1、一、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 13Ax， 2Bx，则 ABI 【答案】【解析】 2已知为虚数单位，复数 13izy（ R） ， 2iz，且 12iz，则 y 【答案】1【解析】 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为、虚部为、模为 、对应点为 、共轭为3下表是一个容量为 10 的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数，则的值为 【答案】19.7【解析】
2、 4已知直线 230xy为双曲线21xyab（ 0a， b）的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 【答案】【解析】 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5据记载，在公元前 3 世纪，阿基米德已经得出了前个自然数平方和的一般公式.下图是一个求前个自然数平方和的算法流程图，若输入的值为 1，则输出 S的值为 【答案】14【解析】第一次循环: ; 第二次循环: ; 第三次循环:;结束循环,输出 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循
3、环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6已知 1是集合 2,1xy所表示的区域， 2是集合 ,xy所表示的区域，向区域 内随机的投一个点，则该点落在区域 内的概率为 【答案】【解析】所求概率为几何概型，测度为面积， 为单位圆面积， 为阴影部分面积，见图：落在区域 内的概率为 点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量
4、，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率7已知等比数列 na的前项和为 nS，公比 3q， 453S，则 3a 【答案】3【解析】8已知直四棱柱底面是边长为 2 的菱形，侧面对角线的长为 23，则该直四棱柱的侧面积为 【答案】9已知 是第二象限角，且 3sin10， tan2，则 tan 【答案】 【解析】由是第二象限角，且 ，得 ，所以10已知直线： 210mxy，圆 C： 240xy，当直线被圆 C所截得的弦长最短时，实数 【答案】 11在 A
5、BCV中，角 ， ， C对边分别是， ， ，若满足 2cos3bAa，则角 B的大小为 【答案】 【解析】由正弦定理得12在 ABCV中， A， 1Bt， ACt， P是 ABCV所在平面内一点，若4Pur，则 P面积的最小值为 【答案】【解析】以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则， 面积的最小值为13已知函数 24,03xf若函数 3gxfxb有三个零点，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】 与 相切时 （正舍）， 与相切时 ， 与 不相切.由图可知实数的取值范围为 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其
6、中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等14已知，均为正数，且 20ab，则2214ab的最小值为 【答案】7【解析】 ，所以（当且仅当 时取等号）而 （当且仅当 时取等号），因此（当且仅当 时取等号），即 的最小值为 7.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过
7、程或演算步骤 ） 15已知向量 3cos,1mxur， 2sin,coxr.（1）当 x时，求 nr的值；（2）若 0,4，且 32u，求 cosx的值.【答案】（1）（2）试题解析：解：（1）当 时， ， ，所以 .（2） ，若 ，则 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 ，则 .16如图，在四面体 ABCD中，平面 AB平面 CD， E， F， G分别为 AB，AD， 的中点， ， 90o.（1）求证： 平面 E；（2）若 P为 FG上任一点，证明 P 平面 .【答案】（1）见解析（2）见解析试题解析：解：（1）因为平面 平面 ， ，即 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
8、因为 ，为 的中点，所以 ，又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）连 ， ，因为，分别为 ， 的中点，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可证 平面 ，且 ， 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，又为 上任一点，所以 平面 ，所以 平面 .17某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 w（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系： 341wx，且投入的肥料费用不超过 5 百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等） 2百元.已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元/千克（即 16 百元/百千克） ，且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为 Lx（单位：百
9、元）.（1）求利润函数 Lx的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）见解析（2）当投入的肥料费用为 300 元时，种植该果树获得的最大利润是4300 元.试题解析：解：（1） （ ）.（2） .当且仅当 时，即 时取等号.故 .答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植该果树获得的最大利润是 4300 元.18已知函数3lnfxabx， ，为实数， 0b，为自然对数的底数， e2718L.（1）当 0， 1时，设函数 fx的最小值为 ga，求 的最大值；（2）若关于的方程 fx在区间 1,e上有两个不同实数解，求 b的
