1、北京市海淀区 2017-2018 学年高三上学期期中考试数学试题（文科）1. 若集合 ，集合 ,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，由交集的定义得到： 故答案选择 C.2. 命题“ ”的否定是A. B. C. D. 【答案】D【解析】命题“ ”的否定是: ;根据换量词否结论，不变条件的原则得到结论即可。故答案为 D。3. 下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】A：是偶函数，在 上是减函数。故不正确。B：是非奇非偶函数，在 上是减函数。故不正确。C：函数是偶函数，在 上是增函数，故正确。D：是奇函数，在 R 上是增函数。故不正确。故答案为
2、 C。4. 已知数列 满足 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据条件得到：可设 ， ，故两式做差得到： ，故数列的每一项都为 0，故 D 是正确的。 A，B，C，都是不正确的。故答案为 D。5. 在平面直角坐标系 中，点 的纵坐标为 ，点 在 轴的正半轴上. 在 中，若 ，则点 的横坐标为A. B. C. D. 【答案】A【解析】设点 C 的坐标为 ，点 A 的坐标为 ，则 ，由，以及 ，得到 故得到 故答案选 A。6. 已知向量 是两个单位向量，则“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由条件得到
3、 ，即两边平方得到：得到 即两个向量的夹角是 0，又因为长度相等，故 ；反之也能推得结论。故答案为 C。7. 已知函数 （ ）的部分图象如图所示，则 的值分别为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由条件知道： 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到 ，由图像知道周期是 ，故 ，故，再根据三角函数的对称中心得到 ，故 如果，根据 ，得到故答案为 B。点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法。8. 若函数 的值域为 ，则实数 的取
4、值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 时， ，故函数在 上单调递减，在 上单调递增，且过原点，最小值为 ；当 时，若 a0,此时图像是开口向上的二次函数图像，最小值在对称轴处取得，故最小值为 故答案为：D。点睛：这是分段函数的值域问题，先确定没有未知量的一支的图像和单调性，从而得到函数的值域，再解决含参数的一支的值域问题。分段函数的值域一般是两段的值域的并集；二次函数的值域问题和函数的对称轴有密切关系，研究轴处的函数值，就是函数的最值。9. 已知等差数列 满足 ，则公差 =_.【答案】【解析】由等差数列的通项公式得到：化为基本量 a 和公差 d。故答案为 2 。10. 已知向量
5、 ， ，若 与 平行，则 的值为_.【答案】【解析】 ， 与 平行 ，故填 .11. 已知函数 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 时, ，则.【答案】【解析】因为函数 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，根据奇函数的定义得到 KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.故结果为-2 。12. 如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在 秒时相对于平衡位置的高度 （厘米）由如下关系式确定： ，则小球在开始振动（即 ）时 的值为_，小球振动过程中最大的高度差为_厘米.【答案】 (1). (2). 【解析】化简可得 h= sint+ cost=2（ s
6、int+ cost）=2sin（t+ ），令 t=0 可得 h= ，由振幅为 2，可得小球振动时最高时离平衡位置为 2 ，最低离平衡位置向下为 2，故最大的高度差为 4故答案为： ；4点睛：这个题目是实际应用题目。根据题干条件得到高度的函数表达式，转化为求函数的最值即可；而接下来就是振幅的概念了；实际应用题目首先要弄清楚数学模型，比如这个题中的函数模型，再根据条件转化为数学中的知识。13. 能够说明 “设 是实数.若 ，则 ”是假命题的一个实数 的值为_.【答案】【解析】因为 ，故 ， 等号成立的条件为 ，故当 时函数值等于 3.此时不满足题干。故答案为 2 。点睛：这个题目是考查的均值不等式
7、的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。14. 已知非空集合 满足以下两个条件： （） ；（）集合 的元素个数不是 中的元素，集合 的元素个数不是 中的元素.那么用列举法表示集合 为_ .【答案】 或【解析】根据题意可以分情况讨论，当集合 A 中有一个元素时，若 ，则 ，不符合集合 的元素个数不是 中的元素，这一条件；若 A 符合条件。，此时不符合条件。当集合 A 中有两个元素时，2 这个数字不能属于 A 集合，也不能属于 B 集合。不满足条件。当集合 A 中有 3 个元素时， 符合条件。
