1、21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第 1 课时 直接开平方法教学内容运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”, 转化为两个一元一次方程.教学目标理解一元二次方程“降次”转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.提出问题,列出缺一次项的一元 二次方程 ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程, 然后知识迁移到解 a(ex+f)2+c=0 型的一元二次方程.版权所有教学重难点重点:运用开平方法解形如(x+m )2=n(n0)的方程,领会降次转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如 x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m )2=n(n0)的方
2、程.www.21-cn-教学过程一、教师导学学生活动:请同学们完成下列各题问题 1.填空(1)x2-8x+ = (x- ) 2; (2)9x2+12x+ =(3x+ ) 2; (3)x2+px+ =( x+ ) 2. 问题 2.如图,在ABC 中, B=90,点 P 从点 B 开始,沿 AB 边向点 A 以 1cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始,沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动,如果 AB=6cm,BC=12cm,P、Q 都从B 点同时出发,几秒后PBQ 的面积等于 8cm2?老师点评:问题 1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)( )2 .问
3、题 2:设 x 秒后PBQ 的面积等于 8cm2则 PB=x,BQ=2x依题意,得: x2x=8x2=8根据平方根的意义,得 x=2即 x1=2 ,x2=-2可以验证,2 和-2 都是方程 x2x=8 的两根,但是移动时间不能是负值.所以 2 秒后PBQ 的面积等于 8cm2.二、合作与探究上面我们已经讲了 x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得 x=2 ,如果 x 换元为 2t+1,即(2t+ 1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢 ?(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把 2t+1 变为上面的 x,那么 2t+1=2即 2t1+1=2 ,2t2+1=-2方程的两根为 t1= -
4、,t2=- -【例 1】解方程:x 2+4x+4=1分析:很清楚,x 2+4x+4 是一个完全平方公式,那么原方程就转化为 (x+2)2=1.解:由已知,得:(x+2) 2=1直接开平方,得:x+2= 1即 x1+2=1,x2+2=-1所以,方程的两根 x1=-1,x2=-3【例 2】市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14.4m2,求每年人均住房面积增长率.分析:设每年人均住房面积增长率 为 x.一年后人均住房面积就应该是 10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是 10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2解:设每年人均住房面积增长率为 x,则
5、:10(1+x) 2=14.4(1+x)2=1.44直接开平方,得 1+x=1.2即 1+x1=1.2,1+x2=-1.2所以,方程的两根是 x1=0.2=20%,x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x 2=-2.2 应舍去.所以,每年人均住房面积增长率应为 20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程 ,它们的共同特点是什么?共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,即“降次转化思想”.三、巩固练习教材 P6 练习.四、能力展示某公司一月份营业额为 2 万元,第一季度总营业额为 6.62 万元, 求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?21 教
6、育名师原创作品五、总结提升本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如 x2=p(p0),那么 x= 转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p0),那么 mx+n= ,达到降次转化之目的.六、布置作业教材 P16 习题 21.2 1、2.第 2 课时 配方法教学内容通过变形运用开平方法降次解方程.教学目标理解通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成 x2=p(p0)或(mx+n) 2=p(p0)的一元二次方程的解和不能直接化成上面两种形式的解题步骤.教学重难点重点:讲清“直接降次有困难,如 x2+6x-16=0 的一元二次方程的解题步骤”.难点:不
7、可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.教学过程一、教师导学(学生活动)请同学们解下列方程(1)3x2-1=5 (2) 4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9老师点评:上面的方程都能化成 x2=p 或(mx+n) 2=p(p0)的形式 ,那么可得x= 或 mx+n= (p0).如:4x 2+16x+16=(2x+4)2二、合作与探究列出下面问题的方程并回答:(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?(2)能否直接用上面三个方程的解法呢?问题:如图,在 宽为 20m,长为 32m 的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道
