 所以设,（2）根据等比数列求和公式得所以所以,【拓展提升】常见的裂项方法（其中n为
9、正整数）,【提醒】裂项相消法要注意相消后剩下的是哪些项，不要漏写或写错.,【变式训练】等差数列an的各项均为正数，a1=3，前n项和 为Sn，bn为等比数列, b1=1，且S2b2=64 ,S3b3=960 (1)求an与bn. (2)求和： 【解析】（1）设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正 数， an=3+(n-1)d，bn=qn-1. 依题意有 解得 或 (舍去) 故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.,（2）Sn=3+5+（2n+1)=n(n+2),考向 3 错位相减求和法 【典例3】（1）数列n4n-1的前n项和Sn=_. (2)（2013安庆模拟）设数列an的前
10、n项和为Sn，且2an=Sn+2n+1(nN+). 求a1,a2,a3; 求证：数列an+2是等比数列; 求数列nan的前n项和Tn.,【思路点拨】（1）写出和式Sn后，把该式等号两边同时乘以4 后两式相减. （2）利用an与Sn的关系求解;证明 常数;根据 an+2为等比数列，求出an，根据nan的特征，利用错位相减法 求解.,【规范解答】（1）设an=n4n-1, Sn=a1+a2+an =1+241+342+n4n-1， 4Sn=14+242+343+(n-1)4n-1+n4n， 两式相减得-3Sn=1+41+42+43+4n-1-n4n答案：,（2）由题意，当n=1时，得2a1=a1+
11、3，解得a1=3. 当n=2时，得2a2=(a1+a2)+5,解得a2=8. 当n=3时，得2a3=(a1+a2+a3)+7，解得a3=18. 所以a1=3,a2=8,a3=18. 因为2an=Sn+2n+1, 所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立, 两式相减得：2an+1-2an=an+1+2. 所以an+1=2an+2(nN+)， 即an+1+2=2(an+2). 所以数列an+2是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列.,由得:an+2=52n-1，即an=52n-1-2(nN+). 则nan=5n2n-1-2n(nN+). 设数列5n2n-1的前n项和为Pn, 则Pn=5120+
12、5221+5322+5(n-1)2n-2+ 5n2n-1,所以2Pn=5121+5222+5323+5(n-1)2n-1 +5n2n, 所以-Pn=5(1+21+22+2n-1)-5n2n, 即Pn=(5n-5)2n+5(nN+). 所以数列nan的前n项和 整理得，,【互动探究】把题（1）中“数列n4n-1”改为“数 列 ”，求其前n项和Sn. 【解析】由题得 则 两式错位相减得,【拓展提升】错位相减法求和的关注点 （1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. （2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式
13、.,【变式备选】a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列an是递增的等差数列，数列bn的前n项和为Sn，且 (1)求数列an，bn的通项公式. (2)记cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn,【解析】(1)解x2-12x+27=0得x1=3,x2=9， 因为an是递增的，所以a2=3，a5=9， 解 得 所以an=2n-1. 在 中，令n=1得 当n2时， 两式相减得所以bn是等比数列，,两式相减得： 所以,【满分指导】解答数列求和问题 【典例】（12分）（2012江西高考）已知数列an的前n项 和 （其中kN+）,且Sn的最大值为8. （1）确定常数k，求an. （2）求数列 的
14、前n项和Tn.,【思路点拨】,【规范解答】（1）当n=k，kN+时， 取最大值， 即 2分 故k2=16，因此k=4,3分 从而 又 适合 ，5分 所以 6分,（2）设 7分8分 所以12分,【失分警示】 （下文见规范解答过程）,1.（2013安庆模拟）已知数列an的通项公式是an=(-1)n（n+1），则a1+a2+a3+a10=( ) (A)-55 (B)-5 (C)5 (D)55 【解析】选C.由an=(-1)n(n+1),得 a1+a2+a3+a10 =-2+3-4+5-6+-10+11=51=5.,2.（2013西安模拟）等差数列an的通项公式为an=2n+1， 其前n项和为Sn，则
15、数列 的前10项和为( ) (A)70 (B)75 (C)100 (D)120 【解析】选B.因为等差数列an的通项公式为an=2n+1，所以 Sn=n2+2n,所以 3+4+5+1275.,3.（2012大纲版全国卷）已知等差数列an的前n项和为 Sn，a5=5，S5=15，则数列 的前100项和为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.由a5=5,S5=15,得a1=1,d=1，所以an=1+(n-1)=n， 所以 又,4.（2012江西高考）已知数列an的前n项和Sn=kcn-k（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3. （1）求an. （2）求数列nan的前n项和T
16、n. 【解析】(1)当n1时，an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1）， 则a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2)，即k(c2-c1)=4，解得k=2，an=2n（n1）， 当n=1时，a1=S1=2，综上所述an=2n(nN+）.,(2)nan=n2n，则 Tn=2+222+323+n2n 2Tn=122+223+324+（n-1)2n+n2n+1 -得 -Tn=2+22+23+2n-n2n+1， Tn=2+(n-1)2n+1.,1.若数列an满足 (nN+，d为常数），则称数列 an为“调和数列”.已知正项数列 为“调和数列”，且 b1+b2+b9=90，则b4b6的最大值是( ) (A)10 (B)100 (C)200 (D)400 【解析】选B.由已知得bn为等差数列，且 b4+b6=20,又bn0, 所以 当且仅当b4=b6时等号成立.,2.已知数列an满足a1=1,a2=2, 则该数列的前20项的和为_. 【解析】当n为奇数时，an+2=an+1，故奇数项组成了首项为1， 公差为1的等差数列，其前10项之和等于 当n为偶数时，an+2=2an，故偶数项组成了首项为2，公比为2的 等比数列，其前10项之和为 所以，数列an的前20项之和为55+2 046=2 101 答案：2 101,
