1、 第 04节 应用向量方法解决简单的平面几何问题【考纲解读】考 点 考纲内容 5年统计 分析预测向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2014浙江文22；2017浙江 10；2017浙江 9,17.1.以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下； 2.以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结
2、合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.【知识清单】1平面向量在几何中的应用1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线2共线向量定理：向量 a(a0)与 b共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使得 b a.3. 向量共线的充要条件的坐标表示若 12()()axybxy， ， ， ，则 120xy-.4. 设 a( a1， a2)， b( b1， b2)，则：（1） ab a1b1 a2b2.（2） a ba1b1 a2b20.【重点难点突破】考点 1 平面向量在几何中的应用【1-1】 【2018 届福建省三明市第一中学高三上
3、学期期中】已知 O是 ABC所在平面上一点，满足222|OABCA，则点 O ( )A 在过点 与 垂直的直线上 B 在 A的平分线所在直线上C 在过点 边 的中线所在直线上 D 以上都不对【答案】A【1-2】 【上海市徐汇区 2018届高三下学期学习能力诊断】在四边形 中， ，且 0，= 则四边形 是-（ ）A 菱形 B 矩形 C 直角梯形 D 等腰梯形【答案】A【解析】由题意，根据两个向量相等的定义，由 ，可知 与 平行且相等，所以四边形 为= 平行四边形，又 ，即 ，亦是平行四边形 的对角线互相垂直，因此可判断平行四边=0 形 为菱形 【1-3】【2017 浙江杭州二模】设 P为 ABC
4、所在平面上一点，且满足 34(0)PACmB.若ABP的面积为 8，则 的面积为_.【答案】14【解析】由 34CmAB得 3477mPAB，设 3477PDAB， （如图所示）于是可得点 D在边 上， /D，且 C，则 ，由 /PD，所以 ABPS ，所以 8ABS，又因为 ABDCS，所以 847ABCS，则 14ABCS【领悟技法】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“ a0” ，否则 可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所
5、在直线平行，必须说明这两条直线不重合【触类旁通】【变式一】 【2017 届宁夏回族自治区固原市第一中学第 5次月考】若 O为 ABC所在平面内任一点，且满足 20OBCOA ，则 ABC的形状为( )A 等腰三角形 B 直角三角形C 正三角形 D 等腰直角三角形【答案】A【变式二】设 是平面 内一定点， 为平面 内一动点，若 ，则 为 的（ ）()(+)=()(+)=()(+)=0 A 内心 B 外心 C 重心 D 垂心【答案】B考点 2 平面向量的综合应用【2-1】 【2018 届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会第一次联考】如图，等边 ABC的边长为 2，顶点 ,BC分别在 x轴的
6、非负半轴， y轴的非负半轴上滑动， M为 中点，则 OM的最大值为（ ）A 7 B 572 C 2 D 32【答案】B【解析】设 O，则 ,0,cossin, A2,233cossin ,M2,3cosin , 222333OAcoscossinsin22463cos+2 2in2 21346 4632coscoscoscosin,251353722inini OAM的最大值为 7故选：B.【2-2】 【2018 浙江卷】已知点 P(0，1)，椭圆 +y2=m(m1)上两点 A， B满足 =2 ，则当 m=_时，点 B横坐标的绝对值最大【答案】5【2-3】 【2017 江苏，16】 已知向量
7、(cos,in)(3,)0,.xxab（1）若 a b,求 x的值；（2）记 ()f,求 ()f的最大值和最小值以及对应的 x的值.【答案】 （1） 56x（2） 0x时， 取得最大值，为 3； 56时， 取得最小值，为 23.() ()【领悟技法】1.涉及三角问题求解方法：（1）去除向量的包装外衣，转化为由三角函数值求对应的角的值；（2）去除向量的包装外衣，转化为形如： sinyAxk三角函数最值，但一定要关注自变量 x的范围.另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式，处理的结果之一就是转化为形如： sinyAxk，这一点很重要.2.涉及平面几何问题，往往通过平面向