8、路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为 500m2,道路的宽为多少?解:设道路的宽为 x,则可列方程:(20-x )(32-2x)=500 整理,得:x 2-36x+70=0(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是: 前三个左边是含有 x的完全平方式而后一个不具有.(2)不能.既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程【例 1】解方程:x 2-36x+70=0.老师点评:x 2-36x=-70,x2-36x+182=-70+324,(x-18)2=254,x-18= ,x1-18= 或 x2-18=- ,x134,x22.可以
9、验证 x134,x22 都是原方程的根,但 x34 不合题意,所以道路的宽应为 2.【例 2】解下列关于 x 的方程2x2-4x-1=0解:x 2-2x- =0 x 2-2x=x2-2x+12= +1 ( x-1)2=x-1= 即 x1-1= ,x2-1=-x1=1+ ,x2=1-可以验证:x 1=1+ ,x2=1- 都是方程的根.像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法, 叫配方法.三、巩固练习教材 P9 练习 1 2.(1) 、( 2).四、能力展示如图,在 RtACB 中, C=90,AC=8m,BC=6m,点 P、Q 同时由 A,B 两点出发分别沿AC、BC 方向向
10、点 C 匀速移动 ,它们的速度都是 1m/s,几秒后PCQ 的面积为 RtACB 面积的一半.五、总结提升本节课应掌握:配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.六、布置作业教材 P17 习题 21.2 3.21.2.2 公式法第 1 课时 一元二次方程根的判别式教学内容一元二次方程根的判别式,即 =b2-4ac.教学目标1.熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况;2.会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围.教学重难点1.运用判别式求出符合题意的字母的取值范围;2.运用判别式判别一元二次方程根的情况.教学过程一、教师导学对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式
11、,我们知道 =b2-4ac.当 0 时, 方程有两个不等的实数根;=0 时,方程有两个相等的实数根; 0,即-12k+1 0,k0,即 0.所以无论 m 取何值,方程有两个不相等的实数根.说明:此类题目要先把方程化成一般形式,再计算出 ,如果不能直接判断 情况,就利有配方法把 配成含有完全平方的形式,根据完全平方的非负性 ,判断 的情况, 从而证明出方程根的情况.【出处：21 教育名师】三、巩固练习1.不解方程,判别方程 x2-4x+8=0 的根的情况;2.关于 x 的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式为 1,求 m 的值及该方程的根; com3.已知 m 为非负
12、整数,且关于 x 的方程( m-2)x2-(2m-3)x+m+2=0 有两个实数根, 求 m 的值.四、总结提升本节课应掌握:一元二次方程根的判别式的定义及其运用,为后面学习用公式法解一元二次方程打好基础.五、布置作业教材 P17习题 21.2 4、12、13第 2 课时 公式法教学内容1.一元二次方程求根公式的推导过程;2.公式法的概念;3.利用公式法解一元二次方程.教学目标1.知识与技能:理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.2.过程与方法:复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程, 引入 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式的推导公式,
13、并应用公式法解一元二次方程.21 教育教学重难点重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式法的推导.教学过程一、教师导学(学生活动)用配方法解下列方程(1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52老师点评:(1)移项,得:6x 2-7x=-1;二次项系数化为 1,得:x 2- x=- ;配方,得:x 2- x+( )2=- +( )2;(x- )2= ;x- = ;x1= + = =1;x2=- + = = .(2)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).(1)移项;(2)化二次项系数为 1;(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;(4)原方程变
14、形为( x+m)2=n 的形式;(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解 ,如果右边是负数, 则一元二次方程无解.二、合作与探究如果这个一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0(a0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.问题:已知 ax2+bx+c=0(a0)且 b2-4ac0,试推导它的两个根x 1= ,x2=分析:因为前面系数是具体数字方程已做得很多,我们现在不妨把 a、b、c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解:移项,得:ax 2+bx=-c二次项系数化为 1,得 x2+ x=- ;配方,得:x 2+ x+( )2
