1、湖南师大附中 20182019 学年度高二第一学期期中考试文科数学试题一、选择题(本大题共 11 个小题，每小题 5 分，共 55 分)1.已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可.详解： ,故选 C.点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题.2.已知数列 1， ， ， ， ，则 是它的( )A. 第 22 项 B. 第 23 项 C. 第 24 项 D. 第 28 项【答案】B【解析】试题分析：由数列前几项可知 ，令 得考点：数列通项公式3.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 bc2a，则 cos BA.
2、 B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】将三角形的三边都用 表示，然后根据余弦定理求解即可【详解】在ABC 中，由余弦定理得 故选 B【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是把三边进行统一表示，属于简单题4.在 中，角 所对的边分别为 ,若 ，则 为A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形 D. 等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得 ，即 ，所以 是钝角，选 A.5.已知点 在函数 的图象上，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据 ，利用基本不等式计算出 的最小值为 .【详解】 故选 .【点睛】本题考查基本不等式的应用，属中档题.
3、6.九章算术中“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 6 节的容积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：设此等差数列为a n，公差 d0，由题意可得：a 1+a2+a3+a4=3，a 7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a 1+21d=4，联立解出即可得出 a1与 d 的值，由等差数列的通项公式计算可得答案详解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列a n，设其公差为 d，且 d0，由题意可得：a 1+a2+a3+a4=3，a 7+a8+a9=4，则 4a1+6d=
4、3，3a 1+21d=4，解可得 a1= ，d= ，则第 6 节的容积 a6=a1+5d=故答案为：A点睛：本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.7.设 为等比数列 的前 n 项和, ,则 A. 10 B. 9 C. -8 D. -5【答案】A【解析】由 ,得 ,故 .故选 A8.数列 满足 ，则数列 的前 20 项的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 ，得 ， ， 的前 项的和为 ，故选 A.9.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的
5、斜截式，由直线方程可知，要使 最大，则直线在 轴上的截距最大，结合可行域可知当直线 过点 时 z 最大，求出 的坐标，代入 得答案详解：由 满足约束条件 作出可行域如图，由 ，得 要使 z 最大，则直线 的截距最大，由图可知，当直线 过点 时截距最大联立 ，解得 ） ， 的最大值为 故选：B点睛：本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题10.已知 ，则 取最大值时 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由 ，利用基本不等式可得结果.详解： ， ，当且仅当 时取等号 取最大值 时 的值为 故选 点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基
6、本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.11.已知等差数列a n的公差 d0，前 n 项和为 Sn，若对所有的 n(nN *)，都有 SnS 10，则A. an0 B. a 9a10b，则 acbc2，则 ab；若aabb2；若 cab0，则 ；若 ab， ，则 a0，bb，可得 ac bc，故为假命题；对于，由 ac2bc2，得 c0，故 c20，所以可得
7、 ab，故为真命题；对于，若 ，则 ，且 ，所以 ，故为真命题；对于，若 ，则 ，则 ，则 ，故为真命题；对于，若 ab， ，则 ，故 ab1三、解答题20.在等腰梯形 ABCD 中，E、F 分别是 CD、AB 的中点，CD2，AB4，ADBC .沿 EF 将梯形 AFED 折起，使得AFB60，如图(1)若 G 为 FB 的中点，求证：AG平面 BCEF；(2)求二面角 CABF 的正切值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平面几何知识在空间几何体中可证得 AGFB，同时可得 EF平面 ABF，进而得AGEF，于是可得 AG平面 BCEF （2）根据二面角平面角的定义并结
8、合三垂线法作出二面角的平面角，再通过解三角形得到所求的正切值【详解】(1)因为 AFBF，AFB60，所以AFB 为等边三角形又 G 为 FB 的中点，所以 AGFB.在等腰梯形 ABCD 中，E、F 分别是 CD、AB 的中点，所以 EFAB.于是 EFAF，EFBF，又 ,所以 EF平面 ABF，因为 平面 ABF，所以 AGEF.又 ，所以 AG平面 BCEF. (2)如图，连接 CG，因为在等腰梯形 ABCD 中，CD2，AB4，E、F 分别是 CD、AB 中点，G 为 FB 的中点，所以 ECFGBG1，从而 CGEF.因为 EF平面 ABF，所以 CG平面 ABF.过点 G 作 G
9、HAB 于 H，连结 CH，由三垂线定理可得 CHAB，所以CHG 为二面角 CABF 的平面角. 在 RtBHG 中，BG1，GBH60，所以 GH .在 RtCGB 中，CGBG，BG1，BC ，所以 CG1.在 RtCGH 中，可得 tanCHG ，所以二面角 CABF 的正切值为 .【点睛】 （1）解决空间中垂直关系问题的关键是熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础，同时合理运用“线线垂直” 、 “线面垂直” 、 “面面垂直”之间的相互转化（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线
10、，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角21.已知二次函数 f(x)x 216xq3.(1)若函数在区间1,1上存在零点，求实数 q 的取值范围；(2)是否存在常数 t(t0)，当 xt,10时，f(x)的值域为区间 D，且区间 D 的长度为12t(视区间a，b的长度为 ba)【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由二次函数的单调性易得 ，解关于 的不等式组可得（2）分 ，最大值是 最大值是 三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是 求出 12-t 的值，验证范围后即可得到答案【详解】(1)函数 f(x)x 216xq3 的对称轴
11、是 x8，f(x)在区间1,1上是减函数函数在区间1,1上存在零点，则必有 即 20q12.(2)0t10，f(x)在区间0,8上是减函数，在区间8,10上是增函数，且对称轴是 x8.当 0t6 时，在区间t,10上，f(t)最大，f(8)最小，f(t)f(8)12t，即 t215t520，解得 t ，t ；当 6t8 时，在区间t,10上，f(10)最大，f(8)最小，f(10)f(8)12t，解得 t8；当 8t10 时，在区间t,10上，f(10)最大，f(t)最小，f(10)f(t)12t，即 t217t720，解得 t8,9，t9.综上可知，存在常数 t ，8,9 满足条件.【点睛】
12、本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题22.已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2， )，且它的离心率 e .(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x1) 2y 21 相切的直线 l：ykxt 交椭圆于 M，N 两点，若椭圆上一点 C 满足，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得 (t0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于 x 的一元二次方程，
13、根据根据系数的关系可得点 C 的坐标，代入椭圆方程后整理得到 ，根据 的范围可得 ，进而得到所求范围【详解】 （1）设椭圆的标准方程为 ，由已知得 解得所以椭圆的标准方程为 . （2）因为直线 ：ykxt 与圆(x1) 2y 21 相切，所以 1，整理得 (t0) 由 消去 y 整理得(34k 2)x28ktx4t 2240，因为直线 与椭圆交于 M，N 两点，所以 ，将 代入上式可得 恒成立 设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有 x1x 2 ，所以 y1y 2kx 1tkx 2tk(x 1x 2)2t ， 因为 )，所以可得 C ，又因为点 C 在椭圆上，所以 1,所以 ，因为 t20，所以 11，所以 ，所以 的取值范围为 .【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数值域的求法，确定参数的取值范围
