1、【考点剖析】1.命题方向预测：1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点考查的形式有两种，一是直接考查单调性、极值，二是在研究函数零点、不等式证明中间接考查单调性、极值等.2.选择题、填空题侧重于考查导数的运算及导数的几何意义，解答题侧重于利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，往往与函数方程、不等式、数列、解析几何等交汇命题，一般难度较大.3.利用导数解决生活中的最优化问题，近几年也有考查.2.课本结论总结：1 函数的单调性在某个区间( a， b)内，如果 f( x)0，那么函数 y f(x)在这个区间内单调递增；如果 f( x)0，右侧 f( x)0，那么 f(x0)是极小值(2
2、)求可导函数极值的步骤求 f( x)；求方程 f( x)0 的根；检查 f( x)在方程 f( x)0 的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值3 函数的最值(1)在闭区间 a， b上连续的函数 f(x)在 a， b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在 a， b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a， b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值(3)设函数 f(x)在 a， b上连续，在( a， b)内可导，求 f(x)在 a， b
3、上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x)在( a， b)内的极值；将 f(x)的各极值与 f(a)， f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y f(x)；(2)求函数的导数 f( x)，解方程 f( x)0；(3)比较函数在区间端点和 f( x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答5 不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参
4、数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题3.名师二级结论：1.f( x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件2.函数在某区间上或定义域内极大值不是唯一的3.函数的极大值不一定比极小值大4.对可导函数 f(x)， f( x0)0 是 x0点为极值点的既不充分也不必要条件5.函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值6.可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点 x0一定满足 f(x 0)0，但当 f(x 1)0 时，x 1不一定是极值点如 f(x)x 3，f(0)0，但 x0 不是极值点(2)可导函数 yf(x)在点 x0处取得极值的充要条件是 f(x 0)0，
5、且在 x0左侧与右侧 f(x)的符号不同7函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值8求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 4.考点交汇展示：(1)导数与三角函数交汇例 1.【2018 年理新课标 I 卷】已知函数 ，则 的最小值是_【答案】例 2.【2018 年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的
6、边界由圆 O 的一段圆弧 （ P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为 ，要求 均在线段 上，均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【答案】 （1）矩形 ABCD 的面积为 800（4sin cos +cos ）平方米， CDP 的面积为1600（co
7、s sin cos ） ，sin 的取值范围是 ，1） （2）当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】当 0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，所以 sin 的取值范围是 ，1） 答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sin cos +cos ）平方米， CDP 的面积为1600（cos sin cos ） ，sin 的取值范围是 ，1） （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43，设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（ k0） ，则年总产值为 4k800（4sin cos +cos ）+3 k1600（cos sin cos ）=800
8、0k（sin cos +cos ） ， 0， ） 设 f（ ）= sin cos +cos ， 0， ） ，则 令 ，得 = ，当 （ 0， ）时， ，所以 f（ ）为增函数；当 （ ， ）时，所以 f（ ）为减函数，因此，当 = 时， f（ ）取到最大值答：当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大(2)导数与数列交汇例 1.已知 ，函数 ，记 为 的从小到大的第 个极值点，0a()sin(0,)axfenx()fn*()N证明：（1）数列 是等比数列n（2）若 ，则对一切 ， 恒成立.21ae*N|()|nxf【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析.【解析】 （1） ()sincosa
