1、章末综合测评( 二) 圆锥曲线与方程(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线 3x2y 29 的焦距为 ( )A B2 C2 D46 6 3 3D 方程化为标准方程为 1，x23 y29a 23，b 29，c 2a 2b 212，c 2 ，2c 4 .3 32抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2 1 的渐近线的距离是 ( ) y23【导学号：46342125】A B C1 D12 32 3B 抛物线 y24x 的焦点为 (1,0)，到双曲线 x2 1 的渐近线y23xy
2、0 的距离为 ，故选 B3| 31 10|r(3)2 12 323已知椭圆 1(ab0) 的左、右顶点分别为 A，B，左、右焦点分x2a2 y2b2别为 F1，F 2，若 |AF1|，|F 1F2|，| F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为( )A B C D 212 55 14 5A 由题意可得 2|F1F2|AF 1| F1B|，即 4cacac 2a，故 e ca.124双曲线 1(mn0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y24x 的x2m y2n焦点重合，则 mn 的值为( )A B C D316 38 163 83A 抛物线的焦点为(1,0)，由题意知 2.1m即 m ，则 n
3、1 ，从而 mn .14 14 34 3165已知 F1，F 2 为椭圆 1(a b0)的两个焦点，过 F2 作椭圆的弦x2a2 y2b2AB，若AF 1B 的周长为 16，椭圆的离心率 e ，则椭圆的方程是( )32A 1 B 1x24 y23 x216 y23C 1 D 1x216 y212 x216 y24D 由椭圆的定义知|AF 1|BF 1| AB|4a16， a4.又e ， c2 ， b24 2(2 )24，椭圆的方程为 1.ca 32 3 3 x216 y246过抛物线 y28x 的焦点，作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A8 B16 C32 D64B 抛物线中
4、 2p8，p4，则焦点坐标为(2,0)，过焦点且倾斜角为 45的直线方程为 yx 2，由Error!得 x212x40，则 x1x 212(x 1，x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标)从而弦长为 x1x 2 p12416.7已知双曲线 1(a0，b0) 的一条渐近线过点(2 ， )，且双曲线x2a2 y2b2 3的一个焦点在抛物线 y2 4 x 的准线上，则双曲线的方程为( )7A 1 B 1x221 y228 x228 y221C 1 D 1x23 y24 x24 y23D 由双曲线的渐近线 y x 过点(2， )，可得 2. ba 3 3 ba由双曲线的焦点( ，0)在抛物线 y24 x
5、 的准线 x 上，可a2 b2 7 7得 . a2 b2 7由解得 a2，b ，所以双曲线的方程为 1.3x24 y238已知定点 A(2,0)，它与抛物线 y2x 上的动点 P 连线的中点 M 的轨迹方程为( )Ay 22(x 1) By 24(x1)Cy 2x 1 Dy 2 (x1)12D 设 P(x0， y0)，M( x， y)，则Error!所以Error!由于 y x 0，所以 4y22x2，20即 y2 (x1)129已知 是 ABC 的一个内角，且 sin cos ，则方程 x2sin y 2cos 341 表示( ) 【导学号：46342126】A焦点在 x 轴上的双曲线B焦点
6、在 y 轴上的双曲线C焦点在 x 轴上的椭圆D焦点在 y 轴上的椭圆D sin cos ，sin cos . 为ABC 的一个内角，34 732sin 0，cos cos 0， 0，方程 x2sin 1 cos 1sin y 2cos 1 是焦点在 y 轴上的椭圆10设圆锥曲线 的两个焦点分别为 F1，F 2.若曲线 上存在点 P 满足|PF1|F 1F2|PF 2|432，则曲线 的离心率等于 ( )A 或 B 或 212 32 23C 或 2 D 或12 23 32A 设圆锥曲线的离心率为 e，由|PF 1| F1F2|PF 2|432，知若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得 e ；若圆锥
7、曲线|F1F2|PF1| |PF2| 34 2 12为双曲线，则由双曲线的定义，得 e .综上，所求的离|F1F2|PF1| |PF2| 34 2 32心率为 或 .故选 A12 3211已知点 M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆 C 与直线 MN 相切于点 B，过M，N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则点 P 的轨迹方程为( )Ax 2 1(x1)y28Bx 2 1(x0)y28Dx 2 1(x1)y210A 设圆与直线 PM，PN 分别相切于 E，F，则|PE|PF|，|ME |MB |，| NB|NF|. |PM| PN| PE| ME|(|PF| NF|)|MB|NB
