1、 【考点剖析】1. 命题方向预测：考查数列的求和方法，以等差数列、等比数列的求和公式为基础，重点考查“错位相减法”“裂项相消法”等求和方法，在此基础上将数列与函数方程、不等式、解析几何等结合结合考查，难度在中等偏上2课本结论总结：（1 ）等差数列的前 和的求和公式： .（2 ） 等比数列前 项和公式一般地，设等比数列 的前 项和是 ，当时， 或 ；当 时， （错位相减法）.（3 ） 数列前 项和重要公式：（1） （2 ）（3 ） （4 ） 等差数列中， ；等比数列中， .（4）解答数列实际应用题的基本步骤：审题仔细阅读材料，认真理解题意；建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数
2、学问题分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项还是求前 n 项和；求解求出该问题的数学解；还原将所求结果还原到原实际问题中具体解题步骤如下框图：（2）数列实际应用问题的常见模型有等差模型；等比模型；混合模型；生长模型；递推模型用数列知识解相关的实际问题，关键是弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后结合数列相关知识求解 3名师二级结论：1）公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2）倒序相加法：类似于等差数列的前 项和的公
3、式的推导方法，如果一个数列 的前项中首末两端等“距离” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 项和公式即是用此法推导的3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 项和即可用此法来求，如等比数列的前 项和公式就是用此法推导的若 ，其中 是等差数列， 是公比为 等比数列，令 ，则 两式错位相减并整理即得.4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似 （
4、其中 是各项不为零的等差数列， 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1 ） ，特别地当 时， ；（2 ） ，特别地当 时，；（3 ）（4 ）（5 ）5 ）分组转化求和法：有一类数列 ，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6）并项求和法：一个数列的前 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如类型，可采用两项合并求解例如，.7） 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(
5、2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项对于不能由等差数列、等比数列的前 n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前 项和公式使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注
6、意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式8） 易错提示 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易忽视常数，如 容易误裂为 ，漏掉前面的系数 ；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误应用错位相减法求和时需注意：给数列和 Sn 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为 n.4.考点交汇展示：(1)数列与函数导数相结合1 【2018 年浙江卷】已知 成等比数列，且 若，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先证不等式 ，再确定公比的取值范围，进而作出判断.2.
7、设 ， 是曲线 在点 处的切线与 x 轴交点的横坐标.（）求数列 的通项公式；（）记 ，证明 .【答案】 （） ；（） .【解析】 （）解： ，曲线 在点 处的切线斜率为 .从而切线方程为 .令 ，解得切线与 轴交点的横坐标.(2)数列与解析几何知识的交汇已知数列 的前 项和为 ，点 在抛物线 上，各项都为正数的等比数列 满足 （）求数列 ， 的通项公式；（）记 ,求数列 的前 n 项和 【答案】 （1） （2） 【解析】 （） ，当 时， 当 时， ， 数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， 又 各项都为正数，解得（）【考点分类】考向一 等差数列与等比数列的综合应用1.【2018 年全国卷文
8、】等比数列 中， （1 ）求 的通项公式；（2 ）记 为 的前 项和若 ，求 【答案】 （1） 或 （2 ）【解析】分析：（1）列出方程，解出 q 可得；（2）求出前 n 项和，解方程可得 m。详解：（1）设 的公比为 ，由题设得 由已知得 ，解得 （舍去） ，或 故 或 （2 ）若 ，则 由 得 ，此方程没有正整数解若 ，则 由 得 ，解得 综上， 2.【2018 年专家猜题卷】数列 的前 项和为 ，已知 ，.（）证明：数列 是等比数列；（）求数列 的前 项和 .【答案】(1)见解析;(2) .【解析】（2）由（1）知， ， ， ，. -得， .【方法规律】常用的等差、等比对应重要性质对比如
9、下：1如果数列 是等差数列，则数列 ( 总有意义)是等比数列；如果数列 是等比数列，则数列 是等差数列；2在等差数列中，若 特 别 地 ， 当 时 ， 有；在等比数列中，若 特 别 地 ， 当 时 ， 有 ；3若 既是等差数列又是等比数列，则 是非零常数数列；4等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列；等比数列中 仍是等比数列；【解题技巧】(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序(2)注意细节在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是
10、否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的考向二 数列与函数相结合1 【2018 年理数全国卷 II】记 为等差数列 的前 项和，已知 ， （1 ）求 的通项公式；（2 ）求 ，并求 的最小值【答案】 （1）a n=2n9， （2）S n=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果， （2）根据等差数列前 n 项和公式得 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设a n的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7
11、 得 d=2所以 an的通项公式为 an=2n9（2 ）由（1 ）得 Sn=n28n=（ n4） 216所以当 n=4 时，S n 取得最小值，最小值为16 2.已知点 是函数 ( ),且 )的图象上一点,等比数列 的前 项和为,数列 ( )的首项为,且前 项和 满足: ( ).（1）.求数列 和 的通项公式;（2）.若数列 的通项 求数列 的前 项和 ;（3）.若数列 前 项和为 ,试问 的最小正整数 是多少.【答案】 （ 1） （2） （3）112【解析】（2）. , , ,由-得 ,化简得 , .（3）. 由 得 ,故满足 的最小正整数为 .【方法规律】解决此类问题要抓住一个中心函数，两
12、个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理数列与函数的迭代问题：由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学
