1、1第十讲 三元一次方程组课程目标1理解三元一次方程(或组)的含义；2会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.课程重点 会解简单的三元一次方程组课程难点 会列三元一次方程组解决有关实际问题.教学方法建议运用观察法、讨论法、练习法等手段，渗透消元思想；把未知数转化为已知数进行求解.一、知识梳理：考点 1 三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程如 x+y-z1，2a-3b+4c5 等都是三元一次方程要点诠释：(1)三元一次方程的条件：是整式方程，含有三个未知数，含未知数的项的最高次数是 1次(2)
2、 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中 a、b、c 不为零2三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解考点 2 三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未
3、知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方2程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“”合写在一起要点诠释：（1）解三元 一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法考点 3 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如 x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未
4、知数；2找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4解这个方程组，求出未知数的值；5写出答案(包括单位名称)要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组二、课堂精讲：（一）三元一次方程及三元一次方程组的概念例 11.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A210xyzB126yxzxC123abcdD1820mnt3【随堂演练一】1. 下列
5、方程组不是三元一次方程组的是（ ）A1236xyzB24013xyzC231xyzD13yxz（二）三元一次 方程组的解法例 2（1）解方程组27534yxz（2） .36,5:4:cba【随堂演练二】1方程组 1,57zyx的解是_2判断 5,0z是否是三元一次方程组 402,15zyx的解_3解方程组：2348xyz44解方程组： 例 3 解方程组 2350xyz【随堂演练三】若三元一次方程组 的解使 ax+2y+z=0，求 a的值5（三）三元一次方程组的应用例 4.购买铅笔 7支，作业本 3本，圆珠笔 1支共需 3元；购买铅笔 10支，作业本 4本，圆珠笔 1支共需 4元，则购买铅笔 1
6、1支、作业本 5本圆珠笔 2支共需多少元？例 5.某工程由甲、乙两队合作需 6天完成，厂家需付甲、乙两队共 8700元，乙、丙两队合作需 10天完成，厂家需支付乙、丙两队共 8000元；甲、丙两队合作 5天完成全部工程的 23，此时厂家需付甲、丙两队共 5500元(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若要不超过 15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由6【随堂演练四】1现有面值为 2元、1 元和 5角的人民币共 24张，币值共计 29元，其中面值为 2元的比 1元的少 6张，求三种人民币各多少张?2.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔 3支，
7、练习本 7本，圆珠笔 1支共需3.15元；若购铅笔 4支，练习本 8本，圆珠笔 2支共需 4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各 1件共需多少元？三小结：1.三元一次方程及三元一次方程组的定义2.解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“”合写在一起7四、课
8、后巩固练习一、选择题1. 下列四组数值中，为方程组 的解是 （ ）A BC D2已知方程组329abc，则 a+b+c的值为（ ）A6 B-6 C5 D-53已知 532yxzabc与 24xyabc是同类项，则 x-y+z的值为 ( ) A1 B2 C3 D44若 x+2y+3z10，4x+3 y+2z15，则 x+y+z的值为 ( ) A2 B3 C4 D55.已知甲、乙、丙三个人各有一些钱，其中甲的钱是乙的 2倍，乙比丙多 1元，丙比甲少 11元，则三人共有（ ）A30 元 B33 元 C36 元 D39 元6. 如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）正方体的质量.A2 个
