1、专题强化训练(三)(建议用时：45 分钟)基础达标练一、选择题1如图 38，在空间四边形 ABCD 中，连接 AC，BD，E，F ，G，H 分别为 AB，BC， CD，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )图 38A 0EB BF EH GH B 0EB FC EH GE C 0EF FG EH GH D 0EF FB CG GH B ， ，易证四边形 EFGH 为平行四EB FC EB BF EF EH GE GH 边形，故 0，故选 BEF GH 2已知 a(1,2,3) ，b(2,1,2)，c(1,1,2)，且向量 pc，则当(pa)( pb) 取得最小值时，向量 p 的坐标为(
2、)A B(12，34，13) (12，23，34)C D(43，43，83) (43，43，73)C 设 p c，则 pac a(1，2,2 3)，pbcb ( 2，1,22)，所以(pa)( pb)2(3 28 5) 2，所以当 时，(pa)(pb) 取得最小值，此时 pc3( 43)2 13 43，故选 C(43，43，83)3已知平面 ， 是两个不重合的平面，其法向量分别为 n1，n 2，给出下列结论：若 n1n 2，则 ；若 n1n 2，则 ；若 n1n20，则 ；若 n1n20，则 .其中正确的是( )A BC DA 由平面的法向量的定义知，正确4已知平面 的一个法向量为 n(1 ，
3、1,0)，则 y 轴与平面 所成的角的大小为( )A B C D6 4 3 2B y 轴的一个方向向量 s(0,1,0)，cos n ，s ，即 y 轴与ns|n|s| 22平面 所成角的正弦值是 ，故其所成的角的大小是 .22 45如图 39，已知 E 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 BC 的中点，设 为二面角 D1AED 的平面角，则 cos ( ) 【导学号：46342186】图 39A B C D23 53 23 223A 以 A 为坐标原点， ， ， 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空AB AD AA1 间直角坐标系( 图略) ，令正方体 ABCDA1B1C1D1的棱
4、长为 2，则 A(0,0,0)，E(2,1,0)，D 1(0,2,2)，A 1(0,0,2)，所以 (2,1,0) ， (0,2,2) ，设平面 AED1AE AD1 的法向量为 m(x ，y ，z) ，则由Error!，得Error! ，令 x1，则y2，z 2 ，故 m(1，2,2)又 (0,0,2)为平面 AED 的一个法向量，AA1 为二面角 D1AED 的平面角，所以 cos ，故选 AAA1 m|AA1 |m| 23二、填空题6已知向量 a(2,4，x )，b(2，y,2)，若|a| 6，且 ab，则xy_.1 或3 由 a(2,4 ，x )且| a|6，得 6 ，x4，由 ab，
5、22 42 x2得 44y2x0，得Error!或Error!，则 xy 1 或3.7在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(1，2,0)，B (2,1， )，则向量6与平面 xOz 的法向量的夹角的正弦值为 _AB 设平面 xOz 的法向量为 n(0，t,0)(t0)， (1,3, )，所以74 AB 6cosn， ，因为n， 0，所以 sinn， AB nAB |n|AB | 3t4|t| AB AB .748已知空间三点 O(0,0,0)，A( 1,1,0)，B(0,1,1)，若直线 OA 上的一点 H满足 BHOA，则点 H 的坐标为 _. 【导学号：46342187】设 H(x，y
6、 ， z)，则 ( x，y，z)， (x，y 1，z 1)，( 12，12，0) OH BH (1,1,0)因为 BH OA，所以 0，即 xy10 ，又点 HOA BH OA 在直线 OA 上，所以 ，即Error! ，联立解得Error!OA OH 所以点 H 的坐标为 .( 12，12，0)三、解答题9如图 310，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点在棱C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论图 310解 在棱 C1D1上存在点 F，当 F 为 C1D1的中点时，B 1F平面 A1BE.证明如下：以 A 为坐标原点，建立如图所示的
7、空间直角坐标系设正方体的棱长为 2，则 B(2,0,0)，E (0,2,1)，A 1(0,0,2)，B 1(2,0,2)， ( 2,2,1)， (2,0,2)BE BA1 设平面 A1BE 的法向量为 m(x ，y，z)，则 m 2x2yz0，且 m 2x2z0，取 x1，则BE BA1 z1， y ，12m 是平面 A1BE 的一个法向量(1，12，1)假设在棱 C1D1上存在一点 F，使 B1F平面 A1BE，设 F(x0,2,2)(0x 02)，则 ( x02,2,0)，B1F 则 m x 02 2 100，解得 x01，B1F 12当 F 为 C1D1的中点时，B 1F平面 A1BE.
