1、第二章检测(时间:90 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知平面内动点 P 到两定点 F1,F2 的距离的和等于常数 2a,关于动点 P 的轨迹有以下说法: 点 P 的轨迹一定是椭圆; 2a|F1F2|时,点 P 的轨迹是椭圆; 2a=|F1F2|时,点 P 的轨迹是线段 F1F2; 点 P 的轨迹一定存在; 点 P 的轨迹不一定存在.则上述说法中,正确的有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个答案:C2.双曲 ( )线 29216=1的一个焦点到一条 渐 近 线 的
2、距离等于.3 C.4 D.2. 3答案:C3.抛物线 y=4ax2(a0)的焦点坐标是( ).(14,0).(0,116).(0,- 116).( 116,0)答案:B4.设抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 y 轴上,若抛物线上的点(k ,-2)与点 F 的距离为 4,则 k 等于( )A.4 或-4 B.5C.5 或-3 D.-5 或 3答案:A5.若椭 m=( )圆 22+2=1的离心率 为 12,则实 数A.32或 83.32C.38.32或 38答案:A6.双曲 a0,b0),过焦点 F1 的直线交双曲线的一支上的弦长|AB|=m,另一焦点线 2222=1(为 F2,则ABF 2 的周
3、长为( )A.4a B.4a-mC.4a+2m D.4a-2m解析:由双曲线的定义知,|AF 2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a.所以|AF 2|+|BF2|-|AF1|-|BF1|=|AF2|+|BF2|-|AB|=|AF2|+|BF2|-m=4a,所以|AF2|+|BF2|=4a+m.故|AF 2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.答案:C7.设点 P 是椭 F1,F2 是焦点,设 k=|PF1|PF2|,则 k 的最大值为( )圆 24+23=1上的 动 点 ,A.1 B.2 C.3 D.4解析:因为点 P 在椭 ,所以|PF 1|+|PF2|=2a=4.圆 24+2
4、3=1上所以 4=|PF1|+|PF2| 212,故|PF 1|PF2|4.答案:D8.P 是椭 P 作椭圆长轴的垂线,垂足为点 M,则 PM 的中点的轨迹圆 29+25=1上的 动 点 ,过 点方程为( )A.429+25=1.29+425=1C.29+220=1.236+25=1解析:用代入法,设点 P 的坐标为( x1,y1),PM 的中点的坐标为(x,y), 则 x1=x,y1=2y,代入椭圆方程即得 PM 的中点的轨迹方程.答案:B9.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )A. 2. 3. 3+12 .
5、 5+12解析:设双曲线方程 a0,b0),F(c,0),B(0,b),则为 2222=1(kBF= y=,双曲 线 的 渐 近 线 方程 为 x,b2=ac,c2-a2=ac,=1,即 e2-e-1=0,解得 e e1, e D.=152 .又 =5+12 ,故 选答案:D10.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e F1,F2 分别是它的左 ,右焦点,若过点 F1 的直线与双曲=62,线的左支交于 A,B 两点,且|AB|是|AF 1|,|AF2|的等差中项,则|BF 1|等于( )A.82.42.22.8解析:由题意,b=2,a= c=22, 23,由|AB|是 |AF1|,|AF2|的等差中
6、项及双曲线的定义得|BF 1|=a.答案:C二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.若双曲 b0)的渐近线方程为 y= b= . 线 2422=1( 12x,则解析:由双曲线渐近线方程 b=1.知 2=12,则答案:112.椭 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,F 1PF2 的大小圆 29+22=1的焦点 为为 . 解析:由椭圆定义得|PF 2|=2a-|PF1|=6-4=2.由余弦定理可得 cosF 1PF2=12,又F 1PF2 是三角形的内角 ,故F 1PF2=23.答案:22313.若抛物线 y2
