1、第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则的元素的个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】由题设可得 或 ，则，所以 ，应选答案 C 。2. 若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知为“理想复数”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以由题设中定义的新概念“理想复数”可得 ，即 ，应选答案 D。3. 已知 是定义在上的偶函数，当 时， ，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 是定义在
2、上的偶函数，所以 ，则不等式 可化为 ，又 ，所以由可得 ，应选答案 B。4. 已知角的终边经过点 ，若 ，则 的值为（ ）A. 27 B. C. D. 【答案】B【解析】由正切函数的定义可得 ，即 ，也即 ，所以，应选答案 B。5. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 作轴的垂线交椭圆于点，若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A6. (数学文卷2017 届江西省百校联盟高三 2 月联考第 6 题)数书九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半
3、之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 .现有周长为 的满足 ，试用以上给出的公式求得的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由正弦定理及题设可设三角形的三边分别为，由题意，则 ，故由三角形的面积公式可得： ，应选答案 A。7. 某程序框图如图所示，其中 ，该程序运行后输出的 ，则的最大值为（ ）A. B. C. 2058 D. 2059【答案】C【解析】由题设中提供的算法流程图可知：当 时， ；当 时， ；当 时，；当 时，；此时 被输出，运算程序结束，应选答案 C。8. 已知变量 满足约束条件 ，目标函数 ，
4、则（ ）A.的最小值为 3，无最大值 B.的最小值为 1，最大值为 3C.的最大值为 3，无最小值 D.的最小值为 1，无最大值【答案】D【解析】画出不等式组 表示的区域如图，结合图形可知当动直线的经过时，动直线在轴上的截距最小，但无最大值，即 ，应选答案 D。点睛：本题旨在考查线性规划的有关知识的综合运用，以及化归转化的数学思想及数形结合的思想和意识。求解本题时，充分借助题设中的条件，数形结合，综合运用所学知识分析问题和解决问题，从而使得问题简捷、巧妙地获解。9. 已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则 的图象的一个对称中心可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，
5、所以函数 ，由题设可知：，则其对称中心的横坐标是，即 ，应选答案 D。10. 在底面是菱形的四棱锥 中， 底面 ，点为棱 的中点，点在棱上，平面 与 交于点，且 ， ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，延长 交 的延长线于点，则由 可得 ，又，则 ，故 ，应选答案A。点睛：本题旨在考查空间的点线面之间的位置关系与点面距离的计算问题，求解时先运用平面的性质，计算出线段 的长度，再求 进行求解，从而使得问题获解。11. 某几何体的三视图如图所示，已知三视图中的圆的半径均为 2，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题设中提供的三视图中图形信
6、息与数据信息可以推知该几何体是一个上面是一个圆柱中挖去一个四分之一半球、下面是半球的组合体，因此其体积，应选答案 B。12. 若函数 存在唯一的极值点，且此极值大于 0，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】A点睛：等价转化与化归的数学思想是中学数学中的重要数学思想与方法之一。解答本题的关键是要依据题设条件中的问题特征，先对函数进行求导，将问题进行逐步等价转化为在区间 没有实数根，从而推出再 ，再借助题设中极值大于零，可得不等式 ，从而获解，体现了等价转化与化归的数学思想的灵活运用。第卷二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 以下是新兵训练时，某炮兵连 8 周
7、中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：由图可得，该炮兵连这 8 周中第_周的命中频率最高【答案】8【解析】由于这 8 周总命中炮数为 ，总未命中炮数为 ，所以其命中率 .又因为 ，所以根据表中数据易知第 8 周的命中频率最高.14. 已知 ，则 _【答案】3【解析】由题设可得 ，则 ，即，即 ，应选答案。15. 设向量 满足 ， ，则 的取值范围为_【答案】16. 过双曲线 的右焦点作轴的垂线，交双曲线于 、两点，为左顶点，设 ，双曲线的离心率为 ，则 _【答案】【解析】设 代入双曲线方程可得 ，则，即 ，所以，则 ， ，所以，应填答案 。点睛：本题旨在考查双曲线的标准方程和几何性质等基础知识的
8、综合运用。求解时充分借助题设条件与所学知识，巧妙地运用题设中的几何图形的性质，先求出交点的纵坐标，再运用正切函数的定义，得到 ，从而将离心率看做的函数，最后通过代入函数值使得问题获解。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前项和为 ，数列 是公差为 1 的等差数列，且 .（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前项和 .【答案】（1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）借助题设条件及等差数列的定义求解；（2）运用列项相消法求解：试题解析：解：（1） ， ， ， ， ， .（2） ， ， ， ，即，故 .18.
