1、2.3 数学归纳法1 用数学归纳法证明 1 N +,n1)时,第一步应验证不等式( )+12+13+ 12-11,n 取的第一个自然数为 2,左端分母最大的项为 122-1=13.答案： B2 利用数学归纳法证明不等式 1 2,nN +)的过程中,由+12+13+ 12-142成立,则当 k4 时,均有 f(k)k 2成立.答案： D5 观察下列不等式:112,1+12+131,1+12+13+1732,1+12+13+1152,1+12+13+13152,由此猜 测 第n个不等式 为 . 解析： 由 3=22-1,7=23-1,15=24-1,可猜测第 n 个不等式为 1+12+13+ 12
2、-12.答案： 1+12+13+ 12-126 用数学归纳法证明“当 nN +时,求证:1 +2+22+23+25n-1是 31 的倍数”,当 n=1 时,原式为 ,从 n=k 到 n=k+1 时需增添的项是 . 解析： 当 n=1 时,原式应加到 251-1=24,故原式为 1+2+22+23+24.从 n=k 到 n=k+1 时需添 25k+25k+1+25(k+1)-1.答案： 1+2+22+23+24 25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+47 用数学归纳法证明 34n+2+52n+1能被 14 整除的过程中,当 n=k+1 时,3 4(k+1)+2+52(k+1)+1应
3、变形为 . 解析： 当 n=k+1 时,3 4(k+1)+2+52(k+1)+1=8134k+2+2552k+1=25(34k+2+52k+1)+5634k+2.答案： 25(34k+2+52k+1)+5634k+28 是否存在常数 a,b 使等式 12+22+32+n2+(n-1)2+22+12=an(bn2+1)对于一切nN +都成立? 若存在,求出 a,b,并证明;若不存在,说明理由.分析： 令 n=1,2 解方程组求得 a,b 的值,再用数学归纳法证明 a,b 的值对一切 nN +等式都成立.解 假设存在 a,b 使 12+22+32+n2+(n-1)2+22+12=an(bn2+1)
4、对于一切 nN +都成立,令 n=1,2,得 (+1)=1,(4+1)=3,解得 =13,=2.下面用数学归纳法证明 a nN +都成立.=13,b=2时 等式 对 一切(1)当 n=1 时,已证.(2)假设当 n=k(kN +)时等式成立,即12+22+32+k2+(k-1)2+22+12=13k(2k2+1),则当 n=k+1 时,1 2+22+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+22+12=13k(2k2+1)+(k+1)2+k2=13k(2k2+3k+1)+(k+1)2=13k(2k+1)(k+1)+(k+1)2=13(k+1)(2k2+4k+3)=13(k+1)2(k+1)2+1
5、.故当 n=k+1 时,等式也成立.由(1)和(2),知存在 a nN +都成立 .=13,b=2,使等式 对 一切9 已知在数列a n中,a 1=2,an+1=(21)(an+2),n=1,2,3,.(1)求a n的通项公式;(2)若在数列b n中,b 1=2,bn+1 a 4n-3,n=1,2,3,.=3+42+3,n=1,2,3,.证 明 : 20,又因为 12+3 122+3=322,所以 bk+1 (bk2=(3-22)(- 2)2+3 (322)22)(21)4(a4k32)=a4k+12,也就是说,当 n=k+1 时,结论成立.根据和, a 4n-3,n=1,2,3,.知 2bn
