1、考点规范练 22 平面向量的概念及线性运算考点规范练第 28 页 基础巩固组1.如图,向量 a-b 等于( )A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2答案 C解析 由题图可知 a-b=e1-3e2.故选 C.2.在ABC 中, =c, =b,若点 D 满足 =2 ,则 = ( ) A b+ c B c- b.23 13 .5323C b- c D b+ c.2313 .13 23答案 A解析 )=c+ (b-c)= b+ c.故选 A.=+=+23( 23 23 133.设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是 ( )|=|A.a=-b B
2、.abC.a=2b D.ab 且 |a|=|b|答案 C解析 a= a 与 b 共线且同向a=b 且 0.B,D 选项中 a 和 b 可能反向.A 选项中 0.故选 C.4.在ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,则 = ( )A B.3414 .1434C D.34+14 .14+34答案 A解析 如图所示,根据向量的运算法则,可得=12(+12)=12+12(+)= ,12+14+14=34+14所以 ,故选 A.=34145.(2017 浙江嘉兴测试)设点 M 是线段 AB 的中点,点 C 在直线 AB 外,| |=6,| |=| |,则| +|=( )A.12
3、B.6 C.3 D.32答案 C解析 | |=2| |,| |=| |,+ 2| |=| |=6, | |=3,故选 C. 6.给出下列命题: 若两个单位向量的起点相同,则终点也相同; 若 a 与 b 同向,且|a|b |,则 ab; , 为实数,若 a=b,则 a 与 b 共线; 0a=0.其中错误命题的序号为 . 答案 解析 不正确.单位向量的起点相同时,终点在以起点为圆心的单位圆上; 不正确,两向量不能比较大小; 不正确.当 =0 时,a 与 b 可能不共线; 正确.7.设点 P 是ABC 所在平面内的一点,且 =2 ,则 = . +答案 0解析 因为 =2 ,由平行四边形法则知 ,点
4、P 为 AC 的中点,故 =0.+ +8.设 D,E 分别是ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC,若 =1 +2 (1,2 为实数),则 1= 12 23 ,2= . 答案 -16 23解析 如图所示, )+ =- 又 =1 +2 ,且=2312=23(1216+23. 不共线,所以 1=- ,2=与 16 23.能力提升组9.如图,在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点F.若 =a, =b,则 = ( ) A a+ b B a+ b.14 12 .12 14C a+ b D a+ b.23 13
5、 .13 23答案 C解析 =a, =b, a+ b.=+=12+12=12 12 E 是 OD 的中点, , |DF|= |AB|,|=13 13)= - = a- b, a+ b+=13=13(13 12(-12) 1616=1616=+=12 12a- b= a+ b,故选 C.1616 23 1310.已知在ABC 中,D 是 AB 边上的一点, = ,| |=2,| |=1,若 =b, =a,则用 a,b 表(|+|) B示 为( )A a+ b B a+ b.23 13 .13 23C a+ b D a+ b.13 13 .23 23答案 A解析 由题意知,CD 是ACB 的角平分
6、线 ,故 )=+=+23=+23(= a+ b,故选 A.23+13=23 1311.(2017 浙江温州八校检测)设 a,b 不共线, =2a+pb, =a+b, =a-2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值为( )A.-2 B.-1 C.1 D.2答案 B解析 =a+b, =a-2b, =2a-b. =+由 A,B,D 三点共线 ,知 共线.,设 = , 2a+pb=(2a-b), 2=2,p=-, =1,p=-1.12.点 D 为ABC 内一点,且 +4 +7 =0,则 =( ) A B C D.47 .13 .712 .112答案 D解析 如图所示,分别延长 DB,DC 至点
7、 B1,C1,使得 DB1=4DB,DC1=7DC,则 =0,则+1+1=S,SDAB= S,SDAC= S,SDBC= S,SABC= S+ S+ S= S, 1= 1=1114 17 128 14 17 1281228,故选 D. =1281228=11213.在 RtABC 中,C 是直角,CA=4,CB= 3,ABC 的内切圆交 CA,CB 于点 D,E,点 P 是图中阴影区域内的一点(不包含边界).若 =x +y ,则 x+y 的值可以是( )A.1 B.2C.4 D.8答案 B解析 设圆心为 O,半径为 r,则 ODAC ,OEBC , 3-r+4-r=5,解得 r=1.连接 DE
8、,则当 x+y=1 时,P 在线段 DE 上,排除 A;在 AC 上取点 M,在 CB 上取点 N,使得 CM=2CD,CN=2CE,连接 MN,=2+2.则点 P 在线段 MN 上时, =1,故 x+y=2.2+2同理,当 x+y=4 或 x+y=8 时,P 点不在三角形内部,排除 C,D.故选 B.14.已知ABC 和点 M,满足 =0,若存在实数 m,使得 =m 成立,则点 M 是+ + ABC 的 ,实数 m= . 答案 重心 3解析 由 =0 知,点 M 为 ABC 的重心.设点 D 为底边 BC 的中点,+则 )= ),=23=2312(+13(+所以有 =3 ,故 m=3.+15
9、.(2017 浙江湖州模拟)如图,在 ABC 中,AD=2DB,AE= EC,BE 与 CD 相交于点 P,若12=x +y (x,yR), 则 x= ,y= . 答案47 17解析 由题可知 +=+= +( ) = +23(-13)= (1-) +23 .又 + +( )=+= = +13(A-23)= (1-) ,+13 所以可得 解得23(1-)=,13(1-)=, =17,=47,故 ,所以 x= ,y=47+17 47 17.16.在ABC 中,点 P 满足 =2 ,过点 P 的直线与 AB,AC 所在直线分别交于点 M,N,若=m =n (m0,n0),则 m+2n 的最小值为 .
10、 ,答案 3解析 =2 ,=2( ), ,=13+23=13+23 M,P,N 三点共线, =1,13+23 m+2n=(m+2n) 2 =3.(13+23)=13+43+23(+)53+23 =53+43当且仅当 时等号成立,=即 m=n=1,故 m+2n 的最小值为 3.17.设两个非零向量 a 与 b 不共线.(1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a-b).求证: A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.(1)证明 =a+b, =2a+8b, =3(a-b), =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5 ,=+ 共线., 它们有公共点 B,
11、 A,B,D 三点共线.(2)解 ka+b 与 a+kb 共线, 存在实数 ,使 ka+b=(a+kb),即(k-)a =(k-1)b.又 a,b 是两个不共线的非零向量, k-=k-1=0. k2-1=0. k=1.18.已知 O,A,B 是不共线的三点 ,且 =m +n (m,nR).(1)若 m+n=1,求证:A,P ,B 三点共线;(2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1.证明 (1)若 m+n=1,则 =m +(1-m) +m( ),所以 =m( ),即 =m , = 所以 共线.与 又因为 有公共点 B,所以 A,P,B 三点共线.与 (2)若 A,P,B 三点共线,则存在实数 ,使 = ,所以 =( ). 又 =m +nO.故有 m +(n-1) = - , 即(m-) +(n+-1) =0. 因为 O,A,B 不共线 ,所以 不共线 ,所以 所以 m+n=1.-=0,+-1=0.
