1、22.1 比例线段第 4 课时 平行线分线段成比例及其推论教学目标【知识与技能】1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论, 并会灵活应用.2.使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理.【过程与方法】通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.【情感、态度与价值观】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称美,提高学习数学的兴趣.重点难点【重点】平行线分线段成比例定理和推论及其应用.【难点】平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.来源: 学优高考网gkstk教学过程一、复习
2、引入教师多媒体课件出示:1.求下列各式中xy 的值.(1)3x=7y; (2)y=x;(3)y x=47.2.已知x2=y 3=z6, 求(x+y-z) (4x+6y+z).教师找两位学生分别板演1、 2题, 其余同学在下面做,教师巡视,然后集体订正.二、共同探究,获取新知师: 平行于三角形一边的直线,在另外两边上截得的线段是怎样的呢?生:来源:学优高考网gkstk教师多媒体课件出示:已知:如图 ,过ABC的AB 边上任意一点 D作直线DE平行于BC,交AC 于点E,求证:=.师: 你能证明这个问题吗?学生思考、讨论.教师边操作边讲解:我们可以作辅助线,连接BE 、CD,再过点 E作AB上的垂
3、线段h.师: 现在你能猜出可以转化为哪两个三角形的面积之比吗?学生思考后回答:能,可以转化为ADE和BDE的面积之比.师: 你是怎样得到的呢?生: ADE的面积等于AD与h乘积的一半,BDE的面积等于 BD与h乘积一半,所以=.师: 你回答得太好了! 我们要证的是 =,我们把AD与DB的比转化为了两个三角形的面积之比.再证出什么就能得到结论了?学生思考后回答:再证出=.师: 对 ,你们太聪明了!你怎么证明这个相等关系呢?生: 过点D向AC边作垂线,与前面同理可证出这个相等关系.师: 很好! 这样我们就证出 =.由这个比例式,你能推出哪些线段也是成比例的?还有哪些比例式也是成立的呢?学生思考,教
4、师提示 .生甲:=.生乙:=.师: 对 !上面的图形 ,也可看作是直线BC平行于ADE的一边与另外两边的延长线相交而得到的. 于是我们能得到一个定理.教师提示大家读出书上的推论,并板书:定理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.师: 这个定理可推广成一般的形式.教师多媒体课件出示:已知:如图 ,直线l 1l 2l 3,直线 AC、DF被这三条直线分别截于点 A、B、C和D、E、F,求证:=.师: 直线AC、DF 被这三条直线所截,不止一种结果.因为不同情况下的证明方法不同,所以我们要对截得的结果分类,被截的情形有哪几种呢?学生思考、讨论.生甲:AC与DF平行 .生乙:A
5、C与DF不平行 ,但它们在l 1与l 2间不相交.生丙:AC与DF相交在 l1或l 3上.生丁:AC与DF相交在两条平行线间.师: 下面我们分别就这几种情况进行讨论.先看平行时,怎么证明这个结论呢?生: 根据夹在两条平行线间的平行线段相等得到AB=DE,BC=EF, 所以ABBC=DEEF.师: 很好! 如果AC与DF不平行且在l 1与l 2间不相交时,又该如何证明呢?学生思考,讨论后教师找一生板演, 其余同学在下面做,然后集体订正.证明:过点 A作DF的平行线,分别交l 2、l 3于点E、F.这时有=,而四边形AEED和四边形EFFE 都是平行四边形,所以AE=DE,EF=EF, 因而可得=
6、.其余两种情况类似可证.师: 于是我们得到如下定理:(教师板书)平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.三、继续探究,层层推进师: 在这个定理中,当=1时, 有=1,即当AB=BC时,有DE=EF,由此你能得到什么结论 ?学生口述,教师板书 :平行线等分线段定理 两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等.四、例题讲解【例】 如图,在ABC 中,E、F分别是AB和AC上的点,且EFBC.(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?(2)如果AB=10,AE=6,AF=5, 那么FC的长是多少?解:(1
7、)EFBC,=,AE=7,EB=5,FC=4,AF=.(2)EFBC,=.AB=10,AE=6,AF=5,AC=,FC=AC-AF=-5=.五、巩固练习师: 同学们,我们今天学习了不少知识, 你们都掌握了吗? 现在我来出几道题目帮助大家消化一下.1.如图,已知ABCD EF,那么下列结论正确的是( )A.=B.=来源:学优高考网C.=D.=【答案】A2.如图,DEBC,AB DB=31,则AEAC= . 【答案】23第2题图第3题图3.如图,DEBC,若AB=8,AEEC=2 3,则AD= . 来源:学优高考网【答案】4.如图,DE是ABC的中位线,F是DE的中点,BF的延长线交AC 于点H, 则AHHE= . 【答案】21 来源: 学优高考网gkstk第4题图第5题图5.如图,在ABC中,DEBC,AD=4,DB=8,AE=3.(1)求的值;(2)求AC的长.【答案】(1)=;(2)DEBC,=.又AE=3,AC=9.六、课堂小结师: 今天你学习了哪些定理?学生口述定理.
