1、走进高考：1（2018 年上海）已知 -2，-1，- ，1，2，3，若幂函数 f（ x）= x 为奇函数，且在（0，+）121上递减，则 = 【答案】-12（2018 年天津文科）己知 aR，函数 f（ x）= 若对任意 x-3，+） ，x2+2x+a-2， x 0，-x2+2x-2a， x 0 )f（ x）| x|恒成立，则 a 的取值范围是 【答案】 ，218【解析】当 x0 时，函数 f（ x）= x2+2x+a-2 的对称轴为 x=-1，抛物线开口向上，要使 x0 时，对任意x-3，+） ， f（ x）| x|恒成立，则只需要 f（-3）|-3|=3，即 9-6+a-23，得 a2，当
2、 x0 时，要使 f（ x）| x|恒成立，即 f（ x）=- x2+2x-2a，则直线 y=x 的下方或在 y=x 上，由- x2+2x-2a=x，即 x2-x+2a=0，由判别式 =1-8a0，得 a ，综上 a2故答案为 ，218 18 183 （2018 年浙江）已知 R，函数 f（ x）= 当 =2 时，不等式 f（ x）0 的解x-4， x ，x2-4x+3， x ， )集是 若函数 f（ x）恰有 2 个零点，则 的取值范围是 【答案】 x|1 x4 （1，3（4，+）【解析】当 =2 时函数 f（ x）= 显然 x2 时，不等式 x-40 的解集x-4， x ，x2-4x+3，
3、 x ， )x|2 x4； x2 时，不等式 f（ x）0 化为 x2-4x+30，解得 1 x2，综上，不等式的解集为x|1 x4函数 f（ x）恰有 2 个零点，函数 f（ x）= 的草图如图函数 f（ x）x-4， x ，x2-4x+3， x )恰有 2 个零点，则 1 3 或 4故答案为 x|1 x4；（1，3（4，+） 4 （2018 年天津理科）已知 a0，函数 f（ x）= 若关于 x 的方程 f（ x）= axx2+2ax+a， x 0，-x2+2ax-2a， x 0 )恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 【答案】 （4，8） 【要求】学习目标 目标解读1 二次函数
4、 2()fxabc的图像形状、对称轴、(0a顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据能够根据二次函数的解析式画出二次函数的图像2 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，能用函数思想研究方程和不等式掌握一元二次不等式的解法，能够将方程、不等式问题转化为二次函数问题来解决【重难点】1. 二次函数的定义和形式(1)二次函数的定义:形如 的函数叫做一元二次函数.2()fxabc(0)(2)二次函数的三种表示形式 ； ；2fx224()bacfax12()(fxax2.二次函数的图象与性质图象：二次函数 的图象是以直线 为对称轴的抛物线，其开口方向由2
5、()fxabc(0)2bxa的符号确定，顶点坐标为a24(,a性质：二次函数 的单调性以顶点的横坐标 为界，当 时，2)fxbc(0)2bxa0x 时,f(x)单调递减，x 时, f(x)单调递增；当 a0，若在(0，)上单调递减，则 0 时，图像都过点（0，0）和点（1，1） ，函数在区间 上是增函数，在第),0(一象限内，以 x1 为界；当 x1 时，指数大的函数图像在上方；当 时，指数大的函数图像在下方。10x当 时，图像都过点（1，1） ；函数在区间 上是减函数；在第一象限内，图像向上无限逼近 y0a ),(轴，向右无限逼近 x 轴。在第一象限内，以 x1 为界；当 x1 时，指数大的
6、函数图像在上方；当 时，指数大的函数图像在下方。011. 比较两幂值比大小的方法：同指数的两幂值比大小时，利用幂函数的单调性可以直接比大小；同底数的两幂值比大小时，利用指数函数的单调性可以直接比大小；底、指都不同的两幂值比大小时，可借用中间值间接比大小，也可以利用图像的位置关系来比大小。12.指数函数、对数函数的性质与图像是备考重点，特别注意分类讨论和数形结合思想的应用，指数（对数）函数的单调性等性质要结合函数的图像，特别注意底数所带来的分类讨论，对于与指数函数相关的分段函数的奇偶性和单调性问题，注意回归定义，利用通性通法解决问题。【典例剖析】考点一 二次函数解析式的求法通常采用待定系数法求二