7、=2px(p0)上一点到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6,则抛物线方程为 .解析:设该点坐标为(x ,y).由题意知 x=1 |y|=6.代入抛物线方程得 36=02, 2p(10-2),解得 p=2 或 p=18.答案:y 2=4x 或 y2=36x14.过点 -2)且与双曲 =1 有公共渐近线的双曲线方程是 . (2,线 22y2解析:设双曲线方程 =m(m0),将已知点的坐标代入可得 m=-3.为 22y2故所求双曲线方程 .为 2326=1答案:2326=115.以下命题: 两直线平行的充要条件是它们的斜率相等. 过点(x 0,y0)与圆 x2+y2=r2 相切的直线方程是 x0
8、x+y0y=r2. 平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. 抛物线上任意一点 M 到焦点的距离等于点 M 到其准线的距离 .其中正确命题的序号是 . 解析: 中斜率不一定存在; 点(x 0,y0)不一定在圆上; 当 2a=|F1F2|时,轨迹为线段.答案: 三、解答题(本大题共 3 个小题,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分) 已知抛物线 y2=8x,过点 M(2,1)的直线交抛物线于 A,B 两点,如果点 M 恰是线段 AB的中点,求直线 AB 的方程.分析:利用“设而不求 ”和“点差法”解决.解:由题意知,直线斜率显然存在 .设 A,B 两点
9、的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),直线斜率为 k,则y2+y1=2.将 A,B 两点坐标代入抛物线方程得x1, 21=8x2, 22=8 - 得( y2-y1)(y2+y1)=8(x2-x1)故 k .=2-12-1= 82+1=82=4所以所求直线方程为 y-1=4(x-2),即 4x-y-7=0.17.(8 分) 已知椭 ab0)的离心率 e圆 22+22=1(4.=32,连 接 椭圆 的四个 顶 点得到的菱形的面 积为(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B,若点 A 的坐标为 (-a,0),|AB| l 的倾斜=425,求直 线角.分析:(1)由
10、离心率 e 2ab=4 可求得 a,b 的=32和 连 接 椭圆 的四个 顶 点得到的菱形的面 积值.(2)用“设而不求”的方法和“ 弦长公式 ”解题.解:(1)由 e 3a2=4c2.再由 c2=a2-b2,解得 a=2b.=32,得由题意可 a2b=4,即 ab=2.知 122解方程 a=2,b=1.组 =2,=2,得所以椭圆的方程 =1.为 24+y2(2)由(1)可知点 A 的坐标是(- 2,0).设点 B 的坐标为( x1,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2).于是 A,B 两点的坐标满足方程 y 并整理,得(1+4k 2)组 =(+2),x24+2
11、=1. 消去x2+16k2x+(16k2-4)=0.由-2x x y |AB|1=162-41+42,得 1=2-821+42.从而 1= 41+42.所以=( -2-2-821+42)2+( 41+42)2=41+21+42.由|AB|=425,得 41+21+4k2=425.整理得 32k4-9k2-23=0,即(k 2-1)(32k2+23)=0.解得 k=1.所以直线 l 的倾斜角为 4或 34.18.(9 分)如图,已知抛物线 C:x2=4y,过点 M(0,2)任作一直线与 C 相交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点).(1)证明
12、动点 D 在定直线上;(2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴),与直线 y=2 相交于点 N1,与(1) 中的定直线相交于点 N2,证明|MN 2|2-|MN1|2 为定值,并求此定值.(1)证明:依题意可设 AB 方程为 y=kx+2,代入 x2=4y,得 x2=4(kx+2),即 x2-4kx-8=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2=-8,直线 AO 的方程为 y BD 的方程为 x=x2.=11x;解得交点 D 的坐标 x1x2=-8 y1,则有 y为 =2,=121,注意到 及 21=4.=11221 =-8141 =2因此 D 点在定直线 y=-2 上(x0).(2)解:依题设,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y=ax+b(a0),代入 x2=4y 得 x2=4(ax+b),即 x2-4ax-4b=0,由 =0 得(4 a)2+16b=0,化简整理得 b=-a2.故切线 l 的方程可写为 y=ax-a2.分别令 y=2,y=-2 得 N1,N2 的坐标为N N1(2+,2), 2( -2+,-2).则|MN 2|2-|MN1|2=(2-)2+42(2+)2=8,即|MN 2|2-|MN1|2 为定值 8.