9、某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下频数分布直方图：该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验.（1）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的频率；（2）已知选取的是 1 月与 6 月的两组数据.（i）请根据 2 至 5 月份的数据，求出就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程；（ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的线性回归方程是理想的
10、，试问该协会所得线性回归方程是否理想？（参考公式： ， ）【答案】（1）；（2）（i） ；（ii）是理想的.【解析】试题分析：（1）运用列举法与古典概型公式求解;（2）借助线性回归知识分析探求：试题解析：解：（1）设“抽到相邻两个月的数据”为事件，因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 15 种情况，所有结果分别为 ， ， ， ， ， ， ， ，每种情况都是等可能出现的，其中，抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种，所以 .（2）（i）由数据求得 ，由公式求得 ，所以 ，所以关于的线性回归方程为 .（ii）当 时， ， ；同样，当 时， ， .所以，该协会所得线性回归方程是理想的.19. 如图
11、，在四棱锥 中，侧面 底面 ， 为正三角形， ，点， 分别为线段 、 的中点，、分别为线段 、 上一点，且 ， .（1）确定点的位置，使得 平面 ；（2）点为线段 上一点，且 ，若平面 将四棱锥 分成体积相等的两部分，求三棱锥 的体积.【答案】（1）详见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）运用线面平行的判定定理推证；（2）借助三棱锥的体积公式求解：试题解析：解：（1）为线段 的靠近的三等分点.取 的中点 ，连接 ，在线段 上取一点，使得 ， ，则 ，当为线段 的靠近的三等分点时，即 ， . ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 .（2）三棱锥 与四棱锥 的高相同， 与四边形 的面积相等.设 ，
12、则 ， ， ，解得 .取 中点， 为正三角形， ，平面 平面 ， 平面 ，过作 ，交 于 ，则 平面 ， ， ， ， .点睛：立体几何是高中数学中的重要知识点，也是高考重点考查的内容之一，解答本题的第一问时，先证明线线平行，再运用线面平行的判定定理进行推证，从而使得问题获证；求解第二问时，关键是确定三棱锥的底与底上的高，这里仍然运用线面垂直的性质定理进行分析推证从而获证的。20. 已知抛物线 的焦点为，直线 与轴的交点为，与的交点为，且 .（1）当 取得最小值时，求的值；（2）当 时，若直线与抛物线相交于 两点，与圆 相交于、两点，为坐标原点， ，试问：是否存在实数，使得 的长为定值？若存在，
13、求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1） ；（2）当 时， 的长为定值 2.【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立函数关系运用基本不等式求解；（2）借助直线与抛物线的位置关系，运用坐标之间的关系分析探求;试题解析：解：（1）因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号.故当 取得最小值时， .（2）当 时， ，则抛物线 .设直线 ，代入 得 ，设，则 ， ，因为 ，所以 ，即 ，又 ，则 ，所以直线过定点 ，故当 时， 的长为定值 2.21. 已知函数 .（1）讨论函数 在区间 上的单调性；（2）若曲线 仅在两个不同的点 ， 处的切线都经过点，其中 ，求 的取值范围
14、.【答案】（1）详见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）先对函数求导，再分类分析讨论求解；（2）先依据导数的几何意义建立方程组，再抽象概括出方程有解，以此为前提构造函数，最后借助导数使得问题获解。试题解析：（1）证明： ， ， ，令 ，得 .当 时， ，在区间 上， ， 在区间 上递减.当 时， ，在区间 上， ， 在区间 上递增.当 时，在区间 上， ， 在区间 上递增；在区间 上， ， 在区间 上递减.（2）曲线 在 两点处的切线的方程分别为，.设 ，将 代入两条切线方程，得，.由题可得方程 即有且仅有不相等的两个实根.设 ，.当 时， ， 单调递增，显然不成立.当 时， ，解得 或
15、. 的极值分别为 ， .要使得关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则 或 . ， ， ，（1），或 .（2）解（1），得 ，解（2），得 或 . ， 的取值范围为 .点睛：本题以含参数的函数解析式为背景和条件，旨在考查导数的有关知识在解答函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用，以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系 中，曲线的方程为 .（1）写出曲线的一个参数方程；（2）在曲线上取一点，过点作轴、轴的垂线，垂足分别为 ，求矩形 的周长的取值范围.【答案】（1） （为参数，且 ）；（2）
16、.【解析】试题分析：（1）设置参数建立参数方程；（2）借助参数方程建立三角函数的关系式，进而确定其值域使得问题获解。试题解析：解：（1）由 得 ，即 ，故曲线的一个参数方程为 （为参数，且 ）.（2）由（1）可知点的坐标为 ， ，则矩形 的周长为 ， ， ， ， .23. 已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若关于的不等式 的整数解仅有 11 个，求 的取值范围.【答案】（1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）运用分类整合思想分析求解；（2）借助绝对值的几何意义分类建立函数关系分析求解：试题解析：解：（1） ，由不等式 ，得 或 或 ，即 或 或 ，故不等式 的解集为 .（2）由（1）知 ，当 时，不等式 的整数解为 ， ，4，5 共有 11 个，当 时，不等式 的整数解为 ， ，4，5 共有 12 个，故.