8、量的坐标运算，结合曲线的定义及曲线与曲线的位置关系，应用函数方程思想解题.【触类旁通】【变式一】 【2018 年天津卷文】在如图的平面图形中，已知 ,则 的值为A. B. C. D. 0【答案】C【变式二】 【2018 年江苏卷】在平面直角坐标系 中， A为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB为直径的圆 C与直线 l交于另一点 D若 ，则点 A的横坐标为_【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设 ，则由圆心 为 中点得 易得 ，与联立解得点 D的横坐标 所以 .所以 ，由 得 或 ，因为 ，所以【变式三】 【2017 课
9、标 II，理】设 O为坐标原点，动点 M在椭圆 C：21xy上，过 M作 x轴的垂线，垂足为 N，点 P满足 2NM.(1)求点 P的轨迹方程；(2)设点 Q在直线 3x上，且 1OPQ.证明：过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F. 【答案】(1) 2y；(2)证明见解析. 【解析】 3,1,3OQtPFmnOQPFmtn，nt.由 1A得 2231n，又由（1）知 2n，故 30mtn.所以 0OQPF，即 PF.又过点 P存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F.【易错试题常警惕】易错典例：在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点， 5
10、O， OMN52过点 M作 MM1y轴于 M1，过 N作 NN1 x轴于点 N1， T1记点 T的轨迹为曲线 C，点 A（5，0） 、B（1，0） ，过点 A作直线 l交曲线 C于两个不同的点 P、Q（点 Q在 A与 P之间） （）求曲线 C的方程；（）证明不存在直线 l，使得 B；（）过点 P作 y轴的平行线与曲线 C的另一交点为 S，若 AtP，证明 BQtSB AN1M151NMyxO易错分析：本题解答有两处易于出错，一是平向量的应用意识不强，不能正确应用平面向量的基本知识和基本方法；二是由于涉及较为复杂的数学式子变形而出错（2）证：点 A（5，0）在曲线 C即椭圆的外部，当直线 l的斜
11、率不存在时，直线 l与椭圆 C无交点，所以直但 420k不可能成立，所以不存在直线 l使得 BQP （3）证明：由题有 S ),(1yx， ),5(),5( 221yxAyxAP则有方程组 )4(.1453,)2(52121yxt由（1）得： 55)(21t将（2） 、 （5）代入（3）有 20)(22ytxt整理并将（4） 、 （5）代入得 0)1(5)(2)1( 22ttxt易知 1t，解得 tx32 因 ),()0,1ySB，故 ),(1yxSB， ),1(2yxBQ， )0,(),64( )0,6(45(222 t ttx tQt BtS 温馨提醒：(1)注意熟练掌握平面向量的基本知识
12、和基本方法，增强应用意识(2)在解答本题时，注意增强信心，细心进行数学式子变形，并特别注意整理得得到的一元二次方程，根的判别式大于零.【学科素养提升之思想方法篇】化整为零，积零为整分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决
13、，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”2.分类讨论思想的常见类型 问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 问题中的条件是分类给出的； 解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【典例】已知曲线 E上的任意点到点 1,0F的距离比它到直线 2x的距离小 1，（1）求曲线 的方程；（2）点 D的坐标为 2,0，若 P为曲线 E上的动点，求 PDF的最小值（3）设点 A为 y轴上异于原点的任意一点，过点 A作曲线 E的切线 l，直线 3x分别与直线 l及 x轴交于 ,MN，以 为直径作圆 C，过点 作圆 的切线，切点为 B，试探究：当点 A在 y轴上运动（点A与原点不重合）时，线段 AB的长度是否发生变化？请证明你的结论【答案】 （1） 24yx；（2） PDF的最小值为 2；（3）线段 AB的长度为定值 6【解析】依题意，直线 l的斜率存在且不为 0，设 :lykxb，代入 24yx得 2240kbx，由 22416kbb得 1 将 3x代入直线 l的方程得 3,Mk，又 3,0N，故圆心 3,2kC所以圆 C的半径为 2br 2222330936kkbAB k6当点 在 y轴上运动（点 A与原点不重合）时，线段 AB的长度不变，为定值 6.
