1、海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2018.11本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合 |0Axa， 1,23B，若 AB，则 a的取值范围为 A. (,1 B. ,) C. (, D. 3,)2. 下列函数中，是偶函数且在 (上单调递增的是A. 2()fx B. 21)fx C. ()lnfx D. ()xfe3. 1edA. B. 0 C. 1 D.e4.在等差数
2、列 na中， 1=, 652a，则公差 d的值为A. 13 B. 3 C. 14 D. 145.角 的终边经过点 (4,)Py，且 sin35，则 ntaA. 43 B. 3 C. 4 D. 346.已知数列 na的通项公式为 na，则“ 21a”是“数列 na单调递增”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.已知向量 a,bc满足 +c=0，且 22abc，则 Aab、 c、 a中最小的值是A. A B. A C. D. 不能确定的8.函数 ()fx， 2()3gx.若存在 129,.0,nx，使得 1()fx2.f1nn12()ng(f
3、，则 的最大值为A. 5 B. 63 C.7 D.8二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9. 计算 lg42_.10. 已知向量 (1,)a， (3,1)b，则向量 a， b夹角的大小为_. 11. 已知等比数列 n的前 项和为 nS，下表给出了的部分数据： 则数列的公比 q ，首项 1= 。12.函数 ()sin2xfa在区间 0,上的最大值为 2，则 a 13.能说明“若 ()fg对任意的 ,x都成立，则 ()fx在 0,2上的最小值大于()gx在 0,上的最大值”为假命题的一对函数可以是 ， ()g 。14.已知函数ln,0()xafe（1）若函数 ()fx的最大值为
4、1，则 a ；（2）若函数 的图像与直线 ye只有一个公共点，则 a的取值范围为 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. （本小题满分 13 分）设 na是等比数列 ， nS为其前 项的和 ，且 2a, 120S. （）求 的通项公式；（）若 80nS，求 的最小值. 16.（本小题满分 13 分）已知函数 cos2()2sinxfx.（）求 0的值；（）求函数 ()fx 在 0,2上的单调递增区间. 17. （本小题满分 13 分）已知函数 32()1fxax. （）当 1a时，求函数 ()f的单调区间；（）求证：直线 27yx是曲线 ()yfx
5、的切线；（）写出 a的一个值，使得函数 f有三个不同零点（只需直接写出数值）18. （本小题满分 13 分）ABC中， 7c， 26sin5C.（）若 o，求 b的值；（）若 1a，求 AB的面积。19.（本小题满分 14 分）已知函数 2ln()xfxm（）求函数 的极值；（）求证：存在 0x，使得 0()1fx的切线；20.（本小题满分 14 分）记无穷数列 na的前 项中最大值为 nM，最小值为 nm，令 2nMb（）若 23na，请写出 1234,b的值；（）求证:“数列 n是等差数列”是“数列 nb是等差数列”的充要条件； （）若 *,2018,nNab ，求证:存在 *kN，使得
6、nk，有 1nb海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案数学 （理科） 2018.11说明：这份只是参考答案，不是评分标准，评分标准等试卷讲评之后下发.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1.B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A 8.D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.2 10. 4 11. 3,42 12.-1 或 213. fx， 1gx 14. ,0e三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.15.解：（）设 na的公比为 q因为 1212120Sa又 a，所以 所以 21q所以 112nnna（）因为 1 3nq
