1、第三章检测(时间:90 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数 11+=( )A.1212 .12+12C.1-i D.1+i解析: A.11+= 1-(1+)(1-)=1-2 =1212,故 选答案: A2.下列命题中,正确的是( )A.复数的模总是正实数B.复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应C.如果与复数 z 对应的点在第一象限 ,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D.相等的向量对应着相等的复数解析: 复数的模大于或等于 0,故选项 A 不正确;复数集与复平面内所有从
2、原点出发的向量组成的集合一一对应,因此选项 B 不正确; 同理选项 C 也不正确,选项 D 正确.答案: D3.1(3-2)2 1(3+2)2的 值 是 ( )A.2413.1213.24169.12169解析: 原式 =(3+2)2-(3-2)2(3-2)2(3+2)2=(3+2+3-2)(3+2-3+2)(3-2)(3+2)2 =24169.答案: C4.复数 2-2+2的模 为 2,则实 数 的 值 是 ( )A. 3.3.3.3解析:| 2-2+2|=2,2+422+4=2.a= 3.答案: C5.若复数 z 满足 z-1 =3(1+),则 +2的 值 是 ( )A.1 B.0 C.-
3、1 D.12+32解析: 由题意,z=1+31- 3=(1+3)24 =12+32,所以 z2+z+1=0,即 z2+z=-1.答案: C6.已知(3 z=-+3) 23,那么复数 的虚部 为 ( )A. 32.32C. 32. 32解析: (3 z=-+3) 23,z=-233+3= 3212.故复数 z 的虚部为 32.答案: C7.设 z=1+1-+(1)2,则 (1+)7等于 ( )A.8-8i B.8+8iC.-8+8i D.-8-8i解析: z=i+(- 2i)=-i,(1+z) 7=(1-i)7=(1-i)(1-i)23=(1-i)8i=8+8i.答案: B8.复数 z 满足条件
4、:|2z+1|=|z-i| ,那么 z 对应点的轨迹是( )A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析: 设 z=x+yi(x,yR),则|2x+2yi+1|=|x+yi-i|, 即 (2+1)2+42=2+(-1)2,所以 3x2+3y2+4x+2y=0.故 z 对应点的轨迹是圆.答案: A9.复数 z R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于 ( )=-21+2(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析: z=-21+2=-45 2(+1)5 .当 m-1 0;时 ,-45 4时 ,-45 0,2(+1)5 0(m,n,pR )的解集为(-1,2),则复数 m+pi
5、 所对应的点位于复平面内的第 象限. 解析: mx 2-nx+p0(m,n,pR)的解集为( -1,2),0.故复数 m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限 .答案: 二14.已知 x2+ix+6=2i+5x,若 xR ,则 x= ;若 xC,则 x= . 解析: 当 xR 时,由复数相等的充要条件 x=2;得 2-5+6=0,=2, 解得当 xC 时,令 x=a+bi(a,bR),则有 2-2-+6=5,2+=2+5.解得 =2,=0或 =3,=-1.所以 x=2 或 x=3-i.答案: 2 3-i 或 215.对于任意两个复数 z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,
6、y2 为实数), 定义运算“”:z 1z2=x1x2+y1y2,设非零复数 1,2 在复平面内对应的点分别为 P1,P2,点 O 为坐标原点,如果 12=0,那么在P1OP2 中,P 1OP2 的大小为 . 解析: 设 1=x1+y1i,2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2R ),则 1=(1,1),2=(2,2). 12=0,x 1x2+y1y2=0.OP 1OP 2.P 1OP2=2.答案:2三、解答题(本大题共 3 个小题,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分) 已知复数 z=1+i,求实数 a,b 使 az+2=(+2)2.分析 将 z=1+i ,
7、根据两个复数相等的条件求 a,b.,=1代入条件式整理解: z=1+i,az+2 =(+2)+(2),(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.a,bR,由复数相等,得 +2=2+4,-2=4(+2).两式相加整理, 得 =-2,=-1或 =-4,=2. 所求实数为 =-2,=-1或 =-4,=2. 17.(8 分) 设 O 为坐标原点 ,已知向R ),量 1,2分 别对应 复数 1,2,且 1= 3+5+(102),2= 21-+(25)(其中 若 1+2可以与任意 实 数比 较 大小 ,求 12的 值 .解: 依题意 ,1+2为实 数 ,1= 3+5
8、(102),0.1+2= 3+5+ 21-+(210)+(25)的虚部 为a 2+2a-15=0.解得 a=-5 或 a=3.又分母不为零,a=3.此时 z1=38+,2=1+,即 1=(38,1),2=(1,1).12=38(1)+11=58.18.(9 分) 已知复数 z 满足|z| =2,2的虚部 为 2,所 对应 的点在第一象限 .(1)求 z;(2)若 z,z2,z-z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,C,求 cosABC.解: (1)设 z=x+yi(x,yR).|z| =2,x 2+y2=2. 又 z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,2xy=2,xy=1. 由可 解得 =1,=1或 =-1,=-1.z=1+i 或 z=-1-i.又 x0,y0,z=1+i.(2)z2=(1+i)2=2i,z-z2=1+i-2i=1-i.如图所示,A(1,1), B(0,2), C(1,-1),=(1,1),=(1,3),cosABC=|= 1+3210=425=255.
