1、课时训练 10 万有引力定律的应用基础夯实1.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实,下列说法正确的是( )A.天王星、海王星和冥王星, 都是运用万有引力定律、经过大量计算后发现的B.在 18 世纪已经发现的 7 个行星中 ,人们发现第七个行星天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差,于是有人推测,在天王星轨道外还有一个行星,是它的存在引起了上述偏差C.第八个行星,是牛顿运用自己发现的万有引力定律 ,经大量计算而发现的D.冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维列合作研究后共同发现的答案 B解析 天王星是在 1781 年发现的,而卡文迪许测出引力常数是在 1789
2、年,在此之前人们还不能用万有引力定律做有实际意义的计算,选项 A 错误,选项 B 正确;太阳的第八颗行星即海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维列各自独立地利用万有引力定律计算出轨道和位置,由德国的伽勒首先发现的,选项 C、D 错误.2.关于宇宙速度,下列说法正确的是( )A.第一宇宙速度是能使人造地球卫星飞行的最小发射速度B.第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度C.第二宇宙速度是卫星在椭圆轨道上运行时的最大速度D.第三宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度答案 A解析 第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度,也是地球卫星绕地球飞行的最大速度,选项 A 正确,选项
3、B 错误;第二宇宙速度是在地面上发射物体,使之成为绕太阳运动或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度,选项 C 错误; 第三宇宙速度是在地面上发射物体,使之飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度,选项 D 错误.3.如图,拉格朗日点 L1 位于地球和月球连线上,处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下,可与月球一起以相同的周期绕地球运动.据此,科学家设想在拉格朗日点 L1 建立空间站,使其与月球同周期绕地球运动.以 a1、a 2 分别表示该空间站和月球向心加速度的大小,a 3 表示地球同步卫星向心加速度的大小.下列判断正确的是( )A.a2a3a1 B.a2a1a3C.a3a1a
4、2 D.a3a2a1答案 D解析 空间站与月球以相同的周期绕地球运动,由 a=r( )2 知 a1a2,故 D 项正确.地24.如图,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为 M 和 2M 的行星做匀速圆周运动.下列说法正确的是 ( )A.甲的向心加速度比乙的小B.甲的运行周期比乙的小C.甲的角速度比乙的大D.甲的线速度比乙的大答案 A解析 由 =ma 知 a= ,因 M 甲行 =M,M 乙行 =2M,r 甲 =r 乙 ,故 a 甲 T 乙 ,选项 B 错误 ;由 =m2r 知 2= ,据已2 422 423 2 3知条件得 甲 乙 ,选项 C 错误; 由 知 v2= ,据已知条件得 v 甲
5、 v 乙 ,选项 D 错误.2=2 5.为研究太阳系内行星的运动,需要知道太阳的质量,已知地球半径为 R,地球的质量为 m,太阳与地球中心间距为 r,地球表面的重力加速度为 g,地球绕太阳公转的周期为 T.则太阳的质量为( )A. B.42322 22423C. D.42232 42322答案 D解析 由 =mg 可得 Gm=gR2;假设地球绕太阳做匀速圆周运动,则由万有引力和向心力公2式可得 G =m r,可得 M= ,选项 A、B、C 错误,选项 D 正确.2 (2)2 4232=42322能力提升6.设地面附近重力加速度为 g0,地球半径为 R0,人造地球卫星圆形轨道半径为 R,那么下列
6、说法错误的是( )A.卫星在轨道上向心加速度大小为0022B.卫星运行的速度大小为002C.卫星运行的角速度大小为3020D.卫星运行的周期为 23020答案 C解析 G =ma 向 ,a 向 =G ,又 g0= ,故 a 向 = ,选项 A 正确.又 a 向 = ,v= ,2 2 02 0022 2 向 =002选项 B 正确.= ,选项 C 错误.T= =2 ,选项 D 正确.向=0023 2 30027.(多选)(2018 全国 )2017 年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约 100 s 时,它们相距约 400 km,绕二者连线
7、上的某点每秒转动 12 圈.将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据和引力常数并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度答案 BC解析 设两中子星质量为 m1、 m2,环绕半径为 r1、r 2,两星间距为 r.所以有G =m12r1122G =m22r2122可解得 m1= ;m2=222 212所以 m1+m2= ,故 B 项正确;23设两星速率分别为 v1、v 2.所以有v1+v2=(r1+r2)=r由题意可得 、r,故 C 项正确 .8.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为 v.假设宇航员在该
