1、第二节 圆与直线、圆与四边形,1.圆周角定理及其推论 (1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_. 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的_. (2)推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角_；在同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也_. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_；90的圆周 角所对的弧是_.,一半,一半,相等,相等,直角,半圆,2.圆的切线的判定和性质及弦切角定理 （1）切线的判定定理:经过半径的_并且_这条半径 的直线是圆的切线. （2）切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的_. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过_. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过_. (
2、3)切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长 _.,外端,垂直于,半径,切点,圆心,相等,(4)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的_；弦切角 的度数等于它所夹弧的度数的_. 3.与圆有关的比例线段 （1）切割线定理及推论： 定理：过圆外一点作圆的一条切线 和一条割线，切线长是割线上从这 点到两个交点的线段长的_.如图，PT是O的切线，T 是切点,PAB是O的割线，则PT2=_.,圆周角,一半,比例中项,PAPB,推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两 个交点的线段长的_，等于另一条割线上对应线段长的_. 如图，PAB和PCD是O的两条割线,则PAPB=_.,积,积,
3、PCPD,（2）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线 段长的积_.如图，圆的两条弦AB、CD相交于圆内一点P， 则PAPB=_.,相等,PCPD,4.圆内接四边形 (1)圆内接四边形的性质定理及推论 定理：圆内接四边形的对角_. 推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的_. (2)四点共圆的判定定理及推论 定理：如果一个四边形的_，那么这个四边形四个 顶点共圆.,互补,内对角,内对角互补,推论：如果四边形的一个外角等于其_，那么这个四边 形的四个顶点共圆. (3)托勒密定理 圆内接四边形的两对边乘积之和等于两条对角线的_.,内对角,乘积,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“
4、”）. （1）圆心角等于圆周角的2倍.( ) （2）相等的圆周角所对的弧也相等.( ) （3）任意一个四边形、三角形都有外接圆.( ) （4）等腰梯形一定有外接圆.( ) （5）弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数.( ),【解析】（1）错误，若弧不一样，则圆心角与圆周角的关系不确定. （2）错误，只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等 （3）错误，任意一个四边形不一定有外接圆，但任意一个三角形一定有外接圆. （4）正确， 可以推出等腰梯形的对角互补，所以有外接圆.,（5）错误,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数，所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的
5、2倍. 答案：（1） （2） （3） （4） （5）,考向 1 圆周角定理 【典例1】（2012江苏高考）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE 求证：E=C,【思路点拨】可以连接AD，先证B=C,利用圆周角定理再证E=C即可. 也可以连接OD,利用ODAC, 证C=ODB=B,再证E=C.,【规范解答】方法一：连接AD. AB是圆O的直径， ADB=90， ADBD.又BD=DC， AD是线段BC的中垂线. AB=AC,B=C， 又E和B为同弧所对的圆周角， B=E， E=C.,方法二：连接OD，因为BDDC，O为AB
6、的中点， 所以ODAC,于是ODB=C. 因为OBOD，所以ODB=B, 于是C=B. 又因为E和B为同弧所对的圆周角， 故E=B，所以E=C.,【拓展提升】圆周角定理常用的三种转化 （1）圆周角与圆周角之间的转化. （2）圆周角与圆心角之间的转化. （3）弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化.,【变式训练】(2013遵义模拟）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，求AF的长.,【解析】连接CE，AO，AB，根据A，E是半圆周上的两个三等分 点，BC为直径，可得CEB=90，CBE=30，AOB=60， 故三角形AOB为等边三角形，OD=B