7、次函数的解析式，注意韦达定理的应用【例 1】)已知二次函数 y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中 m 为实数.(1)求证:不论 m 为何值时,这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点;(2)设这个二次函数的图象与 x 轴交于点 A(x1,0),B(x2,0),且 x1, x2的倒数和为 ,求这个二次函数的3解析式.解析 因为 ，所以二次函数的图象与 x 轴必有两个交点，因24(1)(3)m0为 ， ，所以可以得到1212,xmx 12x，所以解得 ， 或123x0,53y281yx变式训练：（2018 江苏无锡）若二次函数 满足 ，则()fx(1)(2,(0)1ffxf()fx解析：
8、设 ，则由题意知， ， ，所以得2()fxabccabc，所以2axb1,2()1fx答案： 2()fx考点二 二次函数的值域和最值问题解决二次函数的值域和最值问题首先将二次函数配方化为顶点式，然后根据对称轴与定区间的相对位置进行讨论，将固定的区间或对称轴的先画，再画动区间或动轴【例 2】函数 f(x)=x2-4x-4 在闭区间t,t+1(tR)上的最小值记为 g(t).(1)试写出 g(t)的函数表达式;(2)求出 g(t)的最小值.解析 ，当 时，即 ， ；当 ，2()8fx12t1t 2()1)7gtft21t即 ， ；当 时，12t(gtf()f248所以27,()814,ttt变式训
9、练：（2018 姜堰）已知函数 ()|23fxax（1） 当 a=4, ,求函数 f(x)的最大值与最小值；25x（2） 若 ，试求 f(x)+3 0 的解集；a（3） 当 时， 恒成立，求实数 a 的取值范围1,()2fx解析： （1）当 时， ，4a|4|3f 时， ，2x 2()2()6fxx当 时， ；当 时， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jmin53af当 时， ，4x ()4)()4fxx当 时， ；当 时， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j minf af综上所述，当 或 4 时， ；当 时， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2
10、min()5f a()f（2）若 ， xa ()32fxa当 时， ，或 ，因为 ，所以 ；20xa当 ，所以 ； 2 0ax时 ， 得 xa当 时， ，或 ， 若 ，则 ；若 ，则 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2ax 0 综上可知：当 时，所求不等式的解集为 ；,当 时，所求不等式的解集为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j0a 0,（3）方法 1：若 ，原不等式可化为 ，xa 2()1fax即 在 上恒成立， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,23a若 ，原不等式可化为： ，x()f所以 在 上恒成立，所以 1a ,x2a综上可知 的取值
11、范围是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3a 方法 2：当 时， 即 1,x()f |1a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1a a 因为 在 上增，最大值是 ， x1,2 3在 上增，最小值是 ，故只需 1,2a 考点三 二次方程根的分布问题二次方程根的分布问题注意（1）抛物线的开口方向；（2）端点函数值；（3）对称轴的位置；（4）判别式 【例 3】 （2018 江苏无锡）设二次函数 方程 的两根 和 满足2(),fxa0)(xf1x2120.x（）求实数 a 的取值范围;（）试比较 的大小，并说明理由.15(C)0(与ff【命题意图】本小题主要考查二次函数
