1、2016-2017 学年吉林省长春五中、田家炳实验中学联考高一（下）期末数学试卷（文科）一选择题：（本大题共计 12 小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1ABC 中，若 a=1，c=2，B=60，则ABC 的面积为（ ）A B C1 D2在数列a n中，a 1=1，a n+1a n=2，则 a51的值为（ ）A99 B49 C102 D1013已知 x0，函数 y= +x 的最小值是（ ）A5 B4 C8 D64在ABC 中，若 b2=a2+c2+ac，则B 等于（ ）A60 B60或 120 C120 D1355设 x，y 满足约束条件 ，则
2、 z=3x+y 的最大值为（ ）A5 B3 C7 D86对于任意实数 a、b、c、d，命题：若 ab，c0，则 acbc；若 ab，则 ac2bc 2；若 ac2bc 2，则 ab； ；若 ab0，cd0，则 acbd其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D47在 R 上定义运算 ，若 成立，则 x 的取值范围是（ ）A （4，1） B （1，4） C （，4）（1，+） D （，1）（4，+）8在ABC 中，如果 sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么 cosC 等于（ ）A B C D9一个等比数列a n的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为（ ）A
3、63 B108 C75 D8310已知 x，y 是正数，且 ，则 x+y 的最小值是（ ）A6 B12 C16 D2411若不等式 ax2+2ax42x 2+4x 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （2，2） B （2，2 C （，2）12已知方程（x 22x+m） （x 22x+n）=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则|mn|等于（ ）A1 B C D二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13不等式 1 的解集是 14比较大小：（x2） （x+3） x 2+x7（填入“” ， “” ， “=”之一）15已知数列a n的前 n 项和 Sn
4、=n2+1（nN *） ，则它的通项公式是 16若在ABC 中，A=60，b=1，S ABC = ，则 = 三、解答题（共 56 分，需要写出必要的解答和计算步骤）17若不等式 ax2+5x20 的解集是 ，（1）求实数 a 的值；（2）求不等式 ax25x+a 210 的解集18已知等比数列a n中， ，求其第 4 项及前 5 项和19在ABC 中，BC=a，AC=b，a，b 是方程 x22 x+2=0 的两个根，且 2cos（A+B）=1求：（1）角 C 的度数；（2）边 AB 的长20已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 bsinA+acosB=0（1）求角 B
5、 的大小；（2）若 b=2，求ABC 面积的最大值21若a n的前 n 项和为 Sn，点（n，S n）均在函数 y= x2 x 的图象上（1）求数列a n的通项公式（2）设 bn= ，T n是数列b n的前 n 项和，求使得 Tn 对所有 nN +都成立的最小整数 m2016-2017 学年吉林省长春五中、田家炳实验中学联考高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：（本大题共计 12 小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1ABC 中，若 a=1，c=2，B=60，则ABC 的面积为（ ）A B C1 D【考点】%H：三角形的面积公
6、式【分析】利用三角形面积公式 SABC = 即可得出【解答】解：S ABC = = = 故选 B2在数列a n中，a 1=1，a n+1a n=2，则 a51的值为（ ）A99 B49 C102 D101【考点】8H：数列递推式【分析】由已知得数列a n是首项为 a1=1，公差为 an+1a n=2 的等差数列，由此能求出 a51【解答】解：在数列a n中，a 1=1，a n+1a n=2，数列a n是首项为 a1=1，公差为 an+1a n=2 的等差数列，a n=1+2（n1）=2n1，a 51=2511=101故选：D3已知 x0，函数 y= +x 的最小值是（ ）A5 B4 C8 D6
7、【考点】7F：基本不等式【分析】由于 x0，利用基本不等式求得函数 的最小值【解答】解：x0，函数 2 =4，当且仅当 x= ，x=2 时，等号成立，故函数 的最小值是 4，故选：B4在ABC 中，若 b2=a2+c2+ac，则B 等于（ ）A60 B60或 120 C120 D135【考点】HR：余弦定理【分析】由三角形的三边 a，b 及 c，利用余弦定理表示出 cosB，把已知的等式变形后代入即可求出 cosB 的值，根据 B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角 B 的度数【解答】解：由 b2=a2+c2+ac，得到 a2+c2b 2=ac，所以根据余弦定理得：cosB= = ，B（