7、D=1. F是ABO的重心，,考向 2 圆的切线的性质与判定、弦切角定理 【典例2】（2013大连模拟） 如图所示，直线AB经过O上 的点C，并且OAOB，CACB，O交直线OB于E，D，连接EC， CD. (1)求证：直线AB是O的切线. (2)若 O的半径为3， 求OA的长,【思路点拨】（1）连接OC，证OCAB.（2）首先判断 BCDBEC，再由 可得 最后根据 BC2BDBE列方程求解.,【规范解答】（1）连接OC， OAOB，CACB， OCAB.又OC是O的半径， AB是O的切线 (2)AB是O的切线， BCDE，又CBDEBC， BCDBEC，,设BDx，则BC2x，BC2BDB
8、E， (2x)2x(x6)，解得x=2,或x=0（舍去）， BD2， OAOBBDOD235.,【互动探究】若把本例（2）中的“ ”,改为 “CED=30”“O的半径为3”改为“BC1”，求O的半 径.,【解析】AB是O的切线， BCDE.又CBDEBC， BCDBEC，,【拓展提升】证明直线是圆的切线的常用方法 (1)若已知直线与圆有公共点，则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可. (2)若已知直线与圆没有明确的公共点，则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径,【变式备选】 已知ABC中,AB=AC,D是ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点 A，C重合），延长BD至E. （1）求证：AD的延
9、长线平分CDE. （2）若BAC=30，ABC中BC边上 的高为 求ABC外接圆的面积.,【解析】（1）如图，设F为AD延长 线上一点， A，B，C，D四点共圆， CDF=ABC. 又AB=AC，ABC=ACB，且ADB=ACB， ADB=CDF， 对顶角EDF=ADB，故EDF=CDF， 即AD的延长线平分CDE.,（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AHBC. 连接OC，由题意OAC=OCA=15，ACB=75，OCH=60. 设圆半径为r,则 解得r=2, 故ABC外接圆的面积为4.,考向 3 与圆有关的比例线段 【典例3】O的割线PAB交O于A，B两点，割线PCD经过圆
10、心 O,PE是O的切线，已知PA=6, PO=12，求PE及O的 半径r.【思路点拨】由切割线定理，可求出PE的长，再利用切割线定 理的推论求出O的半径.,【规范解答】由切割线定理，得PE2=PAPB =PA（PA+AB）=又PCPD=PAPB， 即(12-r)(12+r)= 144-r2=80,r2=64,r=8.,【拓展提升】与圆有关的比例线段解题思路 (1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理. (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理. (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理.,【变式训练】如图，已知O和O1内切于点A，O的弦AP交 O1于点B，PC切O1于点C，且 求O1和O的半
11、径之比.,【解析】如图，连接OP，OA，O1B，OPA和O1BA是相似的等 腰三角形， APO=ABO1, O1BOP, 由切割线定理,得PC2=PBPA =（PA-AB）PA=PA2-PAAB， 两端同除以PA2得,考向 4 四点共圆的判定及应用 【典例4】（2013郑州模拟） 如图所示，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点 (1)求证：四点A，I，H，E共圆. (2)若C50，求IEH的度数,【思路点拨】（1）由AEIAHI90，可证四点共圆.（2）由内心为I，可得HIA与ABI,BAI的关系，进而得到HIA与C的关系，再由IEHHAI
12、即可求解.,【规范解答】(1)由圆I与边AC相切于点E， 得IEAE，结合IHAH，得AEIAHI90. 所以，四点A，I，H，E共圆 (2)由(1)知四点A，I，H，E共圆，得IEHHAI. HIAABIBAI结合IHAH，得HAI90HIA 所以IEH =25.,【拓展提升】圆内接四边形的重要结论 （1）内接于圆的平行四边形是矩形. （2）内接于圆的菱形是正方形. （3）内接于圆的梯形是等腰梯形,【变式训练】(2013武陵模拟）如图，在ABC中，ACB为钝角，点E,H是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM.(1)求证：E，H，K，M四点共圆. (2)若KE=EH，CE=3，求线段KM的长.,【解析】（1）连接CH， AC=AH，AK=AE， 四边形CHEK为等腰梯形， AEK=AHC=ACH， C，H，E，K四点共圆，同理，C，E，H，M四点共圆， 即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，故E，H，K，M四点共圆.,（2）连接EM，由（1）得E，H，M，C，K五点共圆， C，E，H，M四点共圆，BE=BC，BH=BM， 四边形MHEC为等腰梯形， EM=HC，故MKE=CEH， 由KE=EH，可得KME=ECH， 故MKECEH， 即KM=CE=3.,
