1、四 函数、不等式中的恒成立问题1(2017 年广东揭阳二模)已知函数 f(x) g(x)| A2|sin x(xR)，213514(logx ,若对任意的 x1， x2R，都有 f(x1)g(x 2)，则实数 A 的取值范围为( )A. B.( ，94 74， )C. D. 74，94 ( ，74 94， )2(2016 年河北衡水调研)设过曲线 f(x)e xx(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1，总存在过曲线 g(x)ax2cos x 上一点处的切线 l2，使得 l1l 2，则实数 a 的取值范围为( )A1,2 B(1,2) C 2,1 D(2,1)3(2014 年辽宁)当
2、 x2,1时，不等式 ax3x 24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A5，3 B. 6， 98C6，2 D4，34设 0a1，函数 f(x)x ，g(x)xln x，若对任意的 x1，x 21，e ，都有a2xf(x1)g( x2)成立，则实数 a 的取值范围是_5(2015 年新课标)设函数 f(x)e 2xaln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f( x)零点的个数；(2)证明：当 a0 时，f (x)2aaln .2a6已知 f(x)2ax ln x 在 x1 与 x 处都取得极值bx 12(1)求 a，b 的值；(2)设函数 g(x)x 22mxm，若对任意的 x1 ，
3、总存在 x2 ，使得 g(x1)12，2 12，2f(x 2)ln x 2，求实数 m 的取值范围7已知函数 f(x)ax 2ln x(aR)(1)当 a 时，求 f(x)在区间1，e上的最大值和最小值；12(2)如果函数 g(x)，f 1(x)，f 2(x)，在公共定义域 D 上，满足 f1(x)0 成立，故函数 f(x)单调递增，f(x)x2 4x 3x3 x2 8x 9x4 x 1x 9x4maxf(1) 6，故 a6；当 x 时，a 恒成立，记 f(x) 20) x2 4x 3x3 ，f(x ) ，当 x2，1)时，f(x )0. 故 f(x)minf(1) 2，故 a2.综上所述，实
4、数 a 的取值范围是6， 24 ，1 解析：f(x )1 ，当 0a1，且 x1，e 时，f ( x)e 2a2x2 x2 a2x20， f(x)在区间1，e上是增函数， f(x1)minf (1)1a 2.又 g(x) 1 (x0)，易求1xg( x)0，g(x )在区间1， e上是增函数，g(x 2)maxg(e)e1.由条件知只需 f(x1)ming( x2)max.即 1a 2e1.a 2e 2. 即 a1.e 25(1)解：f(x) 的定义域为 (0，)，f(x)2e 2x (x0)ax当 a0 时，f(x )0，f(x )没有零点；当 a0 时，设 u(x)e 2x，v( x) ，
5、ax因为 u(x)e 2x在区间(0，)内单调递增，v( x) 在(0，) 内单调递增，ax所以 f(x) 在(0，)内单调递增又 f(a)0，当 b 满足 00 时，f ( x)存在唯一零点a4 14(2)证明：由(1)，可设 f(x)在区间(0，)内的唯一零点为 x0，当 x(0，x 0)时，f(x)0.故 f(x)在(0，x 0)上单调递减，在区间(x 0，)内单调递增，所以当 xx 0时，f(x) 取得最小值，最小值为 f(x0)由于 2 0，0exax0所以 f(x0) 2ax 0aln 2aaln .a2x0 2a 2a故当 a0 时，f (x)2aaln .2a6解：(1)f(
6、x)2ax ln x ，bxf(x)2a .bx2 1xf(x)2ax ln x 在 x1 与 x 处都取得极值，bx 12f(1)0，f 0.Error!(12)解得 ab .13当 ab 时，13f(x) .23 13x2 1x 2x 1(x 12)3x2函数 f(x)在 x 1 与 x 处都取得极值12a b .13(2)由(1)知，函数 yf( x)ln x x 在区间 上单调递减，23 13x 12，2f(x)ln x minf(2) .76又函数 g(x)x 22mx m 图象的对称轴是 xm.当 m2 时， g(x)ming(2) 43m，4 3m .m .又 m2， m.76
7、3118综上所述，m .3 5167解：(1)当 a 时，f(x) x2ln x ，12 12f(x)x .1x x2 1x对于 x1 ，e，有 f( x)0，f(x)在区间1，e上为增函数fmax(x)f(e) 1 ，f min(x)f (1) .e22 12(2)在区间(1 ， )内，函数 f(x)是 f1(x)，f 2(x)的“活动函数” ，则 f1(x) ，令 p(x )0，得极值点 x11，x 2 ，12 12a 1当 x2x11，即 0，12此时 p(x)在区间(x 2，)内是增函数，并且在该区间上有 p(x)(p( x2)，) ，不合题意；当 x2x11，即 a1 时，同理可知，
8、p(x)在区间(1 ，)内，有 p(x)( p(1)，)，也不合题意；)若 a ，则有 2a10，此时在区间 (1，)内恒有 p(x)0，12从而 p(x)在区间(1，)内是减函数 . 要使 p(x)0 在此区间上恒成立，只需满足 p(1)a 0a ，12 12 a .12 12又 h( x)x2a 0， h(x)在区间(1 ，)内为减a2x x2 2ax a2x x a2x函数，h(x)h(1) 2a0，a .12 14综上所述，实数 a 的范围是 . 12，148解：(1)由已知，有 f( x)2x2ax 2(a0) 令 f(x )0，解得 x0，或 x .1a当 x 变化时，f( x)，
9、f( x)的变化情况如下表：x (，0) 0 (0，1a) 1a (1a， )f(x ) 0 0 f(x) 0 13a2 所以 f(x)的单调递增区间是 ；单调递减区间是( ，0)， .(0，1a) (1a， )当 x0 时，f(x)有极小值，且极小值 f(0)0；当 x 时，f(x)有极大值，且极大值 f .1a (1a) 13a2(2)由 f(0)f 0 及(1) 知，(32a)当 x 时，f(x )0；(0，32a)当 x 时，f(x )0.(32a， )设集合 A f(x)|x(2 ，) ，集合 BError! .则“对于任意的 x1(2 ，) ，都存在 x2(1 ，)，使得 f(x1
10、)f(x2)1”等价于AB .显然，0 B.下面分三种情况讨论：当 2，即 0a 时，由 f 0 可知，32a 34 (32a)0A，而 0B，所以 A 不是 B 的子集当 1 2，即 a 时，有 f(2)0，且此时 f(x)在区间 (2，)内单调递减，32a 34 32故 A(， f(2)，因而 A (，0)；由 f(1)0，有 f(x)在区间(1，) 内的取值范围包含( ，0)，则( ，0) B .所以 AB.当 1，即 a 时，有 f(1)0，32a 32且此时 f(x)在区间(1，)内单调递减，故 B ，A(，f(2)，所以 A 不(1f1，0)是 B 的子集综上所述，实数 a 的取值范围是 .34，32
