1、 第 04 节 应用向量方法解决简单的平面几何问题班级_ 姓名_ _ 学号_ 得分_一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 【2018 届上海市徐汇区二模】在四边形 中， ，且 0，则四边形 是-（ = ）A 菱形 B 矩形 C 直角梯形 D 等腰梯形【答案】A2在平面直角坐标系 中，已知四边形 是平行四边形， ， ，则 （ =(1,2)=(2,1)=）A B C D 2 3 4 5【答案】D【解析】分析：由向量加法的平行四边形法则可求 的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求=+详解：由向量加 法的平行四边形法则可得
2、，=（3，-1） =+ =32+（-1）1=5故选：D.3 高频考点解密已知 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，若 ，则 AOC 的面积为 3+4+5=0( )A B C D 25 12 310 65【答案】A4 高频考点解密广西南宁市 2018 届高三（上）9 月摸底数学试卷）已知 O 是 内部一点， 且 BAC=60，则 的 面积为+=0 =2 A B 33 12C D 32 23【答案】A【解析】 ， ， 为三角形的重心， 的面积为 面积的 ，+=0 += 13 ， ， ， ， 的面积为=2 | 2 =60 |=4 ， 的面积为 ，故选 A 12|sin=3 335.如图，正方形 ABC
3、D中， E为 的中点，若 EBC，则 的值为（ ）A 12 B 12 C1 D-1【答案】A【解析】 12AEDC，又 AAB,所以 11122EACABCAB,又 B,那么 12.故本题选 A6.【2018 届山东省聊城市一模】在 C中， 边上的中线 D的长为 2，点 P是 所在平面上的任意一点，则 PA的最小值为（ ）A 1 B 2 C -2 D -1【答案】C7.【2018 届重庆市第一中学高三上 学期期中】在 中，角 所对的边分别为 ， 为 的 外心， , , 为 边上的中点， ， ， ，则 （ ） =4 =6 +4=0 =A B C D 32 12 14 28【答案】C【解析】8.
4、【2018 届浙江省名校协作体高三上学期考试】设数列 nx的各项都为正数且 1x. ABC内的点*nPN均满足 nPAB与 nC的面积比为 2:1，若 120nnPABP，则 4x的值为( )A 15 B 17 C 29 D 31【答案】A【解析】9.【2018 届四川省南充高级中学考前模拟】已知平面向量 ， ，当 时，|=|=8 01的最小值是（ ）|+|34(1)|A B C D 6 8 10 12【答案】C【解析】分析：由题意，在 OB 上取 ，在 AB 上取动点 C，使 ，则 =34 =，则即可所求答案.|+|34(1)|=|+|=|+|详解：如图，在 中，已知 ， ， =90 =81
5、0.【2018 届浙江省部分市学校（新昌中学、台州中学等）高三上 学期 9+1 联考】如图，点 C在以 AB为直径的圆上，其中 2AB，过 向点 C处的切线作垂线，垂足为 P，则 ACB的最大值是（ ）A 2 B 1 C 0 D 1【答案】B【解析】连结 ，则 =9AB P 2ACBCPACP依题意可证 Rt tB，则 B，即 AB 22 4ACBAC，即 2A，当且仅当 ACB时取等号 1P 2 ACPB的最大值为 1故选 B二、填空题：本大题共 7 小题，共 36 分11.【福建省福州市 2018 届 3 月检测】如图，在平面 四边形 中， ， ，若=90=，則 _=+(， ) =【答案】
6、 1【解析】12.【2018 届吉林省长春市一五 0 中学高三上期中】向量 AB， C， MN在正方形网格中的位置如图所示，若 MNABC（ ， R） ，则 _.【答案】 2【解析】如图，作向量 i， j，则： 13.【2018 届北京东城北京二中高三上期中】已知正方形 边长为 ， 为 边上一点，则 的最小值 2 为_【答案】 3【解析】分析：由于 为 边上一点，所以设 ，再把数 量积 拆分为向量 做基 =,(01) ,底表示，进一步表示为 t 的函数关系，由函数求得最小值。详解：如下图，不妨设 ，所以 =,(01) = = ， ，所以当(+)(+)=+4424+4 (01)时，上式取最小值
