圆锥曲线的经典性质总结.doc

1、第 1 页 椭圆 必背的经典结论1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是,2.021ab7. 椭圆 (ab0) 的左右焦点分别

2、为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，则椭圆的焦点角2xy 12F形的面积为 .12tanFPS8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式：2xy, ( , ).1|Me20|ex1)Fc2(0)0,)Mxy9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为

3、 AB 的中点，则 ，21xyab),(0yx 2OMABbka即 。02KAB12. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Pxy21xyab 2002xyxyab13. 若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .0,2 022第 2 页 双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内

4、切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是 .0(,)Pxy21xyb0 021xyab6. 若 在双曲线 （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P 2，则切,2点弦 P1P2 的直线方程是 .0xy7. 双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 ，则xyb 12F双曲线的焦点角形的面积为 .12tFPSbco8. 双曲线 （a0,bo）的焦半径公式：( , 2xy 1(0)c2()当 在右支上时， , .0(,)M10|Mexa2|exa当 在左支上时， ,0F9. 设过

5、双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A 2 为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则2xyb ),(0yx，即 。02KABOM 02yxbAB12. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0(,)Pxy21x.202ab1

6、3. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是0(,)xy21xyb202ab第 3 页 椭圆 推导的经典结论1. 椭圆 （abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2 时21xy1(0)Aa2()A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .2xyab2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则1xyab0(,)x直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxkay3. 若 P 为椭圆 （ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2 是焦点, , 21x 12PF，则 .21Ftnt2co4. 设

7、椭圆 （ab0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF 1F22xy中，记 , , ，则有 .12FP12F12Psincea5. 若椭圆 （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 0e 时，可在2xy 21椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.6. P 为椭圆 （ab0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2xy,当且仅当 三点共线时，等号成立.211|2|aAFF2,P7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是002()()xyb0xByC.222Bx8. 已知椭圆 （ab

8、0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 .（1）1 OPQ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最大值为 ;（3） 的最小值是 .221|OPQ24abS2ab9. 过椭圆 （ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x1xy轴于 P，则 .|2FeMN第 4 页 10. 已知椭圆 （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点21xya, 则 .0()P22x11. 设 P 点是椭圆 （ ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2 为其焦点记 ，则(1)21ya 12FP.(2) .212|cosF1

9、2tnPFS12. 设 A、B 是椭圆 （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， , ,2xya PAB，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) .(2) .(3) P 2|cos|abPA2tan1e.2otABbSa13. 已知椭圆 （ ab0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于21xylEFA、B 两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClBC14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的

10、连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.第 5 页 双曲线1. 双曲线 （a 0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交双曲线于21xyb1(0)Aa2()P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .2xyb2. 过双曲线 （a0,bo）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B

11、,Cxyb0(,)两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxkay3. 若 P 为双曲线 （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2 是焦点, 21xyb, ，则 （或 ）.12F21tant2ccotant2co4. 设双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，2xyb在PF 1F2 中，记 , , ，则有 .12P1212Psin()cea5. 若双曲线 （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 1e2xyb时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的

12、比例中项.16. P 为双曲线 （a0,b0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21xyb,当且仅当 三点共线且 和 在 y 轴同侧时，等号成立.21|AFF2, 2,F7. 双曲线 （a 0,b0）与直线 有公共点的充要条件是2xyb0xByC.2aBC8. 已知双曲线 （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且 .21 OPQ（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 ;（3） 的最小值是 .22|OPQ24abQS2ab9. 过双曲线 （a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂1xyb直平分线交

13、x 轴于 P，则 .|2FeMN第 6 页 10. 已知双曲线 （a0,b0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交21xyb于点 , 则 或 .0()P202abx11. 设 P 点是双曲线 （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2 为其焦点记 ，21xyb 12FP则(1) .(2) .1|cosF12cotPFSb12. 设 A、B 是双曲线 （a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， , 2xyb AB, ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) .(2) P 2|cos|abP.(3) .2tan12cotPABSba13.

14、已知双曲线 （a0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的直线与双2xyblEF曲线相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClBC14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.第 7 页 抛物线的性质1、抛物线、椭圆、双曲线几何性质的区别2、弦长的算法设直线 l：ykxb 交抛物线于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则|AB| |x1x 2| |y1y 2|3、焦点弦的性质与弦长第 8 页 如果抛物线 y2=2px(p0)上两点 M(x1，y 1)、N(x 2，y 2)与焦点 F( ，0)共线，则有 y1y2p 2，x 1x2 ；当x1x 2 时，|MN| 2p 叫通径，通径是最短的焦点弦