8、行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为 FN.已知引力常数为 G,则这颗行星的质量为 ( )A.2B.4C.2D.4答案 B解析 在忽略行星自转的情况下,万有引力等于重力,故有 FN=mg= ,而 =m ,解得 M=2 2 2,选项 B 正确.49.(多选) 美国宇航局宣布发现了太阳系外第一颗类似地球的、可能适合居住的行星“开普勒-22b”, 它每 290 天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周 .若引力常数已知,下列选项中的信息能求出该行星的轨道半径的是( )A.该行星表面的重力加速度B.该行星的密度C.该行星的线速度D.被该行星环绕的恒星的质量答案
9、 CD解析 行星做圆周运动的向心力由万有引力提供,有 =mr ,v=r ,其中 M 为被该行星2 (2)2 (2)环绕的恒星的质量,v 为该行星的线速度,T 为该行星的运动周期,选项 C、D 正确.10.经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”.“ 双星系统 ”由两颗相距较近的恒星组成,每颗恒星的线度远小于两个星体之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体.如图所示,两颗恒星组成的双星,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动.现测得这两颗恒星之间的距离为 L,质量之比 m1 m2=3 2,则可知( )A.m1、m 2 做圆周运动的线速度之比为 3 2B.m1、
10、m 2 做圆周运动的角速度之比为 3 2C.m1 做圆周运动的半径为 L25D.m2 做圆周运动的半径为 L25答案 C解析 设两星的运动半径分别为 r1 和 r2,由于两恒星的周期相同,根据 = 知,它们的角速度相2同,选项 B 错误;两恒星之间的万有引力等于它们的向心力 ,即 m1r12=m2r22,而 r1+r2=L,所以 r1= L,r2= L,选项 C 正确,选项 D 错误; 又因 v=r,所以 v1 v2=r1 r2=2 3,选项 A 错误.25 3511.(多选) 如图所示,飞行器 P 绕某星球做匀速圆周运动.星球相对飞行器的张角为 .下列说法正确的是 ( )A.轨道半径越大,周
11、期越长B.轨道半径越大,速度越大C.若测得周期和张角,可得到星球的平均密度D.若测得周期和轨道半径,可得到星球的平均密度答案 AC解析 由 G =m R 得 T= 2,可知 A 正确.由 G =m 得 v= ,可知 B 错误.设轨道2 422 3 2 2 半径为 R,星球半径为 R0,由 M= 和 V= 得 = 3,可判定 C 正确.当4232 4303 32(0)3=32(12)测得 T 和 R 而不能测得 R0 时,不能得到星球的平均密度,故 D 错误.12.已知地球半径 R=6 400 km,地球表面的重力加速度 g 取 9.8 m/s2,若发射一颗地球同步卫星,其高度和速度应为多大?答
12、案 3.59107 m 3.0810 3 m/s解析 设地球同步卫星的质量为 m,离地面的高度为 h,周期为 T(等于地球的自转周期 24h),地球的质量为 M.同步卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,有G =m(R+h) (+)2 422在地球表面上质量为 m的物体所受的重力与地球对它的引力相等,即 G =mg 2由 式得 h= -R32242= -6400103m=3.59107m39.8(6400103)2(243600)243.142又 =m (+)2 2+由 式,得v= m/s=3.08103m/s.2+= 9.8(6400103)26400103+3.5910713.如图所示
13、,A 是地球的同步卫星,另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内,离地球表面的高度为 h.已知地球半径为 R,地球自转角速度为 0,地球表面的重力加速度为 g,O 为地球中心.求:(1)卫星 B 的运行周期.(2)如果卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同,某时刻 A、 B 两卫星相距最近(O、B、A 在同一直线上),则至少经过多长时间 ,它们再一次相距最近?答案 (1)2 (2)(+)32 22(+)3-0解析 (1)由万有引力定律和牛顿第二定律得G =m (R+h) (+)2 422G =mg 2联立 解得 TB=2 . (+)32(2)由题意得( B-0)t=2又 B= 2= 2(+)3代入
14、 得 t= .22(+)3-014.如果在一个星球上,宇航员为了估测该星球的平均密度,设计了一个简单的实验:他先利用手表记下一昼夜的时间 T,然后用弹簧测力计测一个砝码的重力,发现在赤道上的重力为两极的 90%.试写出该星球平均密度的估算表达式 .答案 =302解析 设星球的质量为 M,半径为 R,表面重力加速度为 g,平均密度为 ,砝码的质量为 m.砝码在赤道上失重 F=(1-90%)mg=0.1mg,表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为 Fn=F=0.1mg.而一昼夜的时间 T 就是星球的自转周期.根据牛顿第二定律,有 0.1mg=m R (2)2根据万有引力定律,星球表面的重力加速度为g=G GR 2=43联立 得,星球平均密度的估算表达式为 = .302
