1、考点规范练 27 数列的概念与简单表示法考点规范练第 35 页 基础巩固组1.数列 1,-3,5,-7,9,的一个通项公式为( )A.an=2n-1 B.an=(-1)n(2n-1)C.an=(-1)n+1(2n-1) D.an=(-1)n(2n+1)答案 C解析 由数列中的项为 1,-3,5,-7,9,可以看出: 符号正负相间,各项的绝对值为 1,3,5,7,9恰好构成一等差数列,设其为b n,则其通项公式为 bn=2n-1.因此数列 1,-3,5,-7,9,的一个通项公式为 an=(-1)n+1(2n-1).故选 C.2.若数列a n的前 n 项和 Sn=n2+n,则 a4 的值为( )A
2、.4 B.6 C.8 D.10答案 C解析 由题意得 a4=S4-S3=20-12=8.3.设 Sn 为数列a n的前 n 项和,且 Sn= (an-1)(nN *),则 an= ( )32A.3(3n-2n) B.3n+2C.3n D.32n-1答案 C解析 当 n2 时,a n=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1),整理,得 an=3an-1,即 =3,由 a1= (a1-1),得 a1=3, 数列32 32 -1 32an是以 3 为首项,3 为公比的等比数列, an=3n.故选 C.4.(2018 浙江浦江模拟)在数列a n中,已知 a1=2,a2=7,an+2 等于 a
3、nan+1(nN *)的个位数,则 a2 019=( )A.8 B.6 C.4 D.2答案 C解析 由题意可得 a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8;观察可知数列a n中的项从第 3 项开始呈周期性出现,周期为 6.故从第 3 项开始算起,2 019-2=2 017,2 017=336 6+1,a2 019=a3=4,应选 C.5.若数列a n满足 an+1+an=2n-3,a1=2,则 a8-a4=( )A.7 B.6 C.5 D.4答案 D解析 依题意得(a n+2+an+1)-(an+1+an)=2(n+1)-3-(2n-3),即 an+2-a
4、n=2,所以 a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.6.已知数列a n中,首项 a1=1,an=an-13n-1(n2,nN *),则数列b n的通项公式为 . 答案 an=3(-1)2解析 an= a1=3n-13n-231= ,又 a1 也满足上式, an=-1-1-2 21 3(-1)2 3(-1)2.7.若数列a n满足 a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN *),则数列a n的通项公式 an= . 答案 3n解析 a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1) +3,把 n 替换成 n-1 得 a1+3a2+
5、5a3+(2n-3+13)an-1=(n-2)3n+3,两项相减得 an=3n.8.若数列a n满足 a1=2,an+1= (nN *),则该数列的前 2 018 项的乘积 a1a2a3a2 018= .1+1-答案 -6解析 经计算,得 a1=2,a2=-3,a3=- ,a4= ,a5=2,12 13则数列a n是以 4 为周期的一个周期数列. a1a2a3a4=1, a1a2a2 013a2 014a2 018=2(-3)=-6.能力提升组9.已知数列a n中的任意一项都为正实数,且对任意 m,nN *,有 aman=am+n,如果 a10=32,那么 a1 的值为( )A.-2 B.2
6、C D.-. 2 2答案 C解析 令 m=1,则 =a1,所以数列 an是以 a1 为首项,公比为 a1 的等比数列,从而 an= ,因为 a10=512,+1 1所以 a1= 2.10.(2018 浙江春晖中学模拟)设曲线 y=xn+1(nN *)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令an=lg xn,则 a1+a2+a99=( )A.100 B.2 C.-2 D.-100答案 C解析 因为 y=(n+1)xn,所以曲线 y=xn+1 在点(1,1)处的切线斜率为 n+1,切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得 xn=1- ,所以 an=lg xn=lg1
7、+1=+1 +1.所以 a1+a2+a99=lg =lg =-2.(12 23 99100) 110011.已知数列a n满足:a 1=1,an+1= (nN *).若 bn+1=(n-) ,b1=-,且数列b n是单调递增数+2 (1+1)列,则实数 的取值范围为 ( )A.2 B.3 C.bn,得 2n(n-)2n-1(n-1-),即 0. an+1an. 数列 an是单调递增数列,由 an+1-1= -an=an(an-1),2 1+1-1= 1(-1)= 1-11.m= + +1= 1-1 1+1-1. 11+12 12 017=( 11-1- 12-1)+( 12-1- 13-1)=
8、3-(12 017-1 12 018-1)= 11-1 12 018-1 12 018-1.由 a1= 1,则 an+1-an=(an-1)20,43 a2=1+ ,a3=1+ ,a4=1+ 2,49 5281 6 9166 561,a2 0182, 0an,则实数 k 的取值范围是 . 答案 -2 (-3,+)解析 (1)因为 an=n2-5n+4= ,所以由二次函数性质可知当 n=2 或 n=3 时,a n 有最小值,其最小(-52)294值为 a2=a3=-2.(2)由 an+1an 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2+kn+4 可以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 n
9、N *,所以- ,即 k-3.所以实数 k 的取值范围为(-3,+ ).2a1a2a3a4,a5a6a7an1(nN *).12-9 数列a n中的最大项为 a5=2,最小项为 a4=0.(2)an=1+ =1+ ,1+2(-1) 12-2-2已知对任意的 nN *,都有 an a6 成立,结合函数 f(x)=1+ 的单调性,12-2-2可知 50,(2+1)(2+3)2 (2-1)(2+1)2(-1) =2+12(2+3)(-1)-(2-1)(-1) =(2+1)(2-3)2(-1) 当 n2 时,数列b n是递增数列,则 实数 t 的取值范围是(2-1)(2+1)2(-1) 152. (-,152.