7、S所以 80n，即 2803n，即 241n显然 n 为奇数时，不等式不成立，当 n 为偶数时，即 241n，解得 n所以 n 的最小值为 8.16.解：（） cos002sin1f（）因为 sicox，所以 4xk，即函数 f的定义域为 ,Zcos22sinxfxins=2sincoixx= = si4x令 22kk解得 3,44xZ令 0k，得到 ，因为 4x所以 f在区间 0,2上单调递增区间为 0,417.解：（）函数 321fxax的定义域为 ,，当 1a时，所以 231fx令 0，得 12,3x当 x 变化时， f， f的变化情况如下表：x ,1-1 1,3131,3f+ 0 -
8、0 +fxA极大值 A极小值 A所以函数 f的单调递增区间为 1,3单调递减区间为 1,3（）法一：因为 2fxxa令 3 ，解得 120,3x因为 01f，直线 37ya不经过 ,而 23f，所以曲线 yfx在点 2,3f处的切线为 23273yax化简得到 7a所以无论 a 为何值，直线 237yax都是曲线 yfx在点 2,3f处的切线（）取 a 的值为-2.这里 a 的值不唯一，只要取 a 的值小于-1 即可.18.解：（）在中，因为 5cos7B，且 0,，所以 26sin7B根据正弦定理 sinibC代入 267,5c，解得 5b.（）法一：在 AB中，因为 26sin，所以 1c
9、os5C当 1cos5C时，根据余弦定理 2cab且 ,7ab，得到 24915ab，所以 30所以 30ab，解得 6或 5所以 ABC的面积 1sin62ABCSab当 1cos5时，根据余弦定理 2coscabC又 ,7ab，得 45ab此时方程组 1无解综上， ABC的面积 sin62ABCSab.法二：在 中，因为 221c根据余弦定理22cosabc，得到 os0C因为 6sin5C，所以 1s5根据余弦定理 22cocab和 1,7abc，得道 30ab所以 ABC的面积 1sin62ABCS19.解：（）函数 fx的定义域为 0,且 0m. 22112xmfx 令 0，得到 1
10、x， 2x当 m时，x， f， f的变化情况如下表：x 10,m1m1,mf- 0 -fxA极小值 A所以函数 f在 1m处取得极小值 1lnmf当 0m时，当 x 变化时， fx， f的变化情况如下表：x 10,212m1,2mf+ 0 -xA极小值 A所以函数 f在 12m处取得极大值 ln21324mf（）当 0时， f，结论成立当 m时，由（）知道，由（）可知， fx的最小值是 1lnfm，“存在 0x，使得 01fx”等价于“ 1fm”而 1lnmf设 lgx，则 1xgx当 01时， 0， 单调递增，当 1时， 0gx， x单调递减所以 gx的最大值为 1g，所以 lnmf，结论成
11、立.20.解：（）因为 23na，所以 1a， 2， 31a， 4所以 1b， 2， 3b， 4（） （必要性）当数列 na是等差数列时，设其公差为 d当 d时， 10nd，所以 1na，所以 nMa， 1nm，当 d， 10nad，所以 1na，所以 1nMa， nm当 0是， ，所以 ，所以 ，综上，总有 12nb所以 11 2nnaad ，所以数列 nb是等差数列（充分性）当数列 nb是等差数列时，设其公差为 *d因为 *111122nnnnMmMmb d，根据 ， 的定义，有以下结论：1n， 1n，且两个不等式中至少有个取等号当 *0d，则必有 nM，所以 1nnaMa，所以 na是一
12、个单调递增数列，所以 ， m，所以 *111122nnnab d所以 *nad，即 n为等差数列当 *0d时，则必有 1m，所以 1nnama所以 na是一个单调递减数列，所以 M， ，所以 *111122nnnab d所以 *nad，即 n为等差数列当 *0d， 1111 022nnnnmmb 因为 nM， 1n中必有一个为 0，根据上式，一个为 0，则另一个亦为 0，所以 1n， 1nm，所以 na为常数数列，所以 na为等差数列综上，结论得证.（）假设结论不成立.因为 1nb，即 n或者 1nb，所以对任意 *KN，一定存在 iK，使得 ib， 1i符号相反所以在数列 nb中存在 1k， 2b， 3k， ik， 1i，其中 123ikk 且 1231iikkk ，123 11iikkkbb 因为 1,ikk，即 iiMm， 12iikkm注意 ii， 1iikk，且有且仅有一个等号成立，所以必有 iikk， iik所以 14iikkM，所以 114iiikkkaM因为 ii，所以 ii，所以 1iik所以 14iika所以 1iik所以 214ka32k431ka 1mkk所以 14kka所以 1mkk所以 101401284036218kka，这与 28n矛盾，所以假设错误，所以存在 *KN，使得，有 1nb.
