1、考点规范练 49 直线与圆锥曲线考点规范练第 66 页 基础巩固组1.设 A 为圆( x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点 P 的轨迹方程是( )A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2答案 D解析 如图,设 P(x,y),圆心为 M(1,0),连接 MA,则 MAPA,且|MA|= 1,又 |PA|=1, |PM|= ,|2+|2=2即|PM| 2=2. 点 P 的轨迹方程为(x-1) 2+y2=2.2.若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A,B 两点,则|AB| 的最大值为( )24A.2 B
2、 C D.455 .4105 .8105答案 C解析 设 A,B 两点的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),直线 l 的方程为 y=x+t,由 消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0,2+42=4,=+, 则 x1+x2=- t,x1x2=85 4(2-1)5 .于是|AB|= |x1-x2|1+2= 1+2 (1+2)2-412= ,2 (-85)2-44(2-1)5 =425 5-2当 t=0 时,|AB| max=4105.3.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ,则 的值为( )32 A B C D
3、.32 .233 .932 .2327答案 A解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 中点 M(x0,y0).由题设 kOM=00=32.由 =-21+21=1,22+22=1,得(2+1)(2-1)(2+1)(2-1) .又 =-1, ,所以2-12-1 2+12+1=2020=32 =32.4.若过抛物线 y2=x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,且直线 l 的倾斜角 ,点 A 在 x 轴上方,4则|FA|的取值范围是 ( )A B.(14,1 .(14,+)C D.(12,+) .(14,1+22答案 D解析 记点 A 的横坐标是 x1,则有|AF|=
4、x 1+14= +|AF|cos ,(14+|)+14=12|AF|(1-cos )= ,|AF|=12 12(1-).由 98解析 (1)若 a=0,则 y=2x 与 y=x 为相交直线,显然 y=2x 上存在两点到 y=x 的距离等于 ,符合题意;2(2)若 a0,则 y=ax2-2x 与直线 y=x 相交, y=ax2-2x 在直线 y=x 上方的图象必有两点到直线 y=x 的距离等于 ,又直线 y=x 与 y=x-2 的2距离为 ,2 抛物线 y=ax2-2x 与直线 y=x-2 不相交,联立方程组 消元得 ax2-3x+2=0,=2-2,=-2, =9-8a98.(3)若 a98.能
5、力提升组9.已知两定点 A(0,-2),B(0,2),点 P 在椭圆 =1 上,且满足| |-| |=2,则 为( )212+216 A.-12 B.12 C.-9 D.9答案 D解析 由| |-| |=2,可得点 P(x,y)的轨迹是以两定点 A,B 为焦点的双曲线的上支,且 2a=2,c=2, b=点 P 的轨迹方程为 y2- =1(y1) .3.23由 解得 =(x,y+2)(x,y-2)=x2+y2-4=9+4-4=9.212+216=1,2-23=1, 2=9,2=4,10.已知 A,B,C 是抛物线 y2=4x 上不同的三点,且 ABy 轴,ACB=90,点 C 在 AB 边上的射
6、影为 D,则|AD|BD|= ( )A.16 B.8C.4 D.2答案 A解析 设 A(4t2,4t),B(4t2,-4t),C(4m2,4m),则 =(4t2-4m2,4t-4m), =(4t2-4m2,-4t-4m), 由条件 =0,即 16(t2-m2)2-16(t2-m2)=0, t2-m20, t2-m2=1, 在 RtABC 中,|AD|BD|=|CD| 2=4(t2-m2)2=16,故选 A.11.已知抛物线 C:y2=2px 与点 N(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 2 的直线与 C 交于 A,B 两点,若 NANB,则 p=( )A.-2 B.2 C.-4 D.4答案 D
7、解析 由题意,设直线为 y=2 ,与 y2=2px 联立,消去 x 得 y2-py-p2=0,设 A ,B ,则(-2) (212,1) (222,2)y1+y2=p,y1y2=-p2,由 NANB 得 +(y1-2)(y2-2)=0,所以 (y1+y2)2-2y1y2+4-p2-(212+2)(222+2) 442+12p+4=0,即- p2+p+8=0,解得 p=4 或 p=- (舍),故选 D.34 8312.已知 F 为抛物线 4y2=x 的焦点,点 A,B 都是抛物线上的点且位于 x 轴的两侧,若 =15(O 为原点),则ABO 和 AFO 的面积之和的最小值为( )A B C D.