15、=- +( )2;即(x+ )2= ;b2-4ac0 且 4a20; 0;直接开平方,得:x+ = ;即 x= ;x1= ,x2=由上可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系数 a、b、c 而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0,当 b2-4ac0 时,将a、b、c 代入式子 x= 就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根 .【例】用公式法解下列方程.(x-2)(3x-5)=1分析:用公式法解一元二次方程,首先应把
16、它化为一般形式,然后代入公式即可.解:将方程化为一般形式3x2-11x+9=0;a=3,b=-11,c=9;b2-4ac=(-11)2-439=130;x= = ;x1= ,x2=三、巩固练习教材 P12 练习 1.(1)、( 3)、(5)四、能力展示某数学兴趣小组对关于 x 的方程(m+ 1) +(m-2)x-1=0 提出了下列问题.(1)若使方程为一元二次方程,m 是否存在?若存在,求出 m 并解此方程.(2)若使方程为一元一次方程,m 是否存在?若存在,请求出.你能解决这个问题吗?五、总结提升本节课应掌握:(1)求根公式的概念及其推导过程;(2)公式法的概念;(3)应用公式法解一元二次方
17、程;(4)初步了解一元二次方程根的情况.六、布置作业教材 P17 习题 21.2 5.21.2.3 因式分解法教学目标1.知识与技能:学会用因式分解的方法解某些一元二次方程, 因式分解的具体方法有:提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等.21cnjy2.过程与方法:通过对因式分解法的学习,进一步掌握一元二次方程的解法,更深理解“降次”的基本思想.教学重难点熟练用因式分解的方法解有关的一元二次方程教学过程一、教师导学问题:根据物理 学规律,如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛,那么经过 xs 物体离地面的高度( 单位:m)为 10x-4.9x2.你能根据此规律求出物体经过多少
18、秒落回地面吗?(精确到 0.01s)?21cnjycom二、合作与探究上面的问题可 设物体经过 xs 落回地面,这时它离地面的高度为 0,即 10x-4.9x2=0.除配方法或公式法以外,今天我们选择一种更简单的方法解此方程 .【21世纪教育】分析:方程左边因式分解,得 x(10-4.9x)=0.于是得 x=0 或 10-4.9x=0,x1=0,x2= 2.04.即 0s 时物体被抛出,2.04s 时落回地面.可以发现,上述解法中,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式,再使这两个一次式分别等于 0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.【例】解下列方程:(
19、1)x( x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x- =x2-2x+解:(1)因式分解,得( x-2)(x+1)=0;x-2=0 或 x+1=0;x1=2,x2=-1(2)移项,合并同类项,得 4x2-1=0;因式分解,得(2x+1)(2x-1) =0;2x+1=0 或 2x-1=0;x1=- ,x2=三、巩固练习教材 P14 练习 1、2.四、能力展示1.因式分解法解下列方程:(1)x2+2x=-1;(2)(y-2)2=3(2-y).2.已知(a 2+b2)2-3(a2+b2)-4=0,求 a2+b2的值.五、总结提升本节课应掌握:熟练用因式分解法解某些一元二次方程.六、作业布置教材 P17
20、 习题 21.2 621.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学内容由一元二次方程的求根公式推导一元二次方程根与系数的关系,并用根与系数的关系求方程另一根及字母系数的值及一些代数式的值等运用.21世纪教育教学目标1.知识与技能:会用求根公式推导根与系数的关系,并利用它不解方程,解决一些与方程的根有关的问题.2.过程与方法:不解方程,直接用根与系数的关系求方程的另一根,及有关 x1、x 2的对称式的代数式的值.www-2-1-cnjy-com教学重难点熟练用求根公式,不解方程而直接解决与方程的根有关的问题.教学过程一、教师导学问题:方程 x2+x-6=0 的两个根.x 1= ,x 2= ,x
21、1+x2= ,x 1x2= .方程 x2+px+q=0(p2-4q0)的两个根 x1= , x2= , x1+x2= , x1x2= . 2-1-c-n-j-y二、合作与探究由上面的问题可知,x 1+x2=-p,x1x2=q,设方程 ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0),两根为 x1,x2,那么x1+x2= ,x 1x2= . 分析:x 1= ,x2= ,x1+x2=- ,x1x2= 这就是一元二次方程根与系数的关系.【例 1】若 x1,x2是方程 x2-2x-1=0 的两个实数根,不解方程,求下列代数式的值:(1) + ( 2) +(3)(x1-x2)2 (4)(x1+1)(x2+1
22、)分析:利用根与系数的关系得:x 1+x2=2,x1x2=-1,再将所有式子用 x1+x2,x1x2表示, 再整体代入求解即可.【版权所有：21 教育】解:略.【例 2】已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2=0 的两实根为 ,且 +=-1,求 m 的值.分析: + = ,由根与系数关系代入求出 m 的值,但是 m 的值必须满足一元二次方程有两实根,即满足 =b2-4ac0.解:m=3.三、巩固练习1.已知方程 2x2-3x-2=0 的两根分别为 x1,x2,则 x1+x2+x1x2= . 2.已知关于 x 的一元二次方程 2x2-mx-2m+1=0 的两根的平方和是 ,求 m 的值.解:m 1=-11(舍去 ),m2=3.3.关于 x 的方程 x2-2 x+m=0 的一个根为 +1,求方程的另一根, 及 m 的值.解:另一根为 -1,m=2.四、能力展示已知 x1,x2是关于 x 的方程 x2+(2a-1)x+a2=0 的两个实数根,且(x 1+2)(x2+2)=11,求 a 的值.解:a 1=5(舍去),a 2=-1.五、总结提升本节课应掌握不解方程,利用根与系数的关系解决关于 x1+x2与 x1x2有关代数式值的问题或求方程的根或字母系数的值.【】六、布置作业教材 P16 练习