8、0，180） ，则B=120故选 C5设 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最大值为（ ）A5 B3 C7 D8【考点】7C：简单线性规划【分析】首先作出可行域，再作出直线 l0：y=3x，将 l0平移与可行域有公共点，直线y=3x+z 在 y 轴上的截距最大时，z 有最大值，求出此时直线 y=3x+z 经过的可行域内的点 A 的坐标，代入 z=3x+y 中即可【解答】解：如图，作出可行域，作出直线 l0：y=3x，将 l0平移至过点 A（3，2）处时，函数 z=3x+y 有最大值 7故选 C6对于任意实数 a、b、c、d，命题：若 ab，c0，则 acbc；若 ab，则 ac2bc
9、 2；若 ac2bc 2，则 ab； ；若 ab0，cd0，则 acbd其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可【解答】解：根据不等式的性质可知若 ab，c0，则 acbc，正确当 c=0 时，ac 2=bc2=0，错误若 ac2bc 2，则 c0，ab 成立，正确当 a=1，b=1 时，满足 ab，但 不成立，错误若 ab0，cd0，则 acbd0 成立，错误故正确的是故选：B7在 R 上定义运算 ，若 成立，则 x的取值范围是（ ）A （4，1） B （1，4） C （，4）（1，+） D （，1）（4，+）【
10、考点】O1：二阶矩阵【分析】根据定义运算 ，把 化简得x2+3x4，求出其解集即可【解答】解：因为 ，所以 ，化简得；x 2+3x4 即 x2+3x40 即（x1） （x+4）0，解得：4x1，故选 A8在ABC 中，如果 sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么 cosC 等于（ ）A B C D【考点】HR：余弦定理【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设 a=2k，b=3k，c=4k（k0） ，由余弦定理 可求得答案【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设 a=2k，b=3k，c=4k（k0）由余弦定理可得，
11、 =故选：D9一个等比数列a n的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为（ ）A63 B108 C75 D83【考点】89：等比数列的前 n 项和【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每 k 项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个 n 项的和和第二个 n 项的和，求得第三个 n 项的和，进而把前 2n 项的和加上第三个 n 项的和，即可求得答案【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每 k 项的和也成等比数列则等比数列的第一个 n 项的和为 48，第二个 n 项的和为 6048=12，第三个 n 项的和为： =3，前 3n 项的和为 60+3=63故选：
12、A10已知 x，y 是正数，且 ，则 x+y 的最小值是（ ）A6 B12 C16 D24【考点】7F：基本不等式【分析】x+y=（x+y） （ + ）=1+9+ + ，再根据基本不等式即可求出答案【解答】解：x+y=（x+y） （ + ）=1+9+ + 10+2 =10+6=16，当且仅当 x=4，y=12 时取等号，故 x+y 的最小值是 16，故选：C11若不等式 ax2+2ax42x 2+4x 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （2，2） B （2，2 C （，2）【考点】3R：函数恒成立问题【分析】将原不等式整理成关于 x 的二次不等式，结合二次函数的图象与性
13、质解决即可，注意对二次项系数分类讨论【解答】解：不等式 ax2+2ax42x 2+4x，可化为（a2）x 2+2（a2）x40，当 a2=0，即 a=2 时，恒成立，合题意当 a20 时，要使不等式恒成立，需 ，解得2a2所以 a 的取值范围为（2，2故选 B12已知方程（x 22x+m） （x 22x+n）=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则|mn|等于（ ）A1 B C D【考点】8F：等差数列的性质；74：一元二次不等式的解法【分析】设 4 个根分别为 x1、x 2、x 3、x 4，进而可知 x1+x2和 x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当 m+n=p+q 时，a m+a
14、n=ap+aq设 x1为第一项，x 2必为第 4 项，可得数列，进而求得m 和 n，则答案可得【解答】解：设 4 个根分别为 x1、x 2、x 3、x 4，则 x1+x2=2，x 3+x4=2，由等差数列的性质，当 m+n=p+q 时，a m+an=ap+aq设 x1为第一项，x 2必为第 4 项，可得数列为 ， ， ， ，m= ，n= |mn|= 故选 C二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13不等式 1 的解集是 x|2x 【考点】7E：其他不等式的解法【分析】把不等式右边的“1”移项到不等式左边，通分后根据分母不变只把分子相减计算后，在不等式两边同时除以1，不等