9、xaxfe(sinco)axx21sin()axe其中 ， ，令 ，由 得 ，即 ， ，tan20()0fmm*N对 ，若 ，即 ，则 ，Nk1kxk)2(2kxk()0fx若 ，即 ，则 ，)()12( )( 因此，在区间 与 上， 的符号总相反，于是,m,m()fx当 时， 取得极值， ，)(*Nx()fx* nN此时， ，易知 ，而 1 sin si)a aneef()0nfx是非零常数，故数列 是首项为 ，112()( i)saxnanfxnf1()fx sinae公比为 的等比数列；axe从而当 时，函数 取得最小值 ，因此，要是（ ）式恒成立，只需 ，1t)(tgeg)1(2()1
10、gae即只需 ，而当 时， ，且 ，于是2ae2a31tan2e02，且当 时， ，因此对一切 ，13n2*nN， ，故（ ）式亦恒成立.2naxe()ngax21(1ae综上所述，若 ，则对一切 ， 恒成立.2*N()|nxf【考点分类】考向一 利用导数研究函数的单调性1.【2018 届广东省阳春市第一中学第二次月考】函数 23xfxe的单调递增区间是（ ）A. ,0 B. ， C. ,3和 1， D. （-3,）【答案】D【解析】函数 f(x)=(3-x2)ex，f(x)=-2xe x+(3-x2)ex=(3-2x-x2)ex.由 f(x)0，得到 f(x)=(3-2x-x 2)ex0，即
11、 3-2x-x20，则 x2+2x-30，解得-3x1，即函数的单调增区间为（-3，1）.本题选择 D 选项. 2.【2018 届浙江省名校协作体高三上学期考试】已知函数 （ ）在()=(21)+230上为增函数，则 的取值范围是（ ）(0,+) A. B. C. D. 2,+)32,+) (,2 (,32【答案】A选 A3.【2018 年全国卷 II 文】已知函数 （1）若 ，求 的单调区间；（2）证明： 只有一个零点【答案】 （1） f（ x）在（， ） ， （ ，+）单调递增，在（ ， ）单调递减（2） f（ x）只有一个零点（2）由于 ，所以 等价于 设 = ，则 g （ x）= 0，
12、仅当 x=0 时 g （ x）=0，所以 g（ x）在（，+）单调递增故 g（ x）至多有一个零点，从而 f（ x）至多有一个零点又 f（3 a1）= ， f（3 a+1）= ，故 f（ x）有一个零点综上， f（ x）只有一个零点【方法规律】求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数 f(x)的定义域(2)求 f( x)，令 f( x)0，求出它们在定义域内的一切实数根(3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间(4)确定 f( x)在各个开区间内的符号，根据 f( x)
13、的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性【解题技巧】讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于 0 或小于 0 的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于 0 的根的情况下，根的大小是分类的标准【易错点睛】（1）注意函数定义域的确定（2）解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f( x)0 时的情况；区分极值点和导数为 0 的点考向二 利用导数研究函数的最值极值1.【2017 课标 II，理 11】若 2x是函数 21()xfxae的极值点，则 ()fx的极小值为（ ）A. 1 B. 3e C. 35 D.1【答案】A【解析
14、】2.【2018 年江苏卷】若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为_【答案】33.【2018 年文北京卷】设函数 .（）若曲线 在点 处的切线斜率为 0，求 a；（）若 在 处取得极小值，求 a 的取值范围.【答案】 （） （）【解析】解：（）因为 ，所以 .，由题设知 ，即 ，解得 .（1）当 a=0 时，令 得 x=1. 随 x 的变化情况如下表：x 1+ 0 极大值 在 x=1 处取得极大值，不合题意.（2）当 a0 时，令 得 .当 ，即 a=1 时， ， 在 上单调递增， 无极值，不合题意.当 ，即 01 时， 随 x 的变化情况如下表：x+ 0 0 + 极
15、大值 极小值 在 x=1 处取得极小值，即 a1 满足题意.（3）当 a2 时， f （ x）0所以 f（ x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增（2）当 a 时， f（ x） 设 g（ x）= ，则 当 01 时， g （ x）0所以 x=1 是 g（ x）的最小值点故当 x0 时， g（ x） g（1）=0因此，当时， 3.【2018 年全国卷文】已知函数 （1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）证明：当 时， 【答案】 （1）切线方程是 （2）证明见解析（2）当 时， 令 ，则 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；所以 因此 4 【2018 年天津卷文】设函数 ，其中
16、 ,且 是公差为 的等差数列.（I）若 求曲线 在点 处的切线方程；（II）若 ，求 的极值；（III）若曲线 与直线 有三个互异的公共点，求 d 的取值范围.【答案】() x+y=0；()极大值为 6 ；极小值为 6 ；() 【解析】 （）由已知，可得 f(x)=x(x1)(x+1)=x3x，故 =3x21，因此 f(0)=0， =1，又因为曲线 y=f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为 yf(0)= (x0)，故所求切线方程为 x+y=0（）由已知可得f(x)=(xt2+3)(xt2)(xt23)=(xt2)39(xt2)=x33t2x2+(3t229)xt23+9t2故 =3x26
