1、1镇平一高中 20182019 高三期终考前模拟演练数学试题一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于( )21iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合 ， ，则 ( ),23A|()20,BxxZABA. B. C. D.11,131,0233.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是
2、( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .12若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率为( )fA. B. C. D.32f32f 125f17f25.函数 的图像大致为( )2sin(641xyA. B. C.
3、D.6.使 展开式中含有常数项的 的最小值是( )231()()nxNnA. B. C. D.4567.已知 是双曲线 C： 上的一点， 是 C 上的两个焦点，若0Mxy，（ ） 21xy12F、，则 的取值范围是( )12F0A. B. C. D.3(,)3,)62(,)32(,)8.已知函数 的图象的一个对称中心为 , 则函数(sin2)(0)2fx3(0)8的单调递减区间是( )fA. B.32,()8kkZ5,2()8kkZC. D.9.如图 1，已知正方体 的棱长1ABCD为 ，动点 、 、 分别在线段 、aMNQ1、 上，当三棱锥 的俯视图1BC1如图 2 所示时，三棱锥 的正视图
4、面积B为( )A. B.21a214a3C. D.24a234a10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 ，直角边 ， . 的三边所围成ABCABC的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1， p2， p3，则( )A. B.12p13C. D.3 211.设抛物线 : 与椭圆 : 交于 两点，在椭圆 位于抛物线C24xy E9xyAB、 E上方的部分取一点 ，点 为椭圆 的右顶点，若 ，则 的PQQPBurur取值范围是( )A. B. C. D.1,2(1,3(1,4
5、(1,512.已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若不等式2()bfxlneaxe恒成立，则 的最小值为( )0fbA. B. C. D.21e2e1e2e二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.记 为数列 的前 项和，若 ，则 _.nSna1nSa6S14.已知变量 满足约束条件 ，若目标函数 的最小值为 ，xy, 02|1|()xyazxy34则实数 的值为_.a15.已知向量 ， ，若对任意单位向量 ，均有 ，则,b|,|2e|6abe的最大值是_.16.用 组成数字不重复的六位数，满足 不在左右两端， 三个偶数中有且123456， ， ， ， ， 124， ，
6、只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为_.（用数字填写答案）三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分 10 分）4在平面四边形 中， ， ， ， .ABCD9045A2B5D（1）求 ；cos（ 2） 若 ， 求 .218.（本题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，已知 ， .nanS13a*13()nSN（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 n 项和为 ，其中 .1nnbabnT*19.（本题满分 12 分）如图，在三棱锥 中, , .点 分别为棱PABCABC底 面 90DEN,的中点, 是线段 的中点, , .A,MD4P2A
7、B（）求证： ；NE平 面（）求二面角 的正弦值；C（）已知点 在棱 上，且直线 与直线 所成角的余弦值为HPANHBE，求线段 的长.72120.（本题满分 12 分）某中学数学组推出微信订阅号后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了 60 位更关注栏目 1 或栏目 2（2 选一）的群体身份样本得到如下列联表，已知在样本中关注栏目 1 与关注栏目 2 的人数比为2:1，在关注栏目 1 中的家长与学生人数比为 5:3，在关注栏目 2 中的家长与学生人数比为 1:35栏目 1 栏目 2 合计家长学生合计（1）完成列联表，并根据列联表的数据，若按 99%
8、的可靠性要求，能否认为“更关注栏目1 或栏目 2 与群体身份有关系” ；（2） 如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目 1 的人数记为随机变量 ，求 的分布列和期望；X（3）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重充实哪个栏目的内容，并简要说明理由. 20()PKx0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（ ，其中 .）22()(nadbcnabcd21.（本题满分 12 分）已知函数 ， .()fxa()lngx（）若函数 有极值 1，求 的值；Fa（）若函