8、10如图 311，正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 的中点图 311(1)求证：AB 1平面 A1BD；(2)求二面角 AA1DB 的余弦值的大小. 【导学号：46342188】解 (1)取 BC 的中点 O，连接 AO.ABC 为正三角形，AOBC 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC平面 BCC1B1，AO 平面 BCC1B1.取 B1C1的中点 O1，以 O 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x，y，zOB OO1 OA 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则 B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,1,0)，A 1(0,2， )，A(
9、0,0， )，B 1(1,2,0)3 3 (1,2， )， (2,1,0)， (1,2 ， )AB1 3 BD BA1 3 220 0， 143 0，AB1 BD AB1 BA1 ， ，AB 1平面 A1BDAB1 BD AB1 BA1 (2)设平面 A1AD 的法向量为 n(x ，y，z)， (1,1 ， )， (0,2,0)，AD 3 AA1 Error!，即 Error!，令 z1，得 n( ，0,1)为平面 A1AD 的一个法向量3由(1)知 AB1平面 A1BD， 为平面 A1BD 的一个法向量AB1 cosn， ，AB1 nAB1 |n|AB1 | 3 3222 64二面角 AA1
10、DB 的余弦值为 .64能力提升练1在空间四边形 ABCD 中，若向量 ( 3,5,2)， (7，1，4)，AB CD 点 E， F 分别为线段 BC，AD 的中点，则 的坐标为( )EF A(2,3,3) B(2，3，3)C(5，2,1) D(5,2，1)B 取 AC 中点 M，连接 ME，MF (图略)，则 ， ， 所以ME 12AB ( 32，52，1) MF 12CD ( 72， 12， 2) (2，3，3)，故选 BEF MF ME 2如图 312，正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且 SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是( )图
11、 312A30 B45C60 D75A 如图，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 Oxyz.设 ODSOOAOB OC a，则 A(a,0,0)，B(0 ，a,0) ，C(a,0,0) ，P ，则 (2a,0,0)， (0， a2，a2) CA AP ， (a，a, 0)，设平面 PAC 的一个法向量为 n，可取 n(0,1,1)，( a， a2，a2) CB 则 cos ，n ，所以 ，n60，所以直线 BCCB CB n|CB |n| a2a2 2 12 CB 与平面 PAC 的夹角为 906030.3已知向量 e1，e 2，e 3 是三个不共面的非零向量，且a2e 1e 2e 3，be
12、 14e 22e 3，c11e 15e 2 e3，若向量 a，b，c 共面，则 _. 【导学号：46342189】1 因为 a，b，c 共面，所以存在实数 m，n，使得 cm anb，则11e15e 2e 3(2 mn)e 1(m4n)e 2(m 2n)e 3，则Error! ，解得Error!.4已知平面 经过点 A(0,0,2)，且平面 的一个法向量为n(1， 1，1)，则 x 轴与平面 的交点坐标是 _(2,0,0) 设交点为 M(x,0,0), 则 (x,0，2)，平面 的一个法向量AM n(1， 1，1)，则 n 0，解得 x2，故 x 轴与平面 的交点坐标是AM (2,0,0)5如
13、图 313，在三棱锥 ABCD 中，侧面 ABD，ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且 AD ，BDCD1，另一个侧面 ABC 是等边三角3形图 313(1)求证：ADBC (2)在线段 AC 上是否存在一点 E，使直线 ED 与平面 BCD 的夹角为 30？若存在，确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由解 (1)作 AH平面 BCD 于点 H，连接 BH，CH，DH，则四边形 BHCD是正方形，且 AH1.以 D 为坐标原点，DB 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系，如图则 D(0,0,0)， B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)， ( 1,1,0) ， (1,1,1)，BC DA 0 ，则 ADBC BC DA (2)存在满足条件的点 E，点 E 到点 C 的距离为 1.设 E(x，y，z) ，则 xz0，y 1.又平面 BCD 的一个法向量为 n(0,0,1)， (x, 1，x)，若 ED 与平面DE BCD 的夹角为 30，则 与 n的夹角为 60，DE cos ， n cos 60 ，DE DE n|DE |n| x1 2x2 12则 2x ，解得 x 或 x (舍去)，即 E .1 2x222 22 ( 22，1，22)又| |1，故线段 AC 上存在满足条件的点 E，点 E 到点 C 的距离为 1.CE