12、、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力.【解析】 （）令 g(x)=f(x)-x=x2+（a-1）x+a,则由题意可得故所求实数 a 的取值范围是（0，3-2.230,23,231,0.0)(,12,0 aaag即）.（）f(0),f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a 2, 令 h(a)=2a2.当 a0 时 h(a)单调增加，当 00 ,只需 ，,cf在 区 间 （ (xf 0)1(cf且 27)51(2cc所 以考点四：图象类问题例 4 幂函数 及直线 y=x,y=1,x=1 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：-1y=x，（如图所示） ，那么幂函数 的图
13、象经过的“卦限”是12y=xA. ， B. ， C. ， D. ，解：根据常见五种幂函数的图形在第一象限的特点， 图象在（0，1上图象在 yx 的上方，在（1，12图象在 yx 的下方，故应该选择 D。)点评：熟练的掌握五种幂函数的图形是求解本题的关键。利用幂函数图象有助于快速求解问题。考点五、基本概念类问题例 5.已知幂函数 当 时为减函数，则幂函数 y_.,)1(322mxy ),0(解析：由幂函数的定义结合已知得出： ，解得 或者 m1。当 m2 时，12，所以 y 在 上为减函数；当 m1 时， ，所以 y32m3x),0( 032在 上是常数函数，不合题意，舍去。)0(10x),(故
14、所求的幂函数为 y 。3x点评：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是求解的关键。要注意幂函数的形式特点。考点六图像、性质的应用例 6.已知 ，求 m 的取值范围。11)()23(m【解析】：结合幂函数 yx 的图象，需要对自变量进行分类讨论，分为同正、同负、一正一负三种情况。（1） 解得 ；（2） 此时无解m23031m2310（3） 解得 ；综上可得：0 ),(),(【评析】解决本题需要正确的分类讨论还需要数与形的紧密结合。根据幂函数图象的特点分为三种情况。注意分类要全面，不要遗漏。【达标测试题】一选择题（每小题 6 分，共 60 分）1. 下列函数既是奇函数，又是增函数
15、的是（ ） 。A. 2logyx B. 3yx C. 3xy D. 3yx【答案】：B 【解析】：四个函数中只有函数 3既是奇函数又是增函数. 故选 B.2. 已知幂函数 y=f（x）的图象过点（ ， ） ，则函数 y=（ ） f（x） 的值域是（ ）A 1，+） B （0，1） C （0，1 D （，1【答案】：C 3. 已知 ，则 的大小关系是（ ）9.01.7.0,log,8logcba cba,A、 B、 C、 D、cbacab【答案】C ;【解析】因为 ，所以 ；因为 ，所以17.0log8.l7010a01log9.0l.1；因为 ，所以 故 ，故选择 C0b19c;cb4. 已知
16、幂函数 是偶函数，且在 上为增函数，函数的解析式是)()1()24(3Ztxtxft ),0(_。A. B. .)(2f 2().fC. D. x3x【答案】：A 【解析】： 因为 f（x）是幂函数，所以 ，解得 t=-1，t=0 或 t=1，13t所以当 t=0 时， 是非奇非偶函数，不满足条件，当 t=1 时， 是偶函数，但在21)( 2)(xf上为减函数，不合题意，当 t=-1 时，满足题设。),0(综上所述，所求解析式为 .)(2xf5. 函数 ，则 的图象只可能是2fxlog,fxg【答案】C6. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）()(0)xafA对任意 ， 为偶函数，且在 上单
17、调递增Ra1RB存在 ， 为奇函数，且在 上单调递增()fxC对任意 ， 为奇函数，且在 上单调递减D.存在 ， 为偶函数，且在 上单调递减Ra()1fxR【答案】B【解析】取 ，则 不是奇函数，也不是偶函数，知 A、C 错，取 ，2a2()xf 1a为奇函数，且在 上单调递增，故选 B，若 为偶函数，则()1fxR()1fx()fx，得 ，即 ，必有 ，()(fxf()xaxa,xa由 得 ，于是 ，这时 ，矛盾，故 D 错xa1a17. 已知幂函数 y=f（x）的图象过点（4，2） ，则函数 y=f（1+cosx）的最小正周期是（ ）A4 B2 C D【答案】B【点评】本题主要考查了幂函数