9、数 在 上为减函数，求 的取值范围；()si()(Gf0,)a（）证明： .21nlk22.（本题满分 12 分）抛物线 : 的焦点 是 : 的1C2(0)xpyF2C21yx顶点,过 点的直线 的斜率分别是 ，且 ,F12,l1,k12,k直线 与 交于 ，直线 与 交于 .1l2,AM2lBDN6（）求抛物线 的方程，并证明： 分别是 的中点，且直线 过定点；1C,MN,ACBDMN（）求 面积的最小值MFN设 面积分别为 ，求证： .,ABDF123,S2134S数学答案一、选择题：1.设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于( )21iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象
10、限 D.第四象限【答案】B【解析】由题意 ，其对应的点坐标为 ，位于第二象限，2(1)iii (1,)故选 B.2.已知集合 ， ，则 ( )1,23A|(1)20,BxxZABA. B. C. D., 31,023【答案】C【解析】集合 ，而 ，所以 ，|12,0,1BxxZ,2A,1AB故选 C.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8
11、月份7D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图，易知选项 A 错误，故选 A.4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .12若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率为( )fA. B. C. D.32f32f125f127f【答案】D【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以 为首项， 为公比的等比数列，故f12第八个单音的频
12、率为 ，故选 D.17822()ff5.函数 的图象大致为( )sin64xyA. B. C. D.【答案】D【解答】由题意得 ，所以2cos6()41xf，2cos() ()xxf fx所以 为奇函数，故图象关于原点对称，故排除 A；因为当 从右趋向于 0 时，f趋向于+，当 趋向于+时， 趋向于 0，故排除 BC，故选 D.()xx()fx6.使 展开式中含有常数项的 的最小值是( )231)()nNnA. B. C. D.456【答案】C8【解析】 ，令 得 ，所以 的最225131()knkknTCxCx0k52nkn小值是 5，故选 C.7.已知 是双曲线 C： 上的一点， 是 C
13、上的两个焦点，若0Mxy，（ ） 21xy12F、，则 的取值范围是( )12F0A. B. C. D.3(,)3,)62(,)32(,)【答案】A【解析】由题知 , ,故12(3,0)()F201xy， ，解得1200,Mxy 220031y，故选 A.03y8.已知函数 的图象的一个对称中心为 , 则函数()sin2)(0)2fx3(0)8的单调递减区间是( )fA. B.32,()8kkZ5,2()8kkZC. D.【答案】D【解析】由题意得 ，得 ，所以 ，由3sin(2)084()sin2)4fx，得 的单调递减区间为 ，24kxkfx5,()8kkZ故选 D.9. 如图 1，已知正
14、方体 的棱长为 ，动点 、 、 分别在线段1ABCDaMNQ、 、 上，当三棱锥 的俯视图如图 2 所示时，三棱锥ABC1QMN的正视图面积为( )QMN9A. B.21a214aC. D.2423【答案】B【解析】由俯视图可知点 和点 重合，点 和 重合， 为 的中点，NCQ1DM1A故其正视图为三角形，如右图，从而得其面积为 .224a10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 ，直角边 ， . 的三ABCBC边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1， p2，
15、 p3，则( )A. B.12pC. D.3 123【答案】A【解析】假设 ，由三角形 是直角三角形得，2,CaABbCcABC，即 ，即 ，故区域的面积为222()()2abc，区域的面积为 ，区域的面积为ab )a，又由于总区域固定，所以 ，故选 A.22()cab12p11.设抛物线 : 与椭圆 : 交于 两点，在椭圆 位于抛物线C24xy E29xyAB、 E上方的部分取一点 ，点 为椭圆 的右顶点，若 ，则 的PQQPBurur取值范围是( )A. B. C. D.1,2(1,3(1,4(1,5【答案】B【解析】易得 ，又因为 ，所以(,)2,AB32(,0)Q,设 ， ，所3(2,
16、1)(1)Q(,)13)Pxy32(,)QPxy以 ，故选 B.,y1012.已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若不等式2()ln()bfxeaxe恒成立，则 的最小值为( )0fbA. B. C. D.21e2e1e2e【答案】B【解析】因为函数 ，所以 ，其中 ，2()ln()bfxax-21()()fxa-0x当 时， ， 在 上是增函数， 不可能恒成立，2ae()0f()f)， ()0f当 时，由 ，得 ，x21ae所以 时， ， 单调递增；21(,)xae()f()fx时， ， 单调递减，0所以当 时， 取最大值，2xe()fx又因为不等式 恒成立，所以 的最大值为 0，()0f(