17、t2x+3t229令 =0，解得 x=t2 ，或 x=t2+ 当 x 变化时， ， f(x)的变化如下表：x (， t2 ) t2 (t2 ， t2+ ) t2+ (t2+ ，+)+ 0 0 +f(x) 极大值 极小值 所以函数 f(x)的极大值为 f(t2 )=( )39( )=6 ；函数 f(x)的极小值为 f(t2+ )=( )39()=6 （）曲线 y=f(x)与直线 y=(xt2)6 有三个互异的公共点等价于关于 x 的方程( xt2+d)(xt2)(xt2d)+(xt2)+ 6 =0 有三个互异的实数解，令 u=xt2，可得 u3+(1d2)u+6 =0设函数 g(x)=x3+(1
18、d2)x+6 ，则曲线 y=f(x)与直线 y=(xt2)6 有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点=3x3+(1d2)当 d21 时， 0，这时 在 R 上单调递增，不合题意若 即 ，也就是 ，此时 ， 且，从而由 的单调性，可知函数 在区间 内各有一个零点，符合题意所以， 的取值范围是 【方法规律】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证明对任意 x a， b都有 f(x) g(x)，可设 h(x) f(x) g(x)只要利用导数说明 h(x)在 a， b上的最小值为 0 即可解题技巧总结如下：（1）树立服务意识：所谓“服务意识
19、”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来） ，如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数） ，移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.【解题技巧】1 利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注
20、意分类讨论和数形结合思想的应用2 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较【易错点睛】1 函数 f(x)在某个区间内单调递增，则 f( x)0 而不是 f( x)0 (f( x)0 在有限个点处取到)2 利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.【热点预测】1.【2019 届安徽省淮北部分校高三上学期开学联考】若函数 在 内有且仅有()=(2+3) (0， +)一个极值点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D (， 22 (， 22) (， 3 (， 3)【答案】C【解析】2 【2018 届黑龙江省
21、仿真模拟（四） 】设 是函数 的导函数，且 ，() () ()2()()（ 为自然对数的底数） ，则不等式 的解集为（ ）(12)= ()2 0 ()0 /() ()函数，且 对 恒成立，则 的取值范围是_.2()2【答案】 （） （）证明见解析.1【解析】（） ，由第（1）问可知()=()=2() (0,1)又因为 ，存在 ，使得 ，即(0,1) 0(0,1 (0)=0 00=0当 时， ，即 在 为减函数；当 时， ，(0,0) ()0即 在 为增函数()(0,1所以 -()=(0)=0(0201)又因为 ，即 带入中得00=0 0=0 (0)=0(021)令 ，()=(21)(0,1)
22、()=12(1)当 时， ，即 在 为减函数，(0,1) ()(1)=211.【2018 届宁夏六盘山高级中学高三上第一次月考】已知函数 2xfeabx，曲线yfx在点 ,f处的切线方程为 2yx.（1）求 ,ab的值；（2）求 fx的单调区间及极值.【答案】 （1）a2，b2 （2）见解析【解析】12 【2018 届河北省武邑中学五模】设函数 .()=(22)1n+(12)2+2(1)+(I)讨论 的单调性；()()当 时，讨论 的零点个数.0)当 时， ，当 时， ，=0 ()=2(1)1n 00当 时， ，当 时， . 在 递增1 ()0 =1 ()=0()(0,+)当 时，令 ，得 ，
23、此时 .0 ()=0 1=1,2= 1 ()(0,1) (1,) (,+)()当 时，由 (I)知 在 上递增， 上递减， 上递增，0 = ()得 ()=()=(22)()+(12)2+2(1)+= 12(2)2+2，1考虑到 ，22=(2)0,()0 1=+12 1，(1)=(2121)(+12) +(12)21+2(1)1+=1+由不等式 ，则 ，即 .+1 +(+1)+0 (1)0根据零点存在定理及函数单调性知 在 有一个零点.()(,+)综上可知， 当 时，共有 3 个零点. ()0 ()(3， 3310)因此，当且仅当 时， 有最小值， y 有最小值 90 元 =3 () 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为 3cm14.【2018 届名校联盟二模】已知函数 .()=(1)+1（1）若函数 在定义域 内单调递增，求实数 的取值范围；() (0,+) （2）对于任意的正实数 ，且 ，求证： ., (+)() 32【答案】(1) ;(2)见解析.(,2【解析】(2)由于目标不等式 中两个字母 与 可以轮换，则不妨设 .令 ，则 . (+)() 32 01欲证目标不等式 (+)() 32+1132. （）3(1)2(+1)0根据（1）的结论知，当 时 在 上递增.又因为 ，则=321，则不等式（ ）正确，故原目标不等式得证 .1()1(1)=0