8、18 . 52 . 54 . 652答案 D解析 设直线 AB 的方程为 x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0),联立 可得 4y2-ty-m=0,42=,=+,根据韦达定理有 y1y2=- ,4=15, x1x2+y1y2=16,从而 16(y1y2)2+y1y2-15=0, 点 A,B 位于 x 轴的两侧, y1y2=-1,故 m=4.不妨令点 A 在 x 轴上方,则 y10,又 F ,(116,0) SABO+SAFO= 4(y1-y2)+ y1= y1+ 2 ,12 12116653221 6513221=652当且仅当 y1=
9、,即 y1= 时,取“= ”号,653221 86565 ABO 与AFO 面积之和的最小值是 ,故选 D.65213.(2017 课标 高考)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 C交于 A,B 两点,直线 l2 与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE| 的最小值为( )A.16 B.14 C.12 D.10答案 A解析 方法一:由题意,易知直线 l1,l2 斜率不存在时,不合题意.设直线 l1 方程为 y=k1(x-1),联立抛物线方程,得 2=4,=1(-1),消去 y,得 x2-2 x-4x+ =0,所以 x1+x
10、2=21 21 21 221+421.同理,直线 l2 与抛物线的交点满足 x3+x4=222+422.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x2+x3+x4+2p= +4= +82 +8=16,221+421 +222+422 421+422 162122当且仅当 k1=-k2=1(或-1) 时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得 F(1,0),设 AB 倾斜角为 作 AK1 垂直准线,AK 2 垂直 x 轴,结合图(不妨令 (0,2).形,根据抛物线的定义,可得 |+|=|1|,|1|=|,|=2, 所以|AF| cos +2=|AF|,即|AF|=21-.同理可得|BF|= ,
11、所以|AB|=21+ 41-2=42.又 DE 与 AB 垂直,即 DE 的倾斜角为 +,2则|DE|= ,42(2+)= 42所以|AB|+|DE|= 16,当 = 时取等号,即|AB|+|DE|最42+ 42= 422= 4142=162 4小值为 16,故选 A.14.(2018 浙江杭二中质检)已知椭圆 C: +y2=1(a1)的离心率为 ,F1,F2 是 C 的两个焦点,过 F1 的直22 32线 l 与 C 交于 A,B 两点,则|AF 2|+|BF2|的最大值等于 . 答案 7解析 因为椭圆 C 的离心率为 ,所以 ,解得 a=2.32 2-1 =32由椭圆定义得|AF 2|+|
12、BF2|+|AB|=4a=8,即|AF 2|+|BF2|=8-|AB|.而由焦点弦性质知当 ABx 轴时,|AB|取最小值 2 =1,因此 |AF2|+|BF2|的最大值等于 8-1=7.215.已知斜率为 的直线 l 与抛物线 y2=2px(p0)交于 x 轴上方的不同两点 A,B,记直线 OA,OB 的斜率12分别为 k1,k2,则 k1+k2 的取值范围是 答案 (2,+)解析 设直线方程为 y= x+b,即 x=2y-2b,12代入抛物线方程 y2=2px,可得 y2-4py+4pb=0,=16p2-16pb0, pb.设 A(x1,y1),B(x2,y2),得 y1+y2=4p,y1
13、y2=4pb,k1+k2=11+22=12+1212 =1(22-2)+(21-2)2(21-2)(22-2)= 2.故答案为(2,+).16-816-16+42=216.(2018 浙江 5 校联考)已知定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线 y2=x 上移动,设 P 为线段 MN 的中点,则点 P 到 y 轴距离的最小值为 . 答案74解析 设 M(x1,y1),N(x2,y2),抛物线 y2=x 的焦点为 F ,抛物线的准线为 x=- ,所求的距离 d=(14,0) 14,所以 (两边之和大于第三边且 M,N,F|1+22 |=1+14+2+142 14=|M|+|2 14 |+|2
14、 14|214=74三点共线时取等号).故应填74.17.已知点 C(1,0),点 A,B 是O:x 2+y2=9 上任意两个不同的点,且满足 =0,设 P 为弦 AB 的中点.(1)求点 P 的轨迹 T 的方程;(2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点 :它到直线 x=-1 的距离恰好等于到点 C 的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由 .解 (1)如图,连接 CP,OP,由 =0,知 ACBC , |CP|=|AP|=|BP|= |AB|,12由垂径定理知|OP| 2+|AP|2=|OA|2,即|OP| 2+|CP|2=9,设点 P(x,y),有(x 2+y2)+(x-1
15、)2+y2=9,化简,得 x2-x+y2=4.(2)存在.根据抛物线的定义,到直线 x=-1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px(p0)上,其中 =1. p=2,故抛物线方程为 y2=4x,2由方程组 得 x2+3x-4=0,2=4,2-+2=4,解得 x1=1,x2=-4,由 x0,故取 x=1,此时 y=2.故满足条件的点存在,其坐标为(1,- 2)和(1,2).18.已知点 P 在椭圆 C: +y2=1 内,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且点 P 是线段 AB(,12) 22的中点,O 为坐标原点.(1)是否存在实数 t,使直线 l 和
16、直线 OP 的倾斜角互补? 若存在,求出 t 的值,若不存在,试说明理由;(2)求OAB 面积 S 的最大值.解 (1)存在.由题意直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程是 y- =k(x-t).代入 x2+2y2=2 得12(1+2k2)x2+4k x+2 -2=0.(-+12) (-+12)2设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2t,即 =2t,4(-12)1+22解得 k=-t,此时方程 即(1+2t 2)x2+4k x+2 -2=0.(2+12) (2+12)2由 =-8t4+8t2+60,解得 0t2 ,32当 t=0 时,显然不符合题意;当 t0 时,设直线 OP 的斜率为 k1,只需 k1+k2=0,即 +(-t)=0,解得 t= ,均符合题意.12 22(2)由(1)知 l 的方程是 y=-tx+t2+ ,12所以 S= |x1-x2|12(2+12)= ,12(2+12) -84+82+61+22 =14-84+82+6因为 0t2 ,所以当 t2= 时,S max=32 12 22.