17、)fx所以 ，即 ，即2211ln)f baeae 21ln()0aeb，l(b所以 ，令 ，则221)()2ea 221l()()()xeFx，22221ln()()ln()()xxeFex令 ，则 ，由 得22)l()Hxe2()l)1H()0Hx，21e当 时， ， 是增函数，(,)x()0x()x时， ， 是减函数，2eH所以当 时， 取最小值 ，1x()x221()ee11因为 时， ， 时， ， ，2xe()0Hx23e()0Hx2(3)0e所以当 时， ， 是减函数；(,3F当 时， ， 是增函数2)xe()x()所以 时， 取最小值， ，213e所以 的最小值为 ，即有 的最小
18、值为 .故选 B.12ba21eba2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.记 为数列 的前 项和，若 ，则 _.nSn 1nS6S【答案】 63【解析】由题意，当 时， ，解得 .112a1a当 时， ，整理得，2n 1()()2nnnnnaS，1()故 是以 为首项， 为公比的等比数列，因此 .na2 66()2)31S14.已知变量 满足约束条件 ，若目标函数 的最小值为 ，xy, 102|()xyazxy4则实数 的值为_.a【答案】 12【解析】不等式组 表示的平面区域如图所示，102|()xya当 0a1 时，可行域为梯形 ABCD；当 a1 时，可行域
19、为CDE；当 0a1 时，直线 经过点 时，z 取得zxy3(1,)2aA最小值 ，3412所以 ，解得 ；312a412a当 a1 时，直线 经过点 时，z 取得最小值1，此时不满足题意；zxy(0)E，综上，实数 a 的值为 .15.已知向量 ， ，若对任意单位向量 ，均有 ，则,b|1,|2e|6abe的最大值是_.【答案】 12【解析】 ，2 1|(ab)|b|6|ab|6|a|ba6b2ee即最大值为 1216.用 组成数字不重复的六位数，满足 不在左右两端， 三个偶数中有且3456， ， ， ， ， 124， ，只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为_.（用数字填写答案）【答案】
20、 28【解析】从 2,4,6 三个偶数中任意选出 2 个看作一个“整体”,方法有 种,先排 3236A个奇数,有 种,形成了 4 个空,将“整体”和另一个偶数中插在 3 个奇数形成的 4 个36A空中,方法有 种,根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有241种.若 1 排在两端,1 的排法有 种;形成了 3 个空,将“整体”和63124A另一个偶数中插在 3 个奇数形成的 3 个空中,方法有 种,根据分步计数原理求得此36时满足条件的六位数共有 种,故满足 1 不在左右两端,2,4,6 三个偶数中有且64只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为 种.428三、解答题：共 70 分.解答应
21、写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分 10 分）在平面四边形 中， ， ， ， .ABCD9045A2B5D（1）求 ；cos（ 2） 若 ， 求 .2【解析】 （1）在 中，由正弦定理得 . siniBD由题设知， ，所以 .5sin4iA25A133 分由题设知， ，所以 .90ADB23cos15ADB5 分（2）由题设及（1）知，.7 分2cossin5BDCA在 中，由余弦定理得：，故22cosBDC22585.10 分5BC18.（本题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，已知 ， .nanS13a*13()nSN（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前
22、n 项和为 ，其中 .1nnbbnT*【解析】 （1） ，当 时， ，3S213nS两式相减，得：（ ）2 分1na2又 ，代入 得 ，所以 ，313nS29a213a3 分所以数列 是 为首选， 为公比的等比数列，na14 分所以 ， 13n()N6 分（2） ， 1nnba13n2n:8 分23()n nT1423411( )33n nT1n10 分解得，12 分3624nnT:19.（本题满分 12 分）如图，在三棱锥 中， ， .点PABCABC底 面 90分别为棱 的中点， 是线段 的中点，DEN,MD， .4A2（）求证： ；MDE平 面（）求二面角 的正弦值；C（）已知点 在棱
23、上，且直线 与直线 所成角的余弦值为 ，HPANHBE721求线段 的长.【解析】如图，以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方,ACPxyz向建立空间直角坐标系，则由题意得，(0,)(2,0)(,4)(0,2)ABCD，1EPMN（） ， .设 ，为平面 BDE 的法向量，(0,2)D(2,0)(,)xyzn则 ，即 ，Bnyxz不妨设 ，可得 .又 ，可得 ，1z(1,0)n(1,2)MN0MNn因为 ，所以 . MNDE平 面 BDE平 面4 分（）易知 是平面 的一个法向量，设 是平面 的法向1(,0)nC2(,)xyznEN量，15则 ，因为 ，20EMNn(0,21)