7、3.填 3.=1214.【2018 届安徽省六安 市第一中学第二次月考】如图，在平面斜坐标系 中， ，斜坐标定义：=135如果 （其中 ， 分 别是 轴， 轴的单位向量） ，则 叫做 的斜坐标.=1+2 1 2 (,) （1）已知 得斜坐标为 ，则 _ (1,2) |=（2）在此坐标系内，已知 ，动点 满足 ，则 的轨迹方程是_(0,2),(2,0) |=| 【答案】 1 =15.【2018 届山西省晋中市 1 月调研】已知 ， 是非零不共线的向量，设 ，定义= 1+1+ +1点集 ，当 ， 时，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数=| =| 1 2 3 |12|的最小值为_【答案】3416
8、.【江苏省无锡市普通高中 2018 年春学期期中】如图，正方形 的边长为 ，三角形 是等腰直角三角 2 形（ 为直角顶点） ， ， 分别为线段 ， 上的动点（含端点） ，则 的范围为_ 【答案】 3,4【解析】分析：建立平面直角坐标系，利用点的坐标和坐标的取值范围求得 的范围。详解：以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系因为 的边长为 ， 三角 形 是等腰直角三角形 2 所以 ，设(1,3)(,2),(,0)因为 ，所以 02,02 04,0217.直线 1x与抛物线 C: 24yx交于 ,MN两点，点 P是抛物线 C准线上的一点， 记
9、(,)OPaMbNaR，其中 O为抛物线 C的顶点.（1）当 与 平行时， b_；（2）给出下列命题： ,abR， PN不是等边三角形； 0且 ，使得 O与 垂直；无论点 在准线上如何运动， 1ab总成立.其中，所有正确命题的序号是_.【答案】 1;【解析】由抛物线方程知 2p，焦点 1,0，准线为 1x。（1）当 OP与 N平行时，因为有公共点 O，所以 ,PN三点共线。因为点 P在准线 1x上，点 N在直线1x上，所以 ,PN关于点 O对称，所以 P与 ON是相反向量，所以 OPN,此时 0,1ab.（2）将代入 24yx得 2，所以 4M，假设 能是等边三角形，则此时点 只能是准线与 x
10、轴交点 ,0.但此时 2。所以假设不成立，即 M不可能是等边三角形，故正确；不妨设 1,N，设 01,Py则 01,21,ONPy， 1,2O，当 OP与O垂直时， 02y，解得 02，即 ,.因为1,+PaMbabab，所以 1ab且 12ab，解得53,8。故正确；因为 1,2,+OPMN ，且01Oy，所以 .故正确.综上可得正确的序号是.三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. 如图，已知正三角形 的边长为 1，设 . =,=（1）若 是 的中点，用 ， 表示向量 ； （2）求 与 的夹角.2+ 3+2【答案】 （1） ；（2）=12 1
11、20所以 与 的夹角为 .2+ 3+2 120点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基 底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决19在三角形 ，已知 ， |+|=3| |=|=3（）求 （）已知 与 成钝角， 求实数 的取值范围+(1) 【答案】() ;() .92 (,1)(1,1)（） ()(+)=22+(1)=99+(1)92=92920 ， 又 ，1 1 的取值范围为 (,1)(1,1)20 【2018 年相阳教 育“黉门云”高考模拟】在 中
12、，已知=45,=10,=255(l) 求 ;(2) 设 是 边中点，求 . 【答案】 （1） ；（2）32 13点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径） ，一般地，知道其中的三个量（除三个角外） ，可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）.21.如图，在 xoy平面上，点 )0,1(A，点 B在单位圆上， AOB（ 0）（1）若点 )54,3(B，求 42tan的值；（2）若 OCA，四边形 的面积用 S表示，求 C的取值范围.【答案】 （1）-3， （2） 120OCAS.22平面直角坐标系 xOy中，已知向量 6,1AB， ,Cxy， 2,3D，且 ADBC（1）若已知 1,M， 1,2N， 0y，则求出 MNB的范围；（2）若 ACBD，求四边形 C的面积【答案】(1) 6,8 (2)16 【解析】试题分析： （1）由 AB可得 20xy，故 12MNBCxyy 248y， 0,2y，转化为二次函数的最值求解；（2）由于 6,1ABCx， ,3BDCx，根据条件求出 xy， 的值，进而确定出 D， 的坐标，然后根据12ASB四 边 形求解。试题解析：（1）由题意得 CD4,2xy， ,BCxy，因为 ADB，所以 40xy，即 20xy