8、| 422， 点 P 的轨迹是以 M(3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且 a1，c 3， b 28.故双曲线的方程是 x2 1(x1)y2812已知椭圆 C： 1(ab0) 的离心率为 ，双曲线 x2y 21 的渐x2a2 y2b2 32近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆C 的方程为 ( )A 1 B 1x28 y22 x212 y26C 1 D 1x216 y24 x220 y25D 因为椭圆的离心率为 ，所以 e ，c 2 a2a 2b 2，所以 b232 ca 32 34a2，即 a24b 2.双曲线的渐近线方程为 yx，代入椭圆方程
9、得 1，即14 x2a2 x2b2 1，所以 x2 b2，x b.所以 y b，则在第一象限，双曲x24b2 x2b2 5x24b2 45 25 25线的渐近线与椭圆 C 的交点坐标为 ，所以四边形的面积为 4 b(25b，25b) 25b b216，所以 b25，所以椭圆 C 的方程为 1，选 D25 165 x220 y25二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13设 F1，F 2 为椭圆 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1x29 y25的中点在 y 轴上，则 的值为_|PF2|PF1|因为线段 PF1的中点在 y 轴上，所以
10、PF2与 x 轴垂直，且点 P 的坐标513为 ，所以|PF 2| ，则|PF 1|2a|PF 2| ， .(2，53) 53 133 |PF2|PF1| 51314如图 1 所示，已知抛物线 C：y 28x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线 C 上，且在 x 轴的上方，过点 A 作 ABl 于B，|AK| |AF|，则AFK 的面积为_. 2【导学号：46342127】图 18 由题意知抛物线的焦点为 F(2,0)，准线 l 为 x2，K(2,0)，设A(x0，y 0)(y0 0)，过点 A 作 ABl 于 B，B(2，y 0)，|AF |AB| x 0(2)
11、x 02，|BK|2|AK| 2|AB| 2，x 02，y 04，即 A(2,4)， AFK 的面积为 |KF|y0| 448.12 1215如图 2 等边三角形 OAB 的边长为 8 ，且其三个顶点均在抛物线3E：x 2 2py(p0)上，则抛物线 E 的方程为_ 图 2x24y 依题意知， |OB|8 ，BOy30.设 B(x，y)，则 x|OB|sin 3034 ， y|OB|cos 30 12.因为点 B(4 ，12)在抛物线 E：x 22py (p0)上，所3 3以(4 )22p 12，解得 p2.故抛物线 E 的方程为 x24y.316如图 3，F 1 和 F2 分别是双曲线 1(
12、a0，b0) 的两个焦点，Ax2a2 y2b2和 B 是以 O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 F 2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_图 31 如图，连接 AF1，由F 2AB 是等边三角形，知AF 2F130.易知3AF 1F2为直角三角形，则| AF1| |F1F2|c，|AF 2| c，2a( 1)c，从12 3 3而双曲线的离心率 e 1 .ca 3三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分) 已知直线 yx4 被抛物线 y22mx(m 0)截得的弦长为 6 ，求抛物线的标准方程2解
13、设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)由Error!得 x22(4m) x160，所以 x1x 22(4m) ，x 1x216，所以弦长为 1 k2x1 x22 244 m2 4162 .2m2 8m由 2 6 .2m2 8m 2解得 m1 或 m9.经检验，m1 或 m9 均符合题意所以所求抛物线的标准方程为 y22x 或 y218x.18(本小题满分 12 分) 已知 F1，F 2 分别为椭圆 1(0b10)的左、x2100 y2b2右焦点，P 是椭圆上一点(1)求| PF1|PF2|的最大值；(2)若F 1PF260 ，且F 1PF2 的面积为 ，求 b 的值. 6
14、433【导学号：46342128】解 (1)|PF 1|PF2| 100(当且仅当|PF 1|PF 2|时取等号)，(|PF1| |PF2|2 )2 |PF 1|PF2|的最大值为 100.(2)SF 1PF2 |PF1|PF2|sin 60 ，12 6433|PF 1|PF2| ， 2563由题意知：Error!3|PF 1|PF2|4004c 2. 由得 c 6，b8.19(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在 x 轴上，半径为 4 的圆 C 位于 y 轴右侧，且与 y 轴相切(1)求圆 C 的方程；(2)若椭圆 1 的离心率为 ，且左、右焦点为 F1，F 2.
