1、考点规范练 4 函数的单调性与最值考点规范练第 4 页 基础巩固组1.下列函数 f(x)满足“对于任意 x1,x2(0, +),当 x1f f(-) B.f f(-1)f(-)(3) (3)C.f(-)f(-1)f D.f(-1)f(-)f(3) (3)答案 A 解析 由题意得,0f f()=f(-),故选 A.3 (3)4.设偶函数 f(x)在0,+)上单调递增,则使得 f(x)f(2x-1)成立的 x 的取值范围是( )A. B. (1,+)(13,1) (-,13)C. D.(-13,13) (-,-13)(13,+)答案 A 解析 由 f(x)为偶函数,f(x )f(2x-1)可化为
2、f(|x|)f(|2x-1|),又 f(x)在0,+ )上单调递增,所以|x|2x- 1|,解得 - B.a-14 14C.- a3 解析 由 f(x)=(a2-2a-2)x 是增函数可得 a2-2a-21,解得 a3.7.设 f(x)= 则 f(f(4)= ,函数 f(x)的单调递减区间是 . -2+2,2,2-1,2,答案 1 1,2解析 f(4)=log24-1=1,f(f(4)=f(1)=-12+21=1;当 x2 时,f(x) =-x2+2x,对称轴为 x=1;所以 f(x)在1,2 单调递减,所以 f(x)的单调递减区间是1,2.8.已知函数 f(x)= 若不等式 f(x)a 恒成
3、立,则实数 a 的取值范围是 . 2-2,-1;当 x-1 时,f(x)- .即所以实数 a 的取值范围是(-,-1,故应填( -,-1.12能力提升组9.已知 f(x)是(0,+)的增函数,若 ff(x)-ln x=1,则 f(e)= ( )A.2 B.1 C.0 D.e答案 A 解析 由题意得 f(x)-ln x 为常数 ,设为 a,则 f(a)-ln a=a,又因为 f(a)=1,所以 1-ln a=a,可解得 a=1,因此 f(e)=ln e+1=2,故选 A.10.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数 ,且在区间(-,0) 上单调递减,若实数 a 满足 f(3|2a+1|)f(-
4、),则 a 的3取值范围是 ( )A.(-,-34)(-14,+)B.(-,-34)C.(-14,+)D.(-34,-14)答案 A 解析 函数 f(x)是偶函数, f(3|2a+1|)f(- ),等价为 f(3|2a+1|)f( ),3 3 偶函数 f(x)在区间(-,0) 上单调递减, f(x)在区间0,+)上单调递增, 3|2a+1| ,即 2a+1 ,解得 a- ,故选 A.312 12 34 1411.若函数 f(x)=x2+a|x|+2,xR 在区间3,+) 和 上均为增函数,则实数 a 的取值范围是( )-2,-1A. B.-113,-3 -6,-4C. D.-3,-22 -4,
5、-3答案 B 解析 由函数 f(x)为 R 上的偶函数知 ,只需考察 f(x)在(0,+)上的单调性,因为函数 f(x)=x2+a|x|+2,x R 在区间3, +)和-2,- 1上均为增函数,所以 f(x)在3, +)上为增函数,在1,2 上为减函数,则只需函数 y=x2+ax+2 的对称轴 x=- 2,3,故 a -6,-4,故选 B.212.已知 f(x)是定义在(0,+)的函数.对任意两个不相等的正数 x1,x2,都有 0,记2(1)-1(2)1-2a= ,b= ,c= ,则( )(30.2)30.2 (0.32)0.32 (25)25A.a0,2(1)-1(2)1-2 函数 是(0,
6、+)上的增函数,() 12, 0.320,a0)的定义域和值域都是 0,1,则 loga +loga =( )-56 485A.1 B.2 C.3 D.4答案 C 解析 当 a1 时,函数在0,1上单调递减,所以 =1,且 =0,解得 a=2.-1 -当 01 的 x 的取值范围是 .+1, 0,2,0, (-12)答案 (-14,+)解析 f(x)= f(x)+f 1,即 f 1-f(x),利用图象变换,在同一平面直角坐标系中画+1,0,2,0, (-12) (-12)出 y=f 与 y=1-f(x)的图象,如图所示.(-12)由数形结合可知,满足 f 1-f(x)的解为 .(-12) (-
7、14,+)15.已知函数 f(x)=ex-x-1(x0),g(x)=-x 2+4x-3,若 f(a)=g(b),则 b 的最大值是 . 答案 3 解析 由 f(x)=ex-x-1(x0),知 f(x)=ex-10,即函数 f(x)=ex-x-1 在(0,+ )上单调递增,即函数 f(x)=ex-x-1(x0)的最小值为 f(0)=0,值域为(0,+), 二次函数 g(x)=-x2+4x-3 开口朝下,对称轴为 x=2,与 x 轴的交点为(1,0),(3,0),要使 f(a)=g(b),则 b1,3有解.故答案为 3.16.(2017 浙江杭州高级中学模拟 )设 a0,此时当 x=0 时,3 x
8、2+a=a0 不成立, 若 2x+b0 在( a,b)上恒成立,则 2b+b0,即 b0,若 3x2+a0 在(a,b) 上恒成立,则 3a2+a0,即- a0,故 b-a 的最大值为13,故答案为: .13 1317.已知函数 f(x)= -1,k0,kR .2+12(1)讨论 f(x)的奇偶性 ,并说明理由;(2)已知 f(x)在(-,0上单调递减 ,求实数 k 的取值范围.解 (1)函数 f(x)= -1,k0,kR 的定义域为 R,2+12f(-x)= -1= +2x-1.则当 k=1 时,有 f(-x)=f(x),此时 f(x)为偶函数,当 k1 时,f(-x )f(x)且 f(-x
9、)2-+12- 12-f(x),此时 f(x)为非奇非偶函数 .(2)设 t=2x,x(- ,0,则有 00,y= -1 在(0, 单调递减,在( ,+)上单调递增,已知 f(x)在( -,0上单调递减,必有+1 1,即 k1 .综上所述,实数 k 的取值范围为(- ,0)1,+) .18.已知函数 f(x)=lg 为奇函数.(1-1-)(1)求 m 的值,并求 f(x)的定义域;(2)判断函数 f(x)的单调性,并证明;(3)若对于任意 0, ,是否存在实数 ,使得不等式 f cos2+sin - -lg 30.若存在,求出实数 2 13的取值范围;若不存在,请说明理由 .解 (1) 函数
10、f(x)=lg 为奇函数,(1-1-) f(-x)=-f(x)在定义域内恒成立 ,即 lg =-lg ,(1+1+) (1-1-)即 lg +lg =0,(1+1+) (1-1-)则 =1,即 1-m2x2=1-x2,在定义域内恒成立,1+1+1-1- m=-1 或 m=1,当 m=1 时,f(x) =lg =lg 1=0,定义域为x|x1,故不为奇函数,故舍去.(1-1-)当 m=-1 时,此时 f(x)=lg ,1+1-由 0,解得-10 成立,即不等式(2+-13)f lg 3=f ,(2+-13) (12)由(1)(2)知: 12当 时,令 sin =t,则 ,(0,2 -2+-16即 ,则 56 56 233