24、,(,21)MN所以 ，不妨设 ，可得 ，20yzxy2(4,)n6 分所以 ，于是 ，1212,|cos1n1205sin,所以二面角 的正弦值为 .CEMN058 分（）依题意，设 ，则 ，从而可得(04)AHh(0,)Hh，(1,2),2NBE由已知得， ，整理得2|, |7|co 2153s|NBEh ，21080h解得 ，所以，线段 的长为 .5或 AH8152或12 分20.（本题满分 12 分）某中学数学组推出微信订阅号后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了 60 位更关注栏目 1 或栏目 2（2 选一）的群体身份样本得到如下列联表，
25、已知在样本中关注栏目 1 与关注栏目 2 的人数比为2:1，在关注栏目 1 中的家长与学生人数比为 5:3，在关注栏目 2 中的家长与学生人数比为 1:3栏目 1 栏目 2 合计家长学生合计（1）完成列联表，并根据列联表的数据，若按 99%的可靠性要求，能否认为“更关注栏目1 或栏目 2 与群体身份有关系” ；（2） 如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目 1 的人数记为随机变量 ，求 的分布列和期望；X16（3）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重充实哪个栏目的内容，并简要说明理由. 20()PKx0.10 0.05 0.025 0.01 0.00
26、5 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（ ，其中 .）22()(nadbcnabcd【解析】 （1）因为样本容量 60，关注栏目 1 与关注栏目 2 的人数比为 2:1，在关注栏目 1中的家长与学生人数比为 5:3，所以 ，列联表如图25,15栏目 1 栏目 2 合计家长 25 5 30学生 15 15 30合计 40 20 602 分，2260(51)7.563340K4 分所以能有 99%的把握认为“更关注栏目 1 或栏目 2 与群体身份有关系”. 5分（2） 的取值为 0,1,2，由题意，X，6 分(,)3B:所以 ， ， ，分布列如下10
27、9P4()9Px4(2)9xX0 1 28 分的期望为 ， X43E10 分（3）关注栏目 1 与关注栏目 2 的人数比为 2:1，即关注栏目 1 的人数多，所以应该充实栏目 1 的内容. 12分21.（本题满分 12 分）已知函数 ， .()fxa()lngx（）若函数 有极值 1，求 的值；Fa（）若函数 在 上为减函数，求 的取值范围；siGf(0,)a17（）证明： .21sinl()k【解析】 （） ， ，易得定义域为 ，(lnFxfgxa1()Fxa(0,)2 分所以当 时， ， 在 上单调递减， 无极值， 0a()0),()3 分当 时，由 得 ，从而 在 上单调递减，在 上x1
28、a()x10,a1(,)a单调递增，所以 有极小值为， ，解得 ， ()F()lnF4 分（）由题意 ，sin1si(1)lnGxfgxax5 分因为 在 上为减函数，所以 在 恒成立，()0, co0G(,1)又因为 时， ，所以 在 上恒成立，1xcos(1)0xs(1)ax6 分设 ，则 ，()()s)H2incos()() 0xH所以 在区间 上为减函数， ，x0,11s()x故所求 的范围是： .8a分（）由（） 在 上为减函数，取 有 , ()Gx, 1a()0Gx所以 ，即 ，即 , sin1l0sin()lx1sinlx9 分取 ， ，显然 ，2()xkN0,1则 ，21(1)
29、sinl10 分所以 ，得证. 2222134(1)(1)iln( lnln2()15k 12 分22.（本题满分 12 分）抛物线 : 的焦点 是 : 的1C2(0)xpyF2C21yx顶点,过 点的直线 的斜率分别是 ，且 ,F12,l1,k12,k18直线 与 交于 ，直线 与 交于 .1l2,C,AM2l12,C,BDN（）求抛物线 的方程，并证明： 分别是 的中点，且直线 过定点；,NAM（）求 面积的最小值FN设 面积分别为 ，求证： .,BDF123,S2134S【解析】 （）因为 的顶点 ,所以抛物线 ，12:xyC0:1Cxy1 分直线 ， ，1:lykx2:lk由 ,设 ，
30、则 ，124012,AxyC12124,xkx所以 的中点为 ，同理 的中点为 ，AC21(,)kBD2(,)k2 分易知 、 满足方程 ，21(,)k2(,)1:22xyC故由题意 坐标即为 、 ，MN1k(,)kN从而可知 分别是 的中点，4,ACBD分由上得 ，2121MNkk所以直线 2112121:()yxkxk因为 ，所以 ，即 ，12kk 25yx所以直线 过定点 , 6N05分（） 22 221111|Mkkkk到直线 的距离 , F214dx7 分2211121|442FMNSkkk19，8211244|482kk分 设 ,12,AxyC34,BxyD,124k42k,2 2112116yxyx234341,yyk设 ，则AFB3|sin|sinSFABFCD2 21241223441sin44yyyy，222221 1sinsinkk10 分 222242421|i i4SFMNk12122sn61snkkk所以 ，123分
