1、2.4 一些常见曲线的参数方程课时过关能力提升1 已知一个圆的参数方程 2),则圆的摆线方程中参数 t为 =3,=3(0=2对应 的点 与点 (32,2)之 间 的距离 为 ( )A.21.2C. 10.32-1解析: 根据圆的参数方程,可知圆的半径为 3,则它的摆线的参数方程 t为 =3(-),=3(1-),把=2代入参数方程中可得 =3(2-1),=3, 即 (32-3,3),故|AB|=(32-3-32)2+(3-2)2=10.答案: C2 如图,ABCD 是边长为 1 的正方形,曲线 AEFGH叫做“正方形的渐开线”,其中 ,的 圆 心依次按 ,循 环 ,它 们 依次相 连 接 ,则
2、曲 线 的 长 是 ( )A.3 B.4C.5 D.6解析: 根据渐开线的定义,可 1 的圆的周长知是半径 为2 的圆的周长 3 的圆的周长的 14,长 度 为 2,继续 旋 转 可得 是半径 为 的 14,长 度 为 ;是半径 为4 的圆的周长 2.所以曲线 AEFGH 的长是 5.的 14,长 度 为 32;是半径 为 的 14,长 度 为答案: C3 我们知道关于直线 y=x 对称的两个函数互为反函数, 则圆的摆线 =(-),=(1-)关于直 线 =对 称的曲 线 的参数方程 为 . 答案: =(1-)=(-)4 已知一个圆的摆线方程是 =4-4,=4-4,则该圆 的面 积为 ,渐 开
3、线 方程 为 . 答案: 16 =4+4=4-45 给出直径为 6 的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.解: 以圆的圆心为原点,一条半径所在的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系.因为圆的直径为 6,所以半径为 3,所以圆的渐开线的参数方程 是 =3+3,=3-3.以圆周上的某一定点为原点,以过该定点的切线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则摆线的参数方程为 =3-3,=3-3.6 有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为 22 mm,求齿廓线所在的渐开线的参数方程.分析 直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可.解: 因为基圆的直径为 22 mm,所以基圆的半径为 11
4、mm,因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为=11(+),=11(-).7 已知圆 C 的参数方程 2),直线 l 的普通方程是 x-y-是 =1+6,=-2+6(0 62=0.(1)如果把圆心平移到原点 O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后圆的渐开线方程.解: (1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0),它到直线 x-y- d62=0的距离 为,所以直线和圆是相切的.=622=6,恰好等于 圆 的半径(2)由圆的半径是 6,可得渐开线方程 是 =6+6,=6-6. 8 已知一个参数方程是 =2+,=2+,如果把 当成参数 ,它表示的 图 形是直 线 (设 斜率存在 ),如果把 当
5、成参数 ,它表示半径 为 (0)的 圆 .(1)请写出直线和圆的普通方程;(2)如果把圆心平移到(0,a),求出圆对应的摆线的参数方程.解: (1)如果把 a 看成参数,可得直线的普通方程为: y-2=tan (x-2),即 y=xtan -2tan +2,如果把 看成参数,当 a0 时 ,它表示半径为 a 的圆,其普通方程为( x-2)2+(y-2)2=a2.(2)因为圆的圆心在(0,a),圆的半径为 a,所以对应的摆线的参数方程为 =(-),=(1-). 9 如图,若点 Q 在半径 AP 上(或在半径 AP 的延长线上 ),当车轮滚动时,点 Q 的轨迹称为变幅摆线,取|AQ|=2或 |=32,请 推出 的 轨 迹的参数方程 .解: 设 Q(x,y),P(x0, y0),若 A(r,r),则 0=(-),0=(1-).当|AQ| ,=2时有 0=2-,0=2-,代入 0=(-),0=(1-),得点 Q 的轨迹的参数方程为 =(-12),=(1-12).当|AQ| ,=32时 有 0=+23 ,0=+23 ,代入 0=(-),0=(1-),得点 Q 的轨迹方程为 =(-32),=(1-32).