13、试题中【解题技巧】数列与函数问题的解题技巧(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形(2)解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决考向三 数列与不等式相结合1.【2018 届安徽省蚌埠市第二中学高三 7 月月考】已知数列 满足 ，.(1)求数列 的通项公式；(2)证明： .【答案】 （1） ；(2)证明过程见解析【解析】（1
14、） . ， 是以 为首项，2 为公比的等比数列. ，即 .2.【2018 届师大附中、闽清一中、金石中学联考卷】设数列 的前 项和为 ，已知， ， 是数列 的前 项和.（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）求满足 的最大正整数 的值.【答案】 （1） ；（ 2）最大正整数 的值为 .【解析】试题分析：（1）当 时， 得 即，从而得等比数列即可求解；（2 ） ，利用等差数列求和可得 ，进而有，再解不等式即可. 试题解析：（1 ） 当 时， ， . . ， ， . 数列 是以 为首项，公比为 的等比数列. . 【方法规律】与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商) 、放缩法、利用函数的
15、单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩【解题技巧】(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明【热点预测】1.在等比数列 中，若 ，则 的最小值为（ ）A B4 C8 D16【答案】B【解析】因为 ，所以由基本不等式可得，故选 B.2 【2018 届宁夏银川一中第五次月考】数列 的前 n 项的和满足则下列为等比数列的是A B C D 【答案
16、】A【解析】当 时，由 得 ，即 ；当 时，由得 ，两式相减，得 ，即，则 ，又 ，所以数列 是以 3 为首项、公比为 3 的等比数列；故选 A. 3.【2017 课标 1，理 12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是 20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依 此 类 推 .求 满 足 如 下 条 件 的最 小 整 数 N： N100 且 该 数 列 的
17、 前 N 项 和 为 2 的 整 数 幂 .那 么 该 款 软 件 的 激 活 码 是A440 B330 C220 D110【答案】A4.【2018 届河南省林州市第一中学高三 8 月调研】已知数列 的前 项和为 ，且， ，若对任意的 ， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由数列的递推公式可得 ： ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，分组求和可得： ，题中的不等式即 恒成立，结合恒成立的条件可得实数 的取值范围为 本题选择 B 选项.5. 已知函数 的图象过点 ，令 （ ） ，记数列的前 项和为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解
18、析】由题意得 ，所以 ，从而，即 ，选 B. 6.【2018 届河北省定州中学高三上第二次月考】定义 为 个正数的“均倒数” ，若已知数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C7.【2018 届江苏省清江中学学情调研】数列 中， ， ，（ ）.（1）求数列 的通项公式；（2）设 （ ） ， ，是否存在最大的整数 ，使得任意的 均有 总成立？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2)7.【解析】（1） ， （ ） ， 等差数列.设公差为 ，又 ， ， ， .8.【2018 届江苏省盐城市东台中学监测】设 数列 的前 项和，对任意 ，都有（
19、 为常数） （1）当 时，求 ；（2）当 时，（）求证：数列 是等差数列；（）若对任意 ，必存在 使得 ，已知 ，且，求数列 的通项公式【答案】(1) .(2) （）证明见解析；（） .【解析】（1）当 ， ， 时， 当 时， ，所以 当 时， 得： 因为 ，所以 ，所以 ，所以 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以 （）因为 ，所以 因为 ，所以 ，所以 因为 ，所以 又因为 ，所以 ，所以 或 当 时， ， ， ，所以 不符合题意当 时， ， ，所以 满足题意所以 9.【2017 课标 3，文 17】 设数列 满足 .（1）求 的通项公式；（2 ）求数列 的前 项和.【答案】 （1
20、） ；（ 2）【解析】试题分析：（1）先由题意得 时， ，再作差得 ，验证 时也满足（2）由于，所以利用裂项相消法求和 .（2）由（1） ，. 10.【2018 年天津卷文】设a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n N *） ；b n是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（nN *） 已知 b1=1，b 3=b2+2，b 4=a3+a5，b 5=a4+2a6（）求 Sn 和 Tn；（）若 Sn+（ T1+T2+Tn） =an+4bn，求正整数 n 的值【答案】() ， ；()4.详解：（I）设等比数列 的公比为 q，由 b1=1，b 3=b2+2，可得 因为 ，可得 ，故 所以
21、， 设等差数列 的公差为 由，可得 由 ，可得 从而 ，故，所以， （II）由（I） ，有由 可得 ，整理得解得 （舍） ，或 所以 n 的值为 411.【2018 年新课标 I 卷文】已知数列 满足 ， ，设 （1 ）求 ；（2 ）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；（3 ）求 的通项公式【答案】(1) b1=1，b 2=2，b 3=4(2) bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列理由见解析.(3) an=n2n-1【解析】分析： (1)根据题中条件所给的数列 的递推公式 ，将其化为 an+1= ，分别令 n=1 和 n=2，代入上式求得 a2=4 和 a3=12，再利用 ，从而求得 b
22、1=1，b 2=2，b 3=4（2 ） bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列由条件可得 ，即 bn+1=2bn，又 b1=1，所以b n是首项为 1，公比为 2 的等比数列（3 ）由（2 ）可得 ，所以 an=n2n-112 【2018 届安徽省定远重点中学 5 月高考模拟】等差数列 中， ，其前 项和为，等比数列 的各项均为正数， ，公比为 （ ） ，且 ， .（1）求 与 ；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ， ;（2） .【解析】（1）等差数列 的公差为 ， ， ， .整理得： ，解得： 或 （舍去） ， ， ，（2）数列 前 项和为 ， ，数列 的前 项和数列 的前 项和13 【 广东省东莞市 2018 年高考冲刺演练】已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，若 .（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) .(2) .【解析】（2） ，所以数列 是以 2 为首项，4 为公比的等比数列所以即数列 的前 项和为14 【 2018 届江西省宜春中学高三上学期第一次诊断】已知等差数列 的公差为 2，且， ， 成等比数列（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设数列 的前 项和为 ，求证： 【答案】 （1） ；（ 2）见解析.【解析】（1 ）数列 为等差数列，所以： ， ， ，因为 ， 成等比数列，所以： ，解得： ，所以： .
