1、1三角恒等变换知识点总结2014/10/24 一、基本内容串讲1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下： sin()sicosin; cos()csosin;tanta1t对其变形：tantan=tan(+)(1- tantan)，有时应用该公式比较方便。2 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下： sinicos. 2222csosincos1sin.2tata1.要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次） 特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 2cos1sin,2co1cs22 这两个形式常用。3.辅助角公式： ;sincosin4xx3sicosi6xx.2sincoiax
2、bab4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5.常用知识点：（1）基本恒等式： （注意变形使用，尤其1的灵活应22sinsinco1,ta用，求函数值时注意角的范围） ；（2）三角形中的角： ， ；ABCsiA(B),cos(BC)C（3）向量的数量积： ，co,abab， ；12abxyA120xy121/0xy二、考点阐述2考点 1 两角和与差
3、的正弦、余弦、正切公式1、 sin20co4s20in4的值等于（ ）2、若 ta3， ta，则 ta()等于（ ）3、若 则 的值是_,4(1)4、 _.(1tan)t2tan3(1ta4)(tn5)考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos cos 5的值等于（ ） (提示:构造分子分母)6、 （ ）cos04cos6087、 已知 ，且 35A，那么 sin2A等于（ ）32A考点 3 运用相关公式进行简单的三角恒等变换8、已知 ,41)tan(,5)tan(则 )4ta(的值等于（ ）9、已知 3cos21si则 cos值等于（）10、函数 2()co()i()1fxx是（ ）（
4、A）周期为 的奇函数 （B）周期为 的偶函数（C）周期为 的奇函数 （D）周期为 的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式： .2sincossinaxbabx其中 （可以通过 来判断最大最小值）22cos,ib2如：1.若方程 有实数解，则 c 的取值范围是_. in3cosx2. 的最大值与最小值之和为_.2cos2y7若 则 _.ta(),45ta（二）三角函数式的化简与求值例 1 1. ； 2. ;00cos1in00sin5(13tan)33. 求 tan70t53tan705值;4.ABC 不是直角三角形，求证： CBACBAtantanttant （三）三角
5、函数给值求值问题1. 已知 cos( )sin ，则 sin( )的值是_;6 453 762. 已知 cos(,cos,1均 为 锐 角 ， 求 sin的 值 。3. ，求 i的值350,sin44541（四） 三角函数给值求角问题1.若 sinA= ,sinB= ,且 A,B 均为钝角,求 A+B 的值.5102.已知 ,(,)2，且 tan,是方程 2340x的两个根，求 3.已知 ， ， 均为锐角，且 1t， tan5， 1ta8，则 的值（ ）+ 4 54634.已知 , ,并且 均为锐角，求 的值.1tan7t3,2（五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等）1.(2010北
6、京)已知函数 .2()cosinfxx(1)求 的值；(2)求 的最大值和最小值(3f2.已知函数 .)2sin()csxx(1)求 的最小正周期；(2)求 在区间 上的最大值和最小值；（3）求函数在(f (f,62的单调区间。,)三、解题方法分析1熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。4例 1 设 23tan13sin50cos6i,2 co2ab 则有（ ）【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变
7、用公式。例如：sincos = 2sin1，cos = 2sin， 2cossinco22， 2tant-12，)co(cosi21， 1， si，i,2，tantan=tan(+)(1- tantan)等。另外，三角函数式 asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)xsin(ba2即 asinx+bcosx= )xsin(ba2（其中 tanb）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的 sincosx，sinx 3cosx，要熟练掌握其变形结论。2明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正
8、、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例 2 已知 43，cos（ ）= 132，sin（ + ）= 53，求 sin2 的值 （ 65（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点， 2 =（ ）+（ + ） ）例 2 解答：例 3化简：2sin50+sin10（1+ 3tan10） 2sin80【解析】：原式=5= 3【点评】：本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量
9、底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。 例 4：已知 sin（ + ）= 32，sin（ ）= 43，求 2tan()tan()的值 。【解析】2tan()tan()= 2ta()tan()1tan)= tan=17【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。（3）运用换元思想，实现三
10、角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例 5：若 ,2sin求 cos的取值范围。【解析】：令 cot，则 221(in)(cos),t【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子 cs看作一个整体，通过6代数、三角变换等手段求出取值范围。3关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例 6：已知
11、：向量 (3,1)a ， (sin2,bxco)，函数 ()fxab（1）若 ()0fx且 x，求 的值； 12或 7（2）求函数 取得最大值时，向量 a与 的夹角【解析】： ()fxab 3sin2cosx（2） sin6 max()f，当 ()fx时，由 |cs,2abab得 cos,1|b， 0, ,0【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力.四、课堂练习1sin165= （ ） A 21 B 23 C 426 D 4262sin14cos16+sin76cos74 的值是（ ） A 23 B 21 C 23 D 13已知 (,0)2x
12、， 4cos5x，则 x2tan（ ） A 247 B 247 C 74 D 7474化简 2sin（ 4 x）sin（ 4+x） ，其结果是（ ） sin2x cos2x cos2x sin2x 5sin 12 3cos 的值是 （ ）A0 B 2 C 2 D 2 sin 156 )( 75tan2的 值 为A 3 B 3 C 32 D 327若 cos25， 4sin5， 则 角 的 终 边 一 定 落 在 直 线 （ ） 上 。A 40xy B 720xy C 2470xy D 2470xy8 ._sinsis 9 15tan 10 2043tan204 的值是 .11求证：2cos1sit 12已知 1tan23，求 tan的值13已知 ,135)4sin(,0xx求 )4cos(2x的值。14若 ,0A,且 137csinA, 求 Acos7sin5的值。15在 ABC 中，若 sinAsinB=cos2 ，则 ABC 是（ ）CA等边三角形 B等腰三角形C不等边三角形 D直角三角形16化简 2cossin117.求证： tan1i2818 已知 sin = ，sin（ + ）= ， 与 均为锐角，求 cos 13254.