8、故结果为集合 为： 或 。15. 已知函数 .（）求 的值；（）求函数 的单调递增区间.【答案】 （I） （II） .【解析】试题分析：（1）把角代入解析式，化简即可；（2）利用辅助角公式化简，根据正弦函数的单调性写出增区间即可求解.试题解析：（I） （II） .令 得 所以函数 的单调递增区间为 .16. 已知等比数列 满足 ， .（）求 的通项公式及前 项和 ；（）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （） （ N+）， ；（） .【解析】试题分析：（1）根据等比数列的概念和通项的性质得到 ， ，进而得到通项公式；（2）由第一问得到 ， ，故 ，再根据裂项求和的方法求得数列的和即可。（1）
9、设等比数列 的公比为 .因为 ，且 所以 ，得 ，又因为 ，所以 ，得 ， . 所以 （ N+） ，所以 （2）因为 ，所以 ， 所以 . 所以数列 的前 项和. 17. 如图， 为正三角形， ， ， .（）求 的值；（）求 ， 的长.【答案】 （） ；（） ， .【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质得到 )，再根据两角和差公式得到= ，代入已知角的三角函数值即可；（2）由三角形中正弦定理得到 ，进而得到 ，再根据余弦定理得到 的长为 。（1）因为 为正三角形， ，所以在 中， ，所以 .所以 = 因为在 中， ， 所以 . 所以 .（2）在 中， ，由正弦定理得： ，所以又在正 中， ，
10、 ，所以在 中， ， 由余弦定理得：所以 的长为 . 18. 已知函数 .（）求曲线 在点 处的切线方程；（）求函数 在 上的最大值；（）求证：存在唯一的 ，使得 .【答案】 （） ;（ ）6; （）证明见解析.【解析】试题分析：（）根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程；（）写出函数在区间上导数的变化情况，列表求最值即可；（）构造函数 = ，只需证明函数有唯一零点即可.试题解析：（）由 ，得 , 所以 ，又 所以曲线 在点 处的切线方程为： ，即： .（）令 ，得 .与 在区间 的情况如下：- 0 +极小值因为 所以函数 在区间 上的最大值为 6. （）证明：设 = ，则 ， 令 ，得
11、.与 随 x 的变化情况如下：10 0极大值 极小值则 的增区间为 ， ，减区间为 . 又 ， ，所以函数 在 没有零点，又 ，所以函数 在 上有唯一零点 . 综上，在 上存在唯一的 ，使得 .19. 已知数列 满足 ， ， （ N*）.（）写出 的值；（）设 ，求 的通项公式；（）记数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和 的最小值.【答案】 （） ；（） ;（） .【解析】试题分析：（）根据递推关系式写出前六项即可；（）利用等差数列定义证明是等差数列，并写出其通项公式；（）根据等差数列的性质写出 ，再证出 是等比数列， 写出通项公式，可知当 时项是非正的，从而得其最小值.试题解析：（） ，
12、 ； （）设 ， 则 ，所以 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以 .（）解法 1： ， ，所以 是以 1 为首项， 为公差 的等差数列，所以数列 的前 n 个奇数项之和为，由（ ）可知， ，所以数列 的前 n 个偶数项之和为 .所以 ，所以 .因为 ，且所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.由 可得 ，所以当 或 时，数列 的前 项和 的最小值为 . 点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前 n 项和即数列的最大值与恒成立问题，属于难题.解决数列的证明问题时，一般要紧扣等差等比的定义，用定义证明，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的
13、比较多，在涉及数列的恒成立问题时，一般要考虑数列项的最值或前 n 项和的最值，进行转化处理即可.20. 已知函数 .（）求证：1 是函数 的极值点;（）设 是函数 的导函数，求证： .【答案】 （）证明见解析；（）证明见解析.【解析】试题分析：（）求函数的导数，分析导数在 1 两侧的符号，判定 1 是极值点；（）求出 的导数，找到 ，列表求出函数的最小值即可证明.试题解析：（）证明：证法 1： 的定义域为由 得， . 当 时， ， ，故 在 上单调递增；当 时， ， ，故 在 上单调递减；所以 1 是函数 的极值点.证法 2：（根据极值的定义直接证明）的定义域为 ，当 时， ，即 ；当 时， ，即 ； 根据极值的定义，1 是 的极值点. （）由题意可知，证法 1： ，令 ，故 在 上单调递增. 又，又 在 上连续，