10、取值范围.【答案】（1） （2）试题解析：解：（1）当 时，函数 ，则 ，令 ，得 ，因为 时， ，所以 ，令 ，则 ，令 ，得 ，且当 时， 有最大值 1，所以 的最大值为 1（表格略），（分段写单调性即可），此时 .（2）由题意得，方程 在区间 上有两个不同实数解，所以 在区间 上有两个不同的实数解，即函数 图象与函数 图象有两个不同的交点，因为 ，令 ，得 ，所以当 时， ，当 时， ，所以，满足的关系式为 ，即的取值范围为 .点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的
11、函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.19已知椭圆 C：21xyab（ 0a）的左焦点为 1,0F，左准线方程为 2x.（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知直线交椭圆 于 A， B两点.若直线经过椭圆 C的左焦点 F，交 y轴于点 P，且满足 AFur， PBru.求证：为定值；若 OAB（ 为原点） ，求 AOBV面积的取值范围.【答案】（1） （2） 试题解析：解：（1）由题设知 ， ， ， ，： .当直线 ， 分别与坐标轴重合时，易知 的面积 ，当直线 ， 的斜率均存在且不为零时，设 ： ， ： ，设 ， ，将 代入椭圆得到 ， ，同理 ， ，的面积 .令 ， ，令 ，则 .综上
12、所述， .点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20已知数列 na满足 1，214nna，其中 *Nn， ， 为非零常数.（1）若 3， 8，求证： n为等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）若数列 na是公差不等于零的等差数列.求实数 ， 的值；数列 n的前项和 nS构成数列 n，从 nS中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首
13、项为 1的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为 2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2） ， ， . ， ，试题解析：解：（1）当 ， 时， ，.又 ，不然 ，这与 矛盾，为 2 为首项，3 为公比的等比数列， .（2）设 ，由 得 ，对任意 恒成立.令 ，2，3，解得， ， ， .经检验，满足题意.综上， ， ， .由知 .设存在这样满足条件的四元子列，观察到 2017 为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.1若三个奇数一个偶数，设 ， ， ， 是满足条件的四项，则 ，这与 1007 为奇数矛盾，不合题意舍去.2
14、若一个奇数三个偶数，设 ， ， ， 是满足条件的四项，则 ， .由 504 为偶数知，中一个偶数两个奇数或者三个偶数.1）若，中一个偶数两个奇数，不妨设 ， ， ，则 ，这与 251 为奇数矛盾.2）若，均为偶数，不妨设 ， ， ，则 ，继续奇偶分析知 ， ， 中两奇数一个偶数，不妨设 ， ， ，则 .因为 ， 均为偶数，所以 为奇数，不妨设 ，当 时， ， ，检验得 ， ，当 时， ， ，检验得 ， ，当 时， ， ，检验得 ， ， ，即 ， ， ， 或者 ， ， ， 或者 ， ， ， 满足条件，综上所述， ， ， 为全部满足条件的四元子列.2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况
15、调研（二）数学（附加）试题21 【选做题】本题包括 A，B，C，D 四小题，每小题 10 分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 4-1：几何证明选讲如图，直线 DE切圆 O于点 ，直线 E交圆 O于 A， B两点， DCOB于点 ，且2B，求证： 23CB.【答案】见解析B.选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 13aMbur的一个特征值 1及对应的特征向量 1er.求矩阵 的逆矩阵.【答案】【解析】试题分析：由特征值及特征向量定义得 ，解得 ，再根据逆矩阵公式求逆矩阵.试题解析：B.解：由题知， ，
16、， .，.C.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，以 为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线 1C的参数方程为 32cos,inx（ 0,2， 为参数） ，曲线 2C的极坐标方程为 sina（ R）.若曲线 1C与曲线 2有且仅有一个公共点，求实数的值.【答案】 或 .【解析】试题分析：先根据同角三角函数关系 消参数得曲线 的普通方程；利用 将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直线与圆相切得 ，解得实数的值.D.选修 4-5：不等式选讲已知， ，为正实数，求证：22bcabc.【答案】见解析【解析】试题分析：根据基本不等式证明： ， ，
17、 ，三式相加得结论.试题解析：D.解：基本不等式， ， ，【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分，请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22已知袋中装有大小相同的 2 个白球、2 个红球和 1 个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是 0 分、1 分和 2 分，每一局从袋中一次性取出三个球，将 3 个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第局得 nS分（ *Nn）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.（1）求在一局游戏中得 3 分的概率；（2）求游戏结束时局数 X的分
18、布列和数学期望 EX.【答案】（1）（2） 试题解析：解：（1）设在一局游戏中得 3 分为事件，则 .答：在一局游戏中得 3 分的概率为.（2）的所有可能取值为 1，2，3，4.在一局游戏中得 2 分的概率为 ，；.所以.23已知 01nnnfxCx1knnCxL1nnmCxL，其中 R， *N， k， .（1）试求 1fx， 2f， 3fx的值；（2）试猜测 n关于的表达式，并证明你的结论.【答案】（1） ， （2）【解析】试题分析：（1）根据对应以及组合数公式展开化简得 ， ， 的值；（2）从阶乘角度猜想 关于的表达式，证明时注意利用性质 及进行转化：配凑成归纳假设的条件.（2）猜想： .而 ， ，所以 .用数学归纳法证明结论成立.当 时， ，所以结论成立.假设当 时， .当 时， （*）由归纳假设知（*）式等于 .所以当 时，结论也成立.综合， 成立.