15、号方向改变，然后根据两数相除，异号得负，根据商为负数得到 x+2 与 3x+1 异号，可化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集【解答】解：不等式 ，移项得： 0，即 0，可化为： 或 ，解得：2x 或无解，则原不等式的解集是x|2x 故答案为：x|2x 14比较大小：（x2） （x+3） x 2+x7（填入“” ， “” ， “=”之一）【考点】72：不等式比较大小【分析】利用作差法即可比较出两个数的大小【解答】解：（x2） （x+3）（x 2+x7）=x 2+x6x 2x+7=10，（x2） （x+3）x 2+x7故答案为15已知数列a n的前 n
16、 项和 Sn=n2+1（nN *） ，则它的通项公式是 【考点】82：数列的函数特性【分析】先求出 sn1 ，由 an=sns n1 得到数列的通项公式即可【解答】解：由题意知：当 n=1 时，a 1=s1=2，当 n2 时，S n=n2+1sn1 =（n1） 2+1，所以利用得：a n=sns n1 =2n1故答案为：16若在ABC 中，A=60，b=1，S ABC = ，则= 【考点】HP：正弦定理；GH：同角三角函数基本关系的运用【分析】又 A 的度数求出 sinA 和 cosA 的值，根据 sinA 的值，三角形的面积及 b 的值，利用三角形面积公式求出 c 的值，再由 cosA，b
17、及 c 的值，利用余弦定理求出 a 的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值【解答】解：由A=60，得到 sinA= ，cosA= ，又 b=1，S ABC = ， bcsinA= 1c = ，解得 c=4，根据余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA=1+164=13，解得 a= ，根据正弦定理 = = = = ，则 = 故答案为：三、解答题（共 56 分，需要写出必要的解答和计算步骤）17若不等式 ax2+5x20 的解集是 ，（1）求实数 a 的值；（2）求不等式 ax25x+a 210 的解集【考点】77：一元二次不等式与一元二次方程；74：一元二次不等式的解法【分析
18、】 （1）由二次不等式的解集形式，判断出 ，2 是相应方程的两个根，利用韦达定理求出 a 的值（2）由（1）我们易得 a 的值，代入不等式 ax25x+a 210 易解出其解集【解答】解：（1）ax 2+5x20 的解集是 ，a0， ，2 是 ax2+5x2=0 的两根解得 a=2；（2）则不等式 ax25x+a 210 可化为2x 25x+30解得 故不等式 ax25x+a 210 的解集 18已知等比数列a n中， ，求其第 4项及前 5 项和【考点】89：等比数列的前 n 项和；88：等比数列的通项公式【分析】设公比为 q，由已知得 ，解得 ，a1=8，由此利用等比数列的通项公式和前 n
19、 项和公式能求出其第 4 项及前 5 项和【解答】解：设公比为 q，由已知得 即 得 ，将 代入得 a 1=8， ，19在ABC 中，BC=a，AC=b，a，b 是方程 x22 x+2=0 的两个根，且 2cos（A+B）=1求：（1）角 C 的度数；（2）边 AB 的长【考点】HR：余弦定理；7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】 （1）根据三角形内角和可知 cosC=cos 进而根据题设条件求得 cosC，则 C 可求（2）根据韦达定理可知 a+b 和 ab 的值，进而利用余弦定理求得 AB【解答】解：（1）C=120（2）由题设：AB 2=AC2+BC22ACBCcosC=a
20、2+b22abcos120=20已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 bsinA+acosB=0（1）求角 B 的大小；（2）若 b=2，求ABC 面积的最大值【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】 （1）由 bsinA+acosB=0 及其正弦定理可得：sinBsinA+sinAcosB=0，sinA0，化简即可得出（2）由余弦定理，可得 ，再利用基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（1）由 bsinA+acosB=0 及其正弦定理可得：sinBsinA+sinAcosB=0，sinA0，sinB+cosB=0，即 tanB=1，又 0B
21、，B= （2）由余弦定理，可得 =2ac+ ac，ac =2（2 ） ，当且仅当 a=c 时取等号S ABC = sinB = 1，故ABC 面积的最大值为： 121若a n的前 n 项和为 Sn，点（n，S n）均在函数 y= x2 x 的图象上（1）求数列a n的通项公式（2）设 bn= ，T n是数列b n的前 n 项和，求使得 Tn 对所有 nN +都成立的最小整数 m【考点】8K：数列与不等式的综合【分析】 （1）由点（n，S n）均在函数 y= x2 x 的图象上，得 Sn= n2 n，由an=SnS n1 可得通项公式，须验证 n=1 时，a n也成立（2）由（1）知，b n= = = ，再求和，使 Tn 成立的 m，必须且仅须满足 1 ，即可得出结论【解答】解：（1）依题意，点（n，S n）均在函数 y= x2 x 的图象上，得Sn= n2 n，当 n2 时，a n=SnS n1 =（ n2 n） （n1） 2 （n1）=3n2 ；当 n=1 时，a 1=S1=1，适合式，所以 an=3n2（nN *）（2）由（1）知，b n= = = ；故 Tn=1 + + =1因此，使 Tn 成立的 m，必须且仅须满足 1 ，即 m20；所以，满足要求的最小正整数 m 为 202017 年 6 月 14 日