15、试探究在圆 Cx225 y2b2 45上是否存在点 P，使得PF 1F2 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由解 (1)依题意，设圆的方程为 (xa) 2y 216( a0)圆与 y 轴相切， a4 ，圆的方程为(x 4) 2y 216.(2)椭圆 1 的离心率为 ，x225 y2b2 45e ，解得 b29.ca 25 b25 45c 4，a2 b2F 1(4,0)，F 2(4,0)，F 2(4,0)恰为圆心 C，()过 F2作 x 轴的垂线，交圆于点 P1，P 2(图略)，则P 1F2F1 P2F2F190，符合题意；()过 F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点 P3
16、，P 4，连接 CP3，CP 4(图略)，则F 1P3F2F 1P4F90，符合题意综上，圆 C 上存在 4 个点 P，使得PF 1F2为直角三角形20(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C： 1(ab0) 的离心率为 ，点x2a2 y2b2 22(2， )在 C 上2(1)求 C 的方程；(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值解 (1)由题意，得 ，又点(2 ， )在 C 上，所以 1，a2 b2a 22 2 4a2 2b2两方程联立，可解得 a28，b 24.所以 C 的
17、方程为 1.x28 y24(2)证明：设直线 l：y kxb(k0，b0) ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(xM， yM)将 ykxb 代入 1，得(2k 21)x 24kbx2b 280.x28 y24故 xM ，y Mkx Mb .x1 x22 2kb2k2 1 b2k2 1所以直线 OM 的斜率 kOM ，所以 kOMk .yMxM 12k 12故直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值21(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C：y 22px 过点 P(1,1)过点 作(0，12)直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与
18、直线OP，ON 交于点 A，B ，其中 O 为原点(1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段 BM 的中点解 (1)由抛物线 C：y 22px 过点 P(1,1)，得 p .12所以抛物线 C 的方程为 y2x.抛物线 C 的焦点坐标为 ，准线方程为 x .(14，0) 14(2)证明：由题意，设直线 l 的方程为 ykx (k0)，l 与抛物线 C 的交点12为 M(x1，y 1)，N( x2，y 2)由Error!得 4k2x2(4k4)x 10，则 x1x 2 ，x 1x2 .1 kk2 14k2因为点 P 的坐标为(1,1) ，所以直线 OP 的方程为
19、 yx，点 A 的坐标为(x1， x1)直线 ON 的方程为 y x，点 B 的坐标为 .y2x2 (x1，y2x1x2)因为 y1 2x 1y2x1x2 y1x2 y2x1 2x1x2x2(kx1 12)x2 (kx2 12)x1 2x1x2x22k 2x1x2 12x2 x1x2 0，2k 214k2 1 k2k2x2所以 y1 2x 1，y2x1x2故 A 为线段 BM 的中点22(本小题满分 12 分) 从椭圆 1(a b0)上一点 M 向 x 轴作垂线，x2a2 y2b2恰好通过椭圆的左焦点 F1，且它的长轴的一个端点 A，短轴的一个端点 B 的连线 AB 平行于 OM.(1)求椭圆
20、的离心率；(2)设 Q 是椭圆上任一点，F 2 是椭圆的右焦点，求F 1QF2 的取值范围. 【导学号：46342129】解 (1)依题意知 F1点坐标为(c,0)，设 M 点坐标为( c ，y)若 A 点坐标为( a,0)，则 B 点坐标为(0，b)，则直线 AB 的斜率 k .(A 点坐标为(a,0)，B 点坐标为(0，b)时，同样有 bak ) ba则有 ，y . y c ba bca又点 M 在椭圆 1 上，x2a2 y2b2 1. c2a2 y2b2由得 ， ，c2a2 12 ca 22即椭圆的离心率为 .22(2)设| QF1|m，|QF 2|n，F 1QF2，则 mn2a，|F 1F2|2C 在F 1QF2中， cos m2 n2 4c22mn 1 10.m n2 2mn 2a22mn a2mn当且仅当 mn 时，等号成立，0cos 1， .0，2即F 1QF2的取值范围是 .0，2
