1、01第一章导数及其应用1.1 导数1 当自变量从 x0 变到 x1 时 ,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )A.在区间x 0,x1上的平均变化率B.在 x0 处的变化率C.在 x1 处的导数D.在区间x 0,x1上的导数答案： A2 一个做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=2t-t2,则物体的初速度是( )A.0 B.3 C.2 D.3-2t解析： v= 02(+)-(+)2-(2-2)= 0(22tt)=22t,v t=0=2.答案： C3 若曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x0)处的切线方程为 2x+y-1=0,则( )A.f(x0)0 B.f(x0)
2、0C.f(x0)=0 D.f(x0)不存在解析： 切线 2x+y-1=0 的斜率为-2,f( x0)=-2.答案： B4 曲线 y=12x2在点 (1,12)处 的切 线 的 倾 斜角 为 ( )A.4.1.4.54解析： 令 y=f(x) f(x)=x,=12x2,由定 义 求得所以 f(1)=1.所以 k=1=tan .又因为 0,),所以 =4.答案： C5 若对任意 xR,f( x)=4x3,f(1)=-1,则 f(x)为( )A.f(x)=x4 B.f(x)=x4-2C.f(x)=4x3-5 D.f(x)=x4+2解析： 由 f(1)=-1 可排除选项 A,D;再由 f(x)=4x3
3、,结合导数的定义验证知 f(x)=x4-2 正确.答案： B6 对于函数 y=x2,该点的导数等于其函数值的点是 . 答案： (0,0)和(2,4)7 已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 . 解析： 由已知可设 P(4,y1),Q(-2,y2).点 P,Q 在抛物线 x2=2y 上, 42=21,(-2)2=22,解得 1=8,2=2,P(4,8), Q(-2,2),如图.又抛物线方程可化为 y=12x2,由导数的定义,得 y=x,过点 P 的切线斜率为 4.过点 P 的切线方
4、程为 y-8=4(x-4),即 y=4x-8.又过点 Q 的切线斜率为-2,过点 Q 的切线方程为 y-2=-2(x+2),即 y=-2x-2.联 x=1,y=-4,立 =4-8,=-2-2,得点 A 的纵坐标为-4.答案： -48 若抛物线 y=x2-x+c 上一点 P 的横坐标是-2,抛物线过点 P 的切线恰好过坐标原点,则c 的值为 . 解析： 根据题意可知过点 P 的切线的斜率为-5,又直线 OP 的斜率c=4.为 6+2 ,根据 题 意有 6+2 =5答案： 49 抛物线 y=x2 在哪一点处的切线平行于直线 y=4x-5?分析： 由于切线的斜率为 4,因此可以令函数在点 P(x0,
5、y0)处的导数为 4,求出 x0 即可.解 由题意可设函数在点 P(x0,y0)处的导数为 4,则 0= 0(0+)2-20 =2x0.令 2x0=4,得 x0=2.故 y0=4.即抛物线在点(2,4)处的切线平行于直线 y=4x-5.10 求抛物线 y=2x2 过点(2,1)的切线方程.分析： 易判断点(2,1)不在抛物线 y=2x2 上,因此需设出切点坐标,依据条件列方程组求解.解 设切点为(x 0,y0),切线的斜率为 k.则 y0=220, 且 k= 02(0+)2-220 =4x0.又 k=0-10-2=4x0, 由解得 0=2+142,0=15+414或 0=2- 142,0=15-414.k=4x 0=8+ k=4x0=8-214或 214.切线方程为 y-1=(8+ y-1=(8-214)(x2)或 214)(x2).即(8+ (8-214)xy15414=0或 214)xy15+414=0.