9、B3 个 C4 个 D5 个二、填空题7. 解三元一次方程组的基本思路是 .8. 方程组 的解为 89. 如果方程组864xyz的解满足方程 kx+2y-z10，则 k_10.已知方程组238xyz，若消去 z，得到二元一次方程组_；若消去y，得到二元一次方程组_，若消去 x，得到二元一次方程组_三、解答题11解方程组：（1） 2312xyzxyz（2）35264730xyz12.已知 y=ax2+bx+c，当 x=1时，y=3；当 x=1 时，y=1；当 x=0时，y=1求 a，b，c 的值913.全国足球甲 A联赛的前 12轮(场)比赛后，前三名比赛成绩如下表胜（场） 平（场） 负（场）
10、积分大连实德队 8 2 2 26上海申花队 6 5 1 23北京现代队 5 7 0 22问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?10第十讲 三元一次方程组【答案】例 1.D【 随堂演练一】B例 2（1）解：将代入得：5x+3(2x-7)+2z2，整理得：11x+2z23 由此可联立方程组 3412xz ，+2 得：25x50，x2把 x2 分别代入可知：y-3， 12z所以方程组的解为231xyz（2） .15,9cba【随堂演练二】1 .2,43zyx2是 3解：+得： 531xy2+得： 由此可得方程组： 531xy得： 48y， 2将 2代入知： 1x将 1x， y代入得： 3z 11所
11、以方程组的解为：123xyz4.解：+得：4x+y=16，2+得：3x+5y=29，组成方程组解得将 x=3，y=4 代入得：z=5，则方程组的解为 例 3解法一：原方程可化为：2530xzyxz 由得： 25xz， y 将代入得： 320，得： 10z 将代入中两式，得： 45x， 31065yz所以方程组的解为：4610yz解法二：设 235xt，则 2,3,5xtytzt将代入得： 0t，将 t代入得： 4x， 26,5210ytzt所以方程组的解为： 610yz【随堂演练三】12解： ，+得：x+y+z=1，把代入得：z=4，把代入得：y=2，把代入得：x=3，把 x=3，y=2，z=
12、4 代入方程得：3a+44=0， 解得：a=0例 4. 解：设铅笔的单价是 x元，作业本的单价是 y元，圆珠笔的单价是 z元购买铅笔 11支，作业本 5本，圆珠笔 2支共需 a元则由题意得：，由得 3x+y=1， 由+得 17x+7y+2z=7，由2得 0=5a，解得：a=5. 例 5. 解：（1）设甲队单独做 x天完成，乙队单独做 y天完成，丙队单独做 z天完成，则610235xyzx，解得105130xyz， 1053yz答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需 10天，15 天，30 天（2）设甲队做一天应付给 a元，乙队做一天应付给 b元，丙队做一天应付给 c元，则6()87015ab
13、c，解 得8752bc 10a8750（元），15b8625（元）答：由乙队单独完成此工程花钱最少13【随堂演练四】1解：设面值为 2元、1 元和 5角的人民币分别为 x张、y 张和 z张依题意，得4296xyz把分别代入和，得1832xz2，得 6x+z46 -，得 4x28，x7把 x7 代入，得 y13把 x7，y13 代入，得 z4方程组的解是713xyz答：面值为 2元、l 元和 5角的人民币分别为 7张、13 张和 4张2解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要 x，y，z 元，根据题意得 ，得 x+y+z=1.05（元）三小结：四、课后巩固练习【答案与解析】一、选择题1.
14、 【答案】D14【解析】 ， +得：3x+y =1，+得：4x+y=2，得：x=1，将 x=1代入得：y=2，将 x=1，y=2 代入得：z=3，则方程组的解为 2. 【答案】C； 【解析】将方程组中的三个方程左右分别相加，得 2()10abc，两边同除以 2便得答案.3. 【答案】D；【解析】由同类项的定义得：53yxz，解得： 1xyz，所以 4xyz.4. 【答案】D； 【解析】将三个等式左右分别相加，可得 5()25xyz，进而得 5xyz .5. 【答案】D；【解析】解：设甲乙丙分别有 ,xyz元，则有：21xyz，解得：2019z，所以三人共有： 39xyz（元）.6. 【答案】D
15、；【解析】解：设一个球的质量为 x，一个圆柱的质量为 y，一个正方体的质量为 z. 则：25,3xyz由得 ，15把代入，得 235xz，解得 35xz，故正确答案为 D.二、填空题7. 【答案】消元；8.【答案】 9.【答案】 13；【解析】解原方程组得：351xyz，代入 kx+2y-z10 得，13k.10. 【答案】 53xy 302xz 597zy；【解析】加减或代入消元.三、解答题11.【解析】解：（1） 231xyz 由得： 2xyz ，将代入，整理得：8312yz，解得：12yz，代入得： 0x，所以，原方程组的解是,12.xyz（2）3564730xyz 16由+得： 48x
16、z，即 2xz ，由+得： 536 ，由5，整理得： z，将 2z代入，解得： 4x，将 4x， 代入，解得 0y，所以，原方程组的解是,2.z12.【解析】解：y=ax 2+bx+c，当 x=1时，y=3；当 x= 1时，y=1；当 x=0时，y=1，代入得：把代入和得： ，解得：a=1，b=1，即 a=1，b=1，c=113.【解析】解：设每队胜一场、平场、负场分别得 x分，y 分，z 分根据题意，得8266537xyz由得 4x+y+z13 一，得 x+2y5 5-，得 y1把 y1 代入，得 x5-213，即 x3把 x3，y1 代入，得 z030xz答：每队胜一场得 3分，平一场得 1分，负一场得 0分
