1、21.2 二次函数的图象和性质1.二次函数 y=ax2 的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax 2的图象, 理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax 2的图象及性质的过程, 获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】来源:学优高考网使学生经历探索二次函数y=ax 2的图象和性质的过程, 培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数的性质.
2、教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线 .)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y);(3)连线 (用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质 .)二、新课教授【例1】 画出二次函数y=x 2的图象.解:(1)列表中自变量x可以是任意实数, 列表表示几组对应值.x -3来源:gkstk.Com -2 -1 0 1 2 3 y 9
3、 4 1 0 1 4 9 (2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点, 得到函数y=x 2的图象, 如图所示.思考:观察二次函数y=x 2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x 2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么 ?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x 2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳, 积极展示探究结果,教师评价.函数y=x 2的图象是一条关于y轴(x=0) 对称的曲线,这条曲线叫
4、做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x 2的图象可以简称为抛物线y=x 2.由图象可以看出,抛物线y=x 2开口向上;y轴是抛物线y=x 2的对称轴:抛物线y=x 2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点, 它是抛物线y=x 2的最低点 .实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】 在同一直角坐标系中 ,画出函数y=x 2及y=2x 2的图象 .解: 分别填表,再画出它们的图象.x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y=x2 8 4.5 2 0.5来源:gkstk.Com 0 0.5 2 4.5 8
5、 x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y=2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 思考:函数 y=x2、y=2x 2的图象与函数y=x 2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x 2、y=2x 2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳, 回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x 2、y=2x 2与抛物线y=x 2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x 2的图象的开口较窄,y=x 2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x 2、y=-x 2、y=-2x 2的图象, 并考虑这些图象有什么
6、共同点和不同点。师生活动:学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x 2、y=-x 2、y=-2x 2的图象,观察、讨论并归纳.教师巡视学生的探究情况,若发现问题, 及时点拨.学生汇报探究的思路和结果,教师评价, 给出图形.抛物线y=-x 2、y=-x 2、y=-2x 2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x 2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.来源:gkstk.Com探究2:对比抛物线y=x 2和y=-x 2,它们关于x轴对称吗? 抛物线y=ax 2和y=-ax 2呢?师生活动:学生在平面直角坐标系中画出函数y=x 2和y=-x 2的图象, 观察、讨论并归纳.教师巡视学生的探
7、究情况,发现问题, 及时点拨.学生汇报探究思路和结果,教师评价, 给出图形.抛物线y=x 2、y=-x 2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax 2和y=-ax 2的图象也关于x 轴对称.教师引导学生小结(知识点、规律和方法 ).一般地,抛物线 y=ax2的对称轴是 y轴, 顶点是原点.当a0时,抛物线y=ax 2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时 ,抛物线的开口越小;当a0, 当x0时,y 随x的增大而增大;如果 a0时,y 随x的增大而减小.三、巩固练习来源:gkstk.Com1.抛物线y=-4x 2-4的开口向 , 顶点坐标是 ,对称轴是 ,当x= 时,y 有最 值, 是
8、. 【答案】下 (0,-4) x=0 0 大 -42.当m 时,y=(m-1)x 2-3m是关于x的二次函数. 【答案】13.已知抛物线y=-3x 2上两点A(x,-27),B(2,y),则x= ,y= . 【答案】-3或3 -124.抛物线y=3x 2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k= ,b= . 【答案】 125.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为 . 【答案】y=-2x 26.在同一坐标系中,图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是( )A.y=x2 B.y=x 2C.y=-2x2 D.y=-x2【答案】C7.抛物线y=4x
9、 2、y=-2x 2、y=x 2的图象, 开口最大的是( )A.y=x2 B.y=4x2C.y=-2x2 D.无法确定【答案】A8.对于抛物线y=x 2和y=-x 2在同一坐标系中的位置 ,下列说法错误的是( )A.两条抛物线关于x 轴对称B.两条抛物线关于原点对称C.两条抛物线关于y轴对称D.两条抛物线的交点为原点【答案】C四、课堂小结1.二次函数y=ax 2的图象过原点且关于 y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.2.二次函数y=ax 2的性质:抛物线y=ax 2的对称轴是y 轴, 顶点是原点 .当a0 时,抛物线y=x 2开口向上, 顶点是抛物线的最低点, 当a越大时,抛物线的开口越小 ;当a0时,抛物线y=ax 2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时 ,抛物线的开口越大.3.二次函数y=ax 2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.教学反思本节课的内容主要研究二次函数y=ax 2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是基础;(2) 在例1的基础之上引入例2,让学生体会a 的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3) 例2 及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;(4) 最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.