18、的定义，以及二倍角公式的应用，同时考查了三角化简和函数的周期性，属于基础题8. 已知函数 f（x）=a 2bx+1 （a0，a1）在区间（，2单调递减，且 2a+b5，则 的取值范围为（ ）A ，3 B ，3） C ，2 D （ ，2【答案】.B【解析】：根据题意，得：函数 t=x22bx+1 图象的对称轴是 x=b，且在区间（，b上单调递减，b2，且 a1；又2a+b5，b52a； = 2 2=3；又 2b52a，a ； = ；综上， 的取值范围是： 3故选：B9. 若幂函数 f（x）的图象经过点（3， ） ，则函数 g（x）= +f（x）在 ，3上的值域为（ ）A2， B2， C （0，
19、D0，+）【答案】.A【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目10. 已知函数 f（x）= ，函数 g（x）=bf（2x） ，其中 bR，若函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （， ） C （0， ） D （ ，2）【答案】 D【解析】：g（x）=bf（2x） ，y=f（x）g（x）=f（x）b+f（2x） ，由 f（x）b+f（2x）=0，得 f（x）+f（2x）=b，设 h（x）=f（x）+f（2x） ，若 x0，则x0，2x2，则 h（x）=f（x）+
20、f（2x）=2+x+x 2，若 0x2，则2x0，02x2，则 h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2，若 x2，x2，2x0，则 h（x）=f（x）+f（2x）=（x2） 2+2|2x|=x 25x+8即 h（x）= ，作出函数 h（x）的图象如图：当 x0 时，h（x）=2+x+x 2=（x+ ） 2+ ，当 x2 时，h（x）=x 25x+8=（x ） 2+ ，故当 b= 时，h（x）=b，有两个交点，当 b=2 时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，即 h（x）=b 恰有 4 个根，则满足 b2，故选：D【
21、点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二填空题（每小题 6 分，共 18 分）11. 幂函数 为奇函数，则 . 231mfxx【答案】.2 12. 定义 ，已知 ， ，在 和 的公共定义域)(),min(babxf132)(xg)()(fxg内，设 ，则 的最大值为 .),i)(xgfx(m【答案】11 13. 若对函数 定义域内的每一个值 ，都存在唯一的值 ，使得 成立，则称此()yfx1x2x12()fx函数为“K 函数” ，给出下列三个命题： 是“K 函数” ； 是“K 函数” ； 是“K 函数” ，其中正确命题的序号是 2yx2x
22、lny【答案】. ；【解析】对于 ，由 得 ，即 ，对应的 不唯一，所以2y12()f21x21x12,x不是 K 函数。对于 ，由 得， ，即 ，所以2yxxy()f1212x 0，所以唯一，所以 是 K 函数。对于 ，因为 有零点，所以当 时，1 lnylny1x，但此时 不成立，所以 不是 K 函数，所以其中正确命题的序号是ln012()f。三.解答题14. 是定义在 R 上的奇函数，当 时， .()yfx0x2()fx（1）求 时， 的解析式；0()f（2）问是否存在这样的正数 ，当 时， ，且 的值域为 若存在，求出,ab,x()gxf()gx1,ba所有的 值，若不存在，请说明理由
23、.,ab【解析】 （1）设 ，则 于是 ， 0x2()fx又 为奇函数，所以 ，即 ， ()f()f2()(0)fxx（2）分下述三种情况： 那么 ，而当 的最大值为 1，故此时不可能使 ， 01,aba0,()xf()gfx若 ，此时若 ，则 的最大值为 ，得 ，这与01ab()gxf()gx(1)gf1a矛盾； 若 ，因为 时， 是减函数，则 于是有()f 2(),fx，考虑到 解得 221()10()gbaba 1,ab15,2综上所述 1,5.2b15. 已知函数 f（x）=（a1）x a（aR） ，g（x）=|lgx|（）若 f（x）是幂函数，求 a 的值；（）关于 x 的方程 g（x1）+f（1）=0 在区间（1，3）上有两不同实根 x1，x 2（x 1x 2） ，求的取值范围【点评】本题考查实数值的求法，考查代数式的值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用